切线法应用（培优重难专练）-2026年高考数学二轮复习讲练解析版

重难点03切线法应用

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合速度提升曲技巧掌握'手感养成

&重难考向聚焦

锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向

他重难考向保分攻略

授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化

&重难冲刺练

模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的"题感"

彰4者向豪昼］3.…》

近三年：切线，作为导数考察的一部分，切线在近几年高考中以多种形式考察，既有选择题填空题形式考

察，也在大题中进行考察，在大题中作为基础计算来考察的。考察求某点处求切线方程，考察过某点求切

点或者参数，考察两天曲线的公切线，特别是作为比较难的考察点，考察切线与不等式，考察切线与零点

结合的。

预测2026年：切线是导数基础知识，基本技能之一，以切线为方法的突破点，切线法应用灵活多变，所

以要注意切线法的数学思想考察，切线法在转化和化归题型中的运用。

“在点”切线求参、Z切线法零点求参

“过点”切线

J＜折线双切型

；-切线基础一、切线法应用-

切线条数求参＜/:不等式恒成立求参

存在公切线求参）'牛顿法

切线分隔法应用

/切线逼近型

＜切线逼近整数解

切线分隔法综合-

'两相型

\不等式3式放缩型

$1童幸考向保台攻松…黑岂…〃

考向01切线基础1:“在点”切线求参

44重吵什.

“在点”型切线，列方程求参

1、设切点（或者给出了切点）：P（xo,>o/

2、y=f（x）

00・在点”型

3、y=f'（x）=>k=f'（x°）0

4、切线方程：y-y（）=Z（x-Xo）

1.（2S-26高三上•山东商泽・期中）已知/（丫）=2』]（什/）—1（0>0）在点（狙〃。（〃7>0）处的切浅与x轴平

行，则。的值可能为（）

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义可得出了'（兀）=0,结合题意得出/（兀）>0，可得出cose=0,sin^<-1,

即口r得出e的表达式，即可得出合适的选项.

【详解】因为/（x）=2sin（x+e）-l（*>0）,则/'（x）=28s（x+0），

由题意可知/'（兀）=2cos（兀+0）=-2cos°=（）,则cos0=0,

A/（7t）=2sin（jt+（j9）-i=-2sin^-l,又因为切点为。,加）,所以加=/（兀）=_2sin/7,又m>0,

所以-2sinQ-l>0,则sin°<-J,故*=g+2E（&€N）,D满足要求.故选：D.

2.（25-26高三上•山西大同•期中）己知曲线y=x+lnx在点（1,1）处的切线与曲线>=办2+工+2（々/0）相

切，贝1"，=（）

【答案】D

【分析】先求得曲线），=x+lnx在点（1,1）处的切线y=2x-l,再根据直线与抛物线相切求解即可.

【详解】由y=x+lnx得y=i+,，当％=1时，/=2,

x

所以曲线y=x+lnx在点（1,1）处的切线方程为y—l=2（x—l）,^y=2x-\,

V-+JV+21

由c.，Wai-2-x+3=0,所以A=l-12a=0,解得。=6.故选：D.

y=2x-\12

3.（25-26高三上•河北邯郸•期中）已知-2兀<菁<X2<七<14<2兀，曲线/（x）=cosx在点

（4/&））（，=123,4）处的切线都过坐标原点，则（）

A.%taiLv,>Xjtanx?B.$+x4>x2+x3

3333

C.X]+—>x2+—D.-%+—<盾+一

x1x2x2内

【答案】D

【分析】通过导数的几何意义确定/（x）=co次在点（内,/（内））。=1,2,3,4）处的切线方程为

y-cosx,=（-sinx.）（x-x.）,进而结合选项逐个判断即可.

【详解】由/（1）二8小得r（x）=-siM.■J（x）=cow在点（4〃苍））。=1,2,3,4）处的切线方程为

/\

y-cosx,=（-sin.v,.）（x-x.）,又切线过原点，.,.-COSA;=（-sinxJ（fJ,「.xja3二-1%工质+于keZ,故

选项A错误.Q…所以看为函数），=.与kt的图象交点的横坐标,

乂两个函数都是奇函数，图象关于原点对称，所以玉+七=£+£=（），故选项B错误.

