三角函数的计算（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

L3三角函数的计算

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在△ABC中，若角A,B满足cosA-乎+(l-tanB)2=0,则NC的大小是()

A.45°B.60°C.75°D.105°

2.如图，在A3c中，ZC=90°,A4=2C4=4.以点3为圆心、适当长为半径作弧，分

别交BC,BA于点D,E,再分别以点D,E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC

内部交于点片作射线8F：分别以点A,C为圆心、大于;AC的长为半径作弧，两弧交于

G,H两点，作直线GH交B尸于点J,交AB于点K,则A/KB的面积是()

A.2B.1C.2>/3D.V3

3.已知为锐角，且cosa=正，则Na=()

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.如图，△ABC中，N4CB=90。，BC=2,AC=3,若用科学计算器求N4的度数，并用“度、

分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是()

A.国me口

B.由卬臼|DMS\三

c.同rnmrnmrne

D.阿国rnrnrnmrn两

5.为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所

示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（）

B.

D.

6.在V/WC中，若12cos力—1|+（孝—COS3）2=0,则NC的度数是（）

A.45°B.75°C.90°D.105°

7.如图，VA8C中，ZC=90°,BC=2,AC=3,若用科学计算器求/A的正切值，则

下列按键顺序正确的是（）

A.画rnnnrnniniF

B.

由rnEFiEE凹m

C-MHrnFIR

D.

8.已知。为锐角，且tan万=3.387,下列度数与B度数最接近的是（)

A.73。33'B.73°35C.16°33'D.16°34

9.若a为锐角,且lan（a+H）=l,则。为（）

A.20°B.25°C.30。D.45°

10.在ABC中，ZC=90°,若sinA=J,则NA的度数是（)

A.30°B.45°C.60°D.90。

II.计算:cos2454-sin245=()

A.vB.1C.7D.—

242

12.如图是一个2x2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则〃可以是（）

盛2°

A.tan60°B.-1C.0D.12019

二、填空题

13.已知a是锐角，311（夕-15。）=¥，则sina的值为.

cos45°

tan60°-sin60°

15.如果3sina=Q+l,则Na=.（精确到03度）

16.在VABC中，ZA、满足：（2sin4-石y+|2cosB-l|=0,则VA4C的形状为

17.如果tana=1,那么锐角。=度.

三、解答题

18.计算：4cos300-cot45°tan600+2sin245°

19.计算：4sin600-6cos60°tan3004-sin2450.

20.计算与化简:

2

(l)|x/3-2|+tan600+

答

(3)sin45°-cos450+tan60°sin60°

(4)sin30°-tan245°+^tan:300-cos60°.

21.在VA8C中，ZA、NB满足+tan«-制=0,试判断VA8C的形状，并说明

l2j

理由.

22.计算：sin300+sin245'-；tan2600

23.阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题:

sin30°=-,cos30°=—，贝ljsin2300+cos?30。=____一;①

22

sin45°=也，cos450=卫，Msin245°+cos245°=

_______;②

22

1

sin60°=—cos6002-则sin?60。+cos?60。=______：③

2

观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有sin?A+cos?A=•④

AC

（I）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想.

（2）已知/A为锐角，Esin>4=|,求cosA的值.

24.计算：(1-Uin600)2+2sin2450-2cos30°.

《1.3三角函数的计算》参考答案

题号12345678910

答案DDADABAACA

题号1112

答案BD

1.D

【详解】试题分析：由题意得，cosA=^,tanB=l,则/A=30。，ZD=45°,则NC=180。-

2

30。-45°=105°.故选D.

考点：1.特殊角的三角函数值；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：偶次方.

2.D

【分析】如图，过点K作KH_L即于从设KJ交人。于W.解直角三角形求出即，KH,可

得结论.

【详解】

如图，过点K作KHLBJ于H,设KJ交AC于W,

VZC=90°,AB=2BC,

••sinA-------2,

AB

：.Z4=30°,ZABC=60°,

由作图可知，BJ平分/ABC,KJ垂直平分线段AC,

AZKBJ=ZCB./=jZABC=30°,AW=WC,

'：WK//BC,

：,AK=KB=2,NKJB=/CBJ=300,

：.HK=^KB=\,BH=6KH=6

NKBJ=/KJB=300,

...KB=KJ,

■:KH工BL

:.HB=HJ=2场,

故选：D.

【点睛】本题考查作图-复杂作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、解直角三

角形等知以，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型

3.A

【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可.

【详解】解：・・・cosa=更，Na为锐角，

2

/.a=30°,

故选：A.

【点睛】本题考查根据三角函数值求角度，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

4.D

【分析】根据计算器使用方法进行分析即可.

【详解】由tanNA=罢，得

AC

2

tanZA=—.

3

故选D.

【点睛】考核知识点：利用计算器求三角函数值对应的度数.

5.A

【分析】先利用正弦的定义得到s%A=0.25,然后利用计算器求锐角/A.

nrin

【详解】解：siM=*；=?=0.25,

AC40

所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为：

Bp-irnrrin~i日

故选：A.

【点睛】本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一股情况下，三角函数值直接可

以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键.

6.B

【分析】本题考查了特殊用的二角函数值、绝对值和平方的非负性、二角形内角和定理，根

据绝对值和平方的非负性却可求得/A,的度数，根据三角形内角和即可求得/C的度数.

【详解】解：|2cosA—1|0,^-^—cosB>0,

且|2cosA-1|+(乎-cosBj=0

(/Y

.,.|2cosA-l|=0.—-cosB=0

\/

iR6

..cosAx=—,COSD=----

22

.,.N4=60°,NA=45°

.­.ZC=180°-ZA-ZB=180o-60o-45o=75°.