冗、(jr\

由函数y=1@2与>，=-'的图象可知,(30-2

玉w-2TC,--—,x2e,『听以X]X,>----->3,

x\2)\274

3]3333

所以（王一天）1一一—<0,--<x2+—,又因为％+七=々+"3=°，所以七十二<•%+二，

"1"2JK”2X344

所以选项C错误，选项D正确.改选：D.

（高三上・江苏•月考）已知函数（）：、K<0

4.25-26/x=|:；,若在点P可以作曲线y=/（x）的两条

ln（l+x）+

切线，则点尸的坐标可以为（）

A.（1/）B.（1,2）C.（-1,1）D.(2,2)

【答案】B

【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解.

x<0

【详解】作出函数“上标…）+L的图象,

x>0

ev,x<0

求导得：rw=1,由于函数外力=F在x=o处的切线

-----,x>0

ll+x

y-/(O)=r(O)(x-O)=>y-l=x=>y=x+l,而函数/(x)=h“x+l)+l在工=0处的切线为

y-〃0）=/'⑼（x-O）ny-l=xn）'=x+L由于两分段函数在分界点处的切线相同,

所以可取公切线），=""上的点〃，再作函数〃x）的另条切线即可，

根据选项分析，只有。,2）在公切线），=X+1上，故选：B

考向02切线基础2：“过点”切线

案吵针.

.若已知函数/（X）过平面上一点“。'为），且/*）或点*。'为）其中一项含有参数，但已知过该点切线

数量，可参考考向四，设切点（/%）,此时左=ra）,由切点区‘y）与斜率2=r*J写出切线方程

y_y=:（占）・（」一%）,再将点（与»。）代入，最后进任参变分离更利用利财历求解参数范围.

1.（2025高三・全国•专题练习）过坐标原点作曲线/（x）=Mx-c）2（cw0）的两条切线，记其斜率分别为

k\,k?,则"一周=（）

A.cB.c2C.JD.c4

【答案】B

【分析】把函数展开，求出导数，设切点为[，内（内-。丫），根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出

再,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论.

【详解】由题知/（“）一式>。）2-1—”2+/],则/，（工）=3/-4d+。2,设切点坐标为

（xpxjx.-c）2）,则切线方程为），-N（N-C）2=（3X；-4GI+C2）（X-XJ,又切线过原点，则

一X[（X[-c）~=-4（3%；—4cxi+（?）,解得M=0或。，"i%=0时，£=/,、'ix=c时，攵=0,故

佝-a".

故选：B

2.（24-25•广东深圳♦阶段练习）将函数），=丁+16的图象绕坐标原点顺时针旋转。后第一次与A■轴相切，

则tan。=（）

A.8B.4C.12D.5

【答案】C

【分析】由），=tan/x与y=f+8相切即可求解；

【详解】由题意可知：y=tanO）•是y=F+16过原点的切线，

设切点坐标为+16）（%¥0）,由y'=3f,则川…=3片，所以切线方程为

）,-（片+16）=3x：（x-$）,

则0-（石+16）=3年（0-%），解得分=2,则川/.=12,所以tane=12.故选：C

3.（2025•河南周口•二模）将曲线y=ln，绕原点逆时针旋转角。后第一次与），轴相切，则tana=（）

X

A.—B.—C.-2.CD.—e

e2

【答案】D

【分析】根据题意，分析可得y=tan（|7c-a）x是曲线），=ln：过原点的切线，求出函数的导数，由导数

的几何意义分析可得切点坐标，再将切点坐标代入y=tan（|ka卜，计算可得答案.

【详解】根据题意，曲线y=ln'绕原点逆时针旋转角a后第一次与），轴相切，

x

则），=tan仁兀-a]・x是曲线1y=]J过原点的切线.设切点坐标为（如一In*,

\.乙）X

又由y'=T，即切点处切线的斜率ktan（*a）=」.

故选：D.

4

4.（2025高三•全国•专题练习）过点夕（1,2）作曲线C：），=W的两条切线，切点分别为4,B,则直线AB

X

的方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x+y-6=0

C.2x+y-4=0D.x+2y-5=0

【答案】A

【分析】设A（x，x）,3（七,%），利用导数表示出在A点处的切线方程和在9点处的切线方程，再代入点

PQ2）,化简即可得到结果.

44

【详解】设4（小）1）,8（七,%），由丁=『得，'=一?，「•曲线C在A点处的切线方程为

x\

4

把P(l,2)代入切线方程，得2-弘=--(1-玉)，化简得2*+)『8=0,

玉

同理可得曲线C在3点处的切线方程为2/+%-8=0,AB都满足直线2x+y—8=0,

二直线A5的方程为2x+y-8=0.故选:A

考向03切线基础3：切线条数求参

心■索咳针.

.“过点”型切线，核心在于先设切点

1、设切点(或者给出了切点)：PG。,%)

2、%=f(X。)

，在点”型

3^y=f'(x)nk=f'(x。)。

4、切线方程：y-y0=Z:(J-X0)

5、过(a,b),代入：y-y。一左(不一与)[“、子占”开U

得b-y()=Z:(a-x0)=>

1.(2025而三•全国•专题练习)过点P(LMWwR)有〃条直线与函数=的图像相切，当〃取最大

值时，/"的取值范围为()

A.--<in<cB.—Y<<0C.—<fJi<0D."?<e

【答案】B

【分析】求导分析〃x);代'的图象可得〃=3,再设切点坐标为(如为)，由题可得〃?=(一有

T根，再构造函数g(x)=(-x2+x+l)・e'求导分析图象单调性与最值即可

【详解】由，(x)X,r(x)=(x+l)ev,故当xvT时,Z(x)<0,f(x)单调递减,K/(A)<0；当

x>-lM,r(x)>0,/(%)单调递增,结合图象易得,过点P(l，M(〃wR)至多有3条直线与函数

〃x)=xe，的图像相切，故〃=3.

此时，设切点坐标为(必先)，则切线斜率&=(%+1)七"，所以切线方程为y-飞e"=(1+1""("一$),

将P(l,m)代入得“=(-x：+Xo+l)e“，存在三条切线即函数/n=(-/+x+l)d有三个不同的根，又

g'(x)=-(x-l)a+2)e易得在(一2,1)上，/(x)>0,g(x)单调递增；在(-00,-2)和(1,例)上,

g'G)<0,g(x)单调递减，画出图象可得当g(-2)v〃7〈O,即-■|■<加v0时符合题意故选：B

【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定

根的个数与参数取值范围的问题，属于难题

2.(2022•江苏南通•模拟预测)已知过点A(a,0)作曲线y=(lr)e'的切线有且仅有1条，则”()

A.一3B.3C.一3或1D.3或1

【答案】c

【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点人（40）代入，并将切线

有且仅有1条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可.

【详解】设切点为x0）e"）,

由已知得），'=-&\则切线斜率A=切线方程为），一（1-玉）十二-夙。”（工一飞）

直线过点A（a,O）,则一（1一%）e"=-/。"（。一%）,化简得片一（。+1）/+1=0

切线有且仅有1条，即△=（.+1）2-4=0,化简得〃2+2a—3=（），即W+3）卜-1）=0,解得〃=一3或1

故选：C

3.（2025高三•全国•专题练习）过曲线C"（x）=V-"+〃外一点A（l,0）作。的切线恰有两条，则（）

A.a=bB.a—b=\C.b=a+\D.a=2b

【答案】A

【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关

r切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极俏为o,求出

a,〃的关系.

【详解】f（x）=3x2-a,过点A（l,0）作曲线C的切线，设切点区,/（$））,则切线方程为：

2

y=（3x0-t/）（x-l）,

将（Xoj（x。））代入得：/（40）=（3工；一〃乂为一1）=%'-"+%即2£-3戈；+〃-8=0（*）由条件切线恰

有两条,方程（*）恰有两根.u（x）=2^-3x2+a-b,M,（X）=6X2-6X=6X（X-1）,

显然有两个极值点x=0与x=l,于是〃（。）=0或"1）=0当〃（0）=0时，a=b；

当“（1）=0时，a—b=l,此时/（.。=/一如+。-1=（工一。，+1+]_4经过（],0）与条件不符，所以

a-by

故选：A.