故选：B.

7.A

【分析】本题主要考查了王切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握

2

正切定义，根据NC=90。，BC=2,AC=3,得出lanA=(,然后用计算器计算即可.

【详解】解：由tam4=器，得=

故按键顺序为询rn回尸1回口1巳，

故选：A.

8.A

【分析】本题考查锐角三角函数，用计算器得出1仙73。33'>3.387,由此可解.

【详解】解：用计算器得1皿73。33'。3.387,

••・与P度数最接近的是73。33',

故选A.

9.C

【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解题的

关键.

由“。为锐角，且tan(a+150)=l"可得。+15。=45。，由此即可求出。的度数.

【详解】解：Q。为锐角，且1血(。+15。)=1,

.”+]5°=45",

/.a=30°,

故选：C.

10.A

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果.

【详解】Vsin4=,sin30°=i,

・•・ZA=3O0,

故选：A.

【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的

关键.

II.B

【详解】解：•••cos45°=sin45°=¥，.•・cos245+sin；;45=（¥）2+（¥）2=；+；=l.

故选B.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.

12.D

【分析】根据题意列出表达式即可求解.

【详解】解：由题意得：，+卜2|=我+2・，

即：a+2=2+l,解得:G=1,

其中产=1,

故选：D

【点睛】本题主要考查的是立方根，零指数塞和绝对值得内容，熟悉相关性质是解题得关键.

13.—

2

【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数

值.由tan（a-15。）=母根据特殊角的锐角三角函数值可得〃-15。=30。，求出。=45。，即

可求出sina的值.

【详解】解：・・・tan（a—15o）=^,

Art-15°=30°,即a=45。,

•••/1Vo叵

••sina=sin45=——

2

故答案为：

14.如

3

【分析】本题考杳的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计

算即可.

交

【详解】解.——竺它一=―2-7=-=—x-^=^

tan60°-sin60°马场2G3

、2

故答案为：如

3

15.65.5°.

【分析】根据计算器可•以计更出Na的度数，从而可以解答本颍.

【详解】解：・・・3sina=K+L

.即=也1

3

解得，Za^65.5°,

故答案为65.5。.

【点睛】本题考查计算器-三角函数，解答本题的关键是会用计算器求三角函数的值.

16.等边三角形

【分析】本题考会了特殊旃的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的

三角函数值求出NA、N8的度数，再根据三角形的内角和定理求出/C的度数，最后根据三

个内角的关系判断出其形状.

【详解】解：V(2sin/I-73)2+|2cos5-1|=0,

,2sinA-0=0,2cosB-1=0,

JsinA=—,cosZ?=-,

22

AZA=60°,ZB=60°,

••・ZC=60°,

・•・VA8C是等边三角形.

故答案为：等边三角形.

17.45

【分析】根据三角函数的值，求角的度数.

【详解】解：・・・tana=l,。为锐角，

:.a=45°,

故答案为：45.

【点睛】本题主要考杳三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键.

18.1+6

【分析】因为cos3()o=立，cot45°=l,tan60°=V3，sin450=—,然后代入计算式即可得

22

出答案.

【详解】cos30°=—,cot45°=1»(an60°=V3，sin45°=^^,

22

...原式=4x4-lxG+2x住)=1+73,

故答案为：1+y/3.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键.

19.V3+-

2

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.把

特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答.

【详解】解：4sin600-6cos60°tan30°+sin245°

AG八I6⑸

=4x------6x—x——十——

223I2J

=26-&+1

2

=734-1.

2

9

20.(1)-

4

(2)x+l

(3)2

3

(4)--

4

【分析】本题考查了含特殊角的二角函数值的混合运算和分式的化简，涉及绝对值的定义,

特殊角的三角函数值，乘方运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关

键；

（1）利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，乘方的定义化简，再进行加减运算；

（2）分母不变，把分子相加，然后约分化简：

（3）利用特殊角的三角函数值化简，再进行二次根式的乘法运算，最后进行加减运算；

（4）利用特殊角的三角函数值化简，再利用二次根式运算法则进行运算，最后进行加减运

算.

【详解】（I）2+tan60°+

=2—5/3+百+—,

4

9

=­

4,

(2)—+

x+lx+\

_x2+2x4-I

=9

x+1

_(X+1)2

x+1

=x+l.

(3)sin45°-cos450+tan60°-sin60°

立&AG

=---x---+V3x—，

222

13

=—I—,

22

3

(4)sin300-tan245°+-tan2300-cos60°

4

”汨x惇)-r

1,311

=——1+—x-----

2432

3

*

4

21.直角三角形，理由见解析.

【分析】本题考查了非负数的性质，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值，先根据非负

数的性质求出sinA、tan5的值，再根据NA、均为锐角及特殊角的三角函数值、三角形

内角和定理即可求出三角形各角的度数，进而判断出其形状，掌握知识点的应用是解题的关

键.

【详解】解：VABC为直角三角形，理由如下:

由题意，得sin4-g=0,ian"-6=0,

:.sin4=—,tanB=>/3,

AZ4=30°,zfB=60°,

••・ZC=180°-30°-60°=90°，

・•・VA8C为直角三角形.

221

【解析】略

4

23.1,1,1,1;（1）见解析；（2）-

【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义.掌握锐角三角

函数的定义是解题的关键.

将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;

④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A,都有si/A+cos2A=1；

（1）过点8作8O_LAC于。，则4408=90°.利用锐角三角函数的定义得出sin4=黑

8dM则浦A+c"A=巧产’再根据勾股定理得到位+心=6，从而

证明sin2A+cos24=1;

3

（2）利用关系式sii?A+cos2A=1,结合已知条件cosA〉。且sinA