4.（2023•全国•模拟预测）若过点（见〃）可作函数），=2工+―&>0）图象的两条切线，则必有（）

A.0<2〃i+—<〃B.（）<//<2/77

m

C.2in<n<2m+—D.n<2m

m

【答案】C

【分析】设切点为a>0,求导，根据导数的几何意义可得（2加-〃”2+为一〃2=0有两个正

根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.

【详解】设切点为2〃+'],。>0,又；/=2-!，所以切线斜率欠=2-3，

ka）x'a~

所以切线方程为）=（2〃+£|=（2-，）（4-4）,又切线过点（因小，则〃一（2〃+£|=（2-

4〉（），

即（2/〃一〃时+2〃-〃7=。，由过点（，几〃）可作两条切线,所以（2加一〃+2〃一m=0有两个正根,

2”?一〃H0

△=22-4(2/n-n)•(-/«)>0

9I

即———>0，整理可得2，〃<〃<2"+一，故选：C.

2m-nm

m

>0

2m-n

考向04切线基础4：存在公切线求参

44重吵什.

.两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过

渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的

参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；

②切点在切线上；

③切点在曲线上

而解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后,利用数形结合解答：

1.转化为两个函数）=g（x）,y=Mx）的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就

是函数零点的个数。

2.转化为），=«¥=8（”的交点个数的图象的交点个数问题.

1.（24-25高三上•广东广州•月考）若直线），=依+〃是曲线/⑴二产2023与8⑴二仁2-2025的公切线,

则人=（）

1202320252

A.----B.----C.----D.----

2025202440474047

【答案】c

【分析】设直线1=奴+6与函数“X）和g（x）的图象相切于点P。,％）和。（%丫2），利用导数的几何意

义，求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解.

【详解】设直线丫=履+人与函数/（力二十2^的图象相切于点p（x”x）,

与glMreA."-ZOZS的图象相次于点鸟（占，必），

因为/'（xbe-^g'GbeX+w,且%=e-必—2025,

则曲线y=/（x）在R（3,y）处的切线方程为丁7"”=炉-2。23（1_内），

曲线y=g（"在《（和必）处的切线方程为）」eE°24+2025=eZg（x—x2）,

^-2023_ex2+2024

所以9-2023fe—=eW_七*2侬_2025，解得百一4047,

-vex,_2023-eXl+2024+20252025

所以&=v=—.故选：C.

x-w40474047

2.（24-25高三上•海南•开学考试）函数/（工）=1+山与函数g（A=e'-l公切线的纵截距为（)

A.1或0B.-1或0C.1或eD.-1或e

【答案】B

【分析】先设切点分别为（4/（卬），（占，煎X2）），并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得

l=ex2

，%一，最后计算王值即可.

l2

InXj=（l-x2）e-1

【详解】设切点分别为（xJ（X））-2，g*2）），N>0,且导数为r（x）=Lg'（x）=e',

x

1/、--=e”

所以切斜方程为既为）'-（1+1呻）=；*7|）,也为所以司,

t2

1InX）=（1-x2）e-1

所以ln（—）=Ine与=_1"气=%,所以一占=Q一与把电-1=>（1一x,）（eVj-1）=0,

xl

所以w=l或W=o,所以公切线的纵截距为（l-l）e-=-1或（l-O）e°-l=O.故选：B.

【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数/（外送（“上设不同切点并求切线方程，根据两

切线方程一样来求解公切线斜率.

3.（24-25高二下•全国•课后作业）若曲线G：y=V与曲线G：：,，=J（a>0）存在公共切线，则实数〃的取值

a

范围为（）

e2

A.(0,1)B.14)C.D.I，+8

【答案】D

【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得2，〃=：e"（mw0）和皿=2〃-2,讲而将问题转化为y=4x-4与

函数）=：片的图象有交点，即可根据导数求解.

【详解】由y=/得y'=2x,曲线y=/在点（见病）处的切线斜率为2皿由y=?（〃>0）得y=?在点

1I।1

〃，一e”处的切线斜率为Le"，如果两条曲线存在公共切线，那么2m=2e”（m*0).

a

21n

m~——e.由此得到机=2〃-2,贝i]4〃—4=Le”有解,

又由斜率公式可得2〃?=a

a

m-n

所以直线y=4x-4与函数），='e'的图象有交点即可.当直线），=以-4与函数y的图象相切时,

aa

设切点为CM）,则,e'=4,且，=4s—4=Le"得$=2,/=4,即有切点（2,4）,此时。=三，

aa4

故实数a的取值范围是p-Ho.D.

4.（2024•辽宁•模拟预测）若至少存在一条直线与曲线〃力=左+3和ga）=3Thu«H（J）均相切，贝心

的取值范围是（）

A.[4,0）B.[2e,+oo)

c.（w,o）U（。,欣）D.[^e,0)U(0,+co)

【答案】D

【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.

【详解】r（x）=4x,gf（x）=--,设公切线与曲线y=〃x）相切于点（%,2x；+3）,与曲线y=g（x）相切于

.1

点（移3-小%）（％>0）,则切线方程分别为）=4中一2d+3,y=-—x+t+3-tlnx2f所以

%2

4,\'=—（J）,产

,X2'由①得了；=布万，代入②得/=8媚22-8后.令人（力=8/山-8/。>0）,

-2x：+3=/+3-八仪②，/

则〃3=8]（212—1）,所以当0<x<五时，”（“<0,当x>中时,”（力〉0,

所以〃（x）在区间（。，人）内单调递减，在区间（6，+8）内单调递峭，所以〃（以加=〃（五）=j

又当XT+OO时，所以网力的值域为［-4e,+8),所以f的取值范围是［-4e,0)5°，+8)・

故选:D.

考向05切线转化1：距离公式几何意义型

44重吵什.

.两点距离公式几何意义：__________________

4”),以电，%)，定义服8=1*-力)+(々一)»。所以，如果见到形如J(a-b)?+(c-d)2,可以转

化为两点距离来求最值，转化时候要注意每个点对应的函数或者曲线。

1.(2024•湖北•模拟预测)设D=/一a?+伫-2硒+a+1,其中en2.71828,则。的最小值为

()

A.及B.V2+IC.&D.V3+1

［答案］A__________________

【分析】令Q(x，e')，Pg呵,则1下三行+4+1可转化为曲线g")=2、G上的点尸

与曲线/(x)=e、上的点。之间的距离与0到直线x=T的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求

解.

【详解】令Q(xC),网。,26),则点Q在函数4x)=e、图象上，尸在函数g(x)=26的图象上，

容易知道g(x)=2«图象是抛物线丁=4X图象的上半部分，

当且仅当尸在线段尸。上时，取最小值.设这时Q点坐标为。(x°e“)，又:(x)=e］

e，"—0.

v

所以有e。-=-i=>e"=i-x0,解得$=0,即该点为(0,1),

题—1

所以|FQ|N］(1-0『+(0-1)2=夜,因此4n=0•故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将。的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的

问题.

2.(2022・山东聊城,二模)实数不和肉必满足：^-hix.-y,=0,x2-y2-4=0,J|llj

(X—々)2+(凶一%)2的最小值为()

A.0B.2夜C.4x/2D.8

【答案】D

【分析】由两点坐标表示距离公式可知(内-9)2+()1-%)2的最小值转化为y=f—|nx(x>0)上的点与

x-y-4=0上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.

【详解】由=0,得y=x：-lnR,又超一%一4=0,

・••(%-右)2+(乂-%)2的最小值转化为y=W-］nx(x>0)卜.的点与x—)」4=。上的点的距离的平方的最小

值，由y=x2—lnx,得；/二21一一，与工一丁一4=0平行的直线的斜率为1,

x

：.2x--=\,解得x=l或x=-<（舍），可得切点为（1,1）,切点到直线工一丁-4=0的距离的平方，即为

x2

（为一%）2+（乂一丁2）2的最小值，，（王一”2『+（）'1-%『的最小值为［，*）=8.故选：D

3.（24-25高三上•江西赣州•期中）已知点人（不），）以七，%），定义九=J（内一必），（々一）j为A3的

“可测距离〃.若点4B在曲线），=厂+4上，且总的最小值为4,则实数〃的值为.

【答案】1I2>/2/2>/2।1

【分析】依题意求出y=e'-2+4的反函数，将“可测距离〃转化成•对反函数图象上两点之间的距离，利用

导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.

【详解】由函数可得x=ln（y-〃）+2,即），=ln（x-〃）+2,所以y=的反函数为）,=ln（》-a）+2.

由点3（天,乃）在曲线），=/2+々上，可知点4（%毛）在其反函数）'=卜1（工一。）+2上，

所以d"=J（M—K）2+（X2—X）2相当于丁=e-+〃上的点A（$/）到曲线y=\n（x-a）+2上点与（%,电）的

距离,即，尸％=［（内-必）2+（旦-»）2，利用反函数性质可得尸e-+a与）,=］n（x—a）+2关于尸x

对称，所以当从4与y=x垂直时，回取得最小值为4,因此A用两点到y=x的距离都为2.

过点4作切线平行于直线y=x,斜率为1,由），=ln（x-a）+2,得？=±=1,

可得x=〃+l,y=ln（a+l—〃）+2=2,即4（a+l,2）,点4到y=x的距离d=l^^l=2,解得

〃二1±2&.

当6=1-2拉时，了=皿（％-〃）+2=1111-1+2\/5）+2与丁=不相交，不合题意；

当“=1+2&时，y=ln（x-a）+2=ln（x-l-2应）+2与y=x不相交，符合题意.

综上，〃=1+2亚.故答案为：1+2拉.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在「利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两

点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.__________________

4.（2024•安徽合肥•一模）已知点A（x”y）,仅孙必），定义时=J（N-+（々-77为4§的“镜像距

离”.若点在曲线y=ln（x-G+2上，且^的最小值为2,则实数。的值为.

【答案】1+V2

【分析】依题意求出y=ln（x-a）+2的反函数，将“镜像距离〃转化成一对反函数图象上两点之间的距离，

利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.

【详解】由函数y=ln（x-a）+2可得y-2=ln（x-a）,即4=ev"+a,

所以y=\n（x-a）+2的反函数为y=ex~2+a,

由点8（天,必）在曲线y=1n（x-a）+2上可知点耳（％，W）在其反函数y=e'?+♦上，

所以九=河^7相当于尸e^+a上的点4（%,）到曲线y=ln（k〃）+2上点A（N，y）的

距离，即d布=%=J（Kf）2+（"）j，利用反函数性质可得y=ei+a与）,=ln（x-a）+2关于y=x

对称，所以可得当AB1与）'=x垂直时，"倜=应8取得最小值为2,因此4旦两点到y=x的距离都为1,

过点A4的切线平行于直线），=匕斜率为1,即），'=±=1,可得x=a+l,y=ln（a+l-a）+2=2,即

A（a+1,2）,A点到丁二工的距离d=kiH=l,解得a=l±0,

当〃=1一&时，），=111（工一。）+2=1|]1一1+血）+2与丁=工相交，不合题意;

故答案为:1+V2

【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最

值问题，再由切线方程可解得参数值.

考向06切线转化2：点到直线距离公式转化型

.点到直线距离公式，可以借助转化

Iav+bv+c|=Va2+b2•1"；》+，I=>/a2+b2•d

_______________________林+―

1.（25-26高二上•广东•期中）不全为。的实数对㈤满足关系式k+〃+l|=|4a-38+1|="7V,则这

样的实数对（。⑼共有（）组.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

------\a+b+\\\4a-3b+}\,、

【分析】引4〃-36+1=〃2+尸可变形为1,一「=1,则可转化为点A（l,l与点

yja-+b~\la-+b-

8（4,-3）到直线以+力+1=0的距离为1,再分别以A、6为圆心，作半径为1的圆，再利用两圆位置关系

与公切线条数的关系计算即可得.

----\ci+b+1|\4a—3b+11

【详解】由小+8+1|=|4〃-3"1|=4/2+6可得I「=1,

\!cr+/r7a~+b~

即点A（l,l）与点8（4,-3）到宜线依+圾+1=0的距离都为1,分别以A、B为圆心，作半径为1的圆4、圆

B,

22

由|AB|=^(4-l)+(-3-l)=5>2,故两圆外离，则两圆共四条公切线,

由图可得，两圆公切线都不过原点，故有4对这样的实数对（。2），使得点A与点8到直线or+〃y+l=（）的

距离都为1.故选：D.

2.（25-26高二上•湖北荆州•期中）已知x,），cR,函数/（.*y）=J（岳-2尸+（&）,-41+k-y+3&|的最

小值为（）

A.&B.2C.2夜D.4

【答案】C

%一.二3四）,转化为点尸到点

【分析】根据题意，化简得g）=&.由-—2向+

V2

A（五,2&）和到直线/:x-y+30=O的距离之和的&倍，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】由函数f（x,），）=J（缶—2）2+（五）,-4/+卜-y+3夜卜可得

/（x,>0=V2-J（x-扬?+（y-2扬2+k一）,+3阕，则

%-y+3

/(x,y)=五.(7(x-V2)2+(y-2V2)2+闽)

文）：3码表示点p（x,）,）到直线

因为J（x-J5）2+（），_2五）2表示点P（x，y）到定点40,2"）的距离,

x/2

/:/-尹3&=（）的距离，所以〃x,y）表示点尸到点4五,2立）和到直线/”-），+3忘=0的距离之和的

A倍'如图所示，过点A作A81/,垂足为8,当点尸在线段上时，可得

2-2f+3闽",

11V2

所以/(x,y)的最小值为f(x,y)m.n=42\AB\=242.故选:

3.（25-26高二上・甘肃兰州•期中）已知实数凡多,如必满足，片+中=4,x；+y；=4,

再9+y）a=-2,则1%+y-4|+|9+%-4|的最大值为（）

A.20+1B.25/2+8C.2夜+GD.2指+8

【答案】B

【分析】根据给定条件，可得点人不凹），8（占,乃）在圆/+炉=4上，且乙4O3=g,再利用E标式的几何

意义，结合圆上的点到直线距离的最大值求解.“

【详解】设A（芭/）,8%，了2），由x；+y2=4,x；+£=4,得|拗|=|捷|=2，点A8在以原点为圆心，2为

半径的圆/+/=4上，由中2+»2=-2,得cosZAO8=&,丝=而OWNA05V冗，则

\OA\\OB\2

ZAOB=—,

3

取线段44中点E,则OE_LAB,OE=1,过A,E,8。分别作直线x+），-4=0的垂线,

垂足分别为A,旦夕则A4'//EE〃6a,且|A4'|+|83'|二2|EE|,

4

IOO1\==2及，|££凶£0|+|00]=1+2夜，当且仅当反。,£共线时取等号,

行十『

因此13+3-4|+|匹+%-4|=&（1*士-41+1①音4|）=&（[^4'|+|吊*|）=血.2|七方区2忘+8,当

且仅当£。,£共线时取等号，所以1西+）『4|+|/+），2-4|的最大值为2a+8.故选：B

43x+y+1

4.（2024•四川凉山•二模）已知点P（x,y）是曲线），二厂上任意一点，则j、（，+]y的最大值为（）

A2x/5-Vi52x/5-V15「而+2石n炉+2石

A.---------------D.---------------C.-------------U.---------------

105105

【答案】D_

\/3x+y+\

【分析】判断直线3+y+l=0与曲线的位置关系，利用式「卢r+y+l小万尸+1表示的几何

&+（）,+]）2卜+（.+»

意义，转化为点P与点确定的直线同直线®+y+l=（）夹角正弦最值求解即可.

Vix+y+l

【详解】依题意，>/3x+y+\_9J（V5）2+1,令直线/:代工十），十1=0,显然/过点A（0,-l）,

Jf+（y+i）2]♦+（），+»

由]瓜：），+1=°,得Gr+/+]=（）,显然△=（石）2—4<0,即直线/与曲线），=一相离，且

Vix+y+l

\/3.v+x2+1>0，则曲线y=f[•的点p在直线/上方，过户作PH_U于“，则|「”|二,而

"(后+l

1MM2+（严]）2,

因此=2'；鲁：=2sinZ.PAH,令过点”的直线与曲线y=r2相切的切点为，由y=r2,

求导得上人则此切线斜率2”高,解得-L即切点为彻D,

而点A在曲线y=V的对称轴上，曲线y二/在过点人的两条切线所夹含原点的区域及内部,

\/3x4-y+l

当点尸的坐标为（1,1）时，锐角44H最大，sinNQA”最大,々+(>+1)2最大'

此时I皿子」即3—=圈=^'所以的最大值为

2sin4PAH="出