2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷（青岛专用北师大版）解析版

九年级数学上学期期末模拟卷（青岛专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2012九年级上册和下册。

第一部分（选择题共27分）

一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求的）

1.如图所示的几何体，其俯视图是（）

【答案】C

【分析】本题考杳了三视图的知识，正确记忆俯视图是从物体的上面看得到的图形是解题关键.找到从

上面看所得到的图形即可.

【详解】解：从上面看到的图形如下：

故选：C.

2.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256

万元.假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为x,根据题意，下列方程正确的是

A.400(1+x)2=256B.400(1-x)2=256

C.400(1+2x)=256D.400(1-2x)=256

【答案】B

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该公司今年3月份的牛.产成本=该公司今年1

月份的生产成本Ml-该公司每个月生产成本的下降率了,即可列出关「X的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：根据题意得：40)(1-"2=256,

故选：B.

3.下面四个命题，其中真命题是()

A.矩形的对角线互相垂直

B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C.菱形的对角线相等且互相垂直

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】B

【分析】本题考查考查命题与定理知识，特殊四边形的判定与性质，需逐一分析各选项是否符合对应图

形的定义或判定条件.

【详解】解：A.矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A为假命题:

B.根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形(可通过内角和与平行线

性质推导对边平行)，故B为真命题；

C.菱形的对角线互相垂直且平分，但长度相等仅当菱形为正方形时成立，故C为假命题；

D.对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，例如可构造满足条件但四边长度不等的四边形，故D

为假命题.

故选：B.

4.将抛物线歹二-2』先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是()

A.y=-2(x+2)2-2B.y=-2(x-2)2+2

C.y=-2(x+2)2+2D.y=-2(x-2)2-2

【答案】A

【分析】本题考查了抛物线的平移规则.

根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减“进行变换.

【详解】解：•••向左平移2个亘位，

:x变为x+2,

得y=-2（x+2『；

•••向下平移2个单位，

•••整体减2,

得y=-2（x+2）2-2,

故选：A.

5.如果关于五一元二次方程2/+3.丫+小=0有两个不相等的实数根，那么实数〃?的取值范围为（）

9898

D

机>WC<<

A.8-B.9-8-*9-

【分析】本题主要考查了•元二次方程根的判别式，对于•元二次方程〃厂+加+c=0（。/0）,若

△=从一4a>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=从-4a=0,则方程有两个相等的实数根，若

△=从-4死<0,则方程没有实数根，据此求解即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程2/+3、+机=0有两个不相等的实数根，

•••A=32-4x2m>0>,

9

二???<—,

8

故选：C.

6.如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔P.小华在海岸线上的点力测得灯塔P在北

偏东70。的方向上；小华继续沿着正东方向走了。海里到达点8处，此时测得灯塔P在北偏东50。的方向

上.那么灯塔尸到海岸线的距离为（）

A.“tan5。。海里B.高海里C.。疝40。海里D.春海里

【答案】C

【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理.正确作出

辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键.根据三角形

内角和定理证出N氏12=乙"由此得到“8=82=。，进而构造RtZXACP,并运用NC3P的正弦值即

可求得灯塔P到海岸线的距离.

【详解】解：如图，过点尸作PC_L48交力5延长线于点C.

由题意，易知侬尸=90。一70°=20。，Z4BP=90°+50°=140°,ZC5P=90°-50o=40°.

由三角形的内角和等于18()。，得ZAPB=180。-/R4P-乙4BP=180°-20°-140°=20°.

：4AP=ZAPB=20。.

△力8P是等腰三角形.

=海里.

-PCLAB,

：./BCP=900.

CP

在中，ZG5P=40°,BP=a海里,sinZC5P=——，

BP

，CP=BP・sinNCBP=asin40°(海里).

•••灯塔P到海岸线的距离为〃sin40。海里.

故选：C.

7.如图，在平面直角坐标系中，点彳在x轴的负半轴上，点8在第三象限内，以原点。为位似中心，在

第一象限内作与△。力8的相似比为3的位似图形△08,若点。的坐标为(3,2),则点8的坐标为

()

【答案】D

【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质.

根据点D的坐标结合相似比为3作答即可.

【详解】解：:以原点0为位似中心，在第一象限内作与△。彳5的相似比为3的位似图形AOC。,

/2

8(3+(-3),2子(一3)),即5-1,--

3

故选：D.

4

8.如图，点8、£是以力。为直径的半圆。的三等分点，弧8K的长为§冗，ZC=90°,则图中阴影部分的

面积为（）

A.673--7TB.我一1兀96占

33

【答案】A

【分析［本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数.先连接

BD,BE,BO,EO,设半径为火,根据“弧,弦，圆心角的关系”得/后半力=/反犯=/80。=60。，可得

BE//AD,再根据弧长公式求出4,即力。=8,接下来根据特殊角的三角函数值求出48=4石，再

解直角三角形求出8c=2百，/C=6,即可求出S“BC，最后根据S“蛇-S用形"E得出阴影部分的面积.

【详解】解：连接BD,BE,BO,EO,设半径为K,

•・•点B,E是半的三等分点,

NEOA=Z.EOB=Z.BOD=60°,

/BAC=NEBA=Z.BAD=30"

:.BE〃AD.

.•岳=3

60乃•。。4

----------=-719

1803

解得。。=4,即AD=S.

•・•力。是。。的直径,

："ABD=90°,

•，•AB=AD-cos30°=4石，

在RtAJBC中，ZBJC=30°,

:.BC=*AB=2Q,

根据勾股定理，得AC=y/AB?-BC2=6,

.•.S=-BCxAC=-y2>5x6=6y/3.

AAo\H,-C22

y△BOE和AABE的面积相等,

2

ccrr60^x4rr8

屋械•一'题形BOE=673----TTr—=6^3--^.

3oU5

故选:A.

9.如图，二次函数尸&+及+c("0)的图象与x轴相交于/(TO),4(1,0)两点，下列说法：①电>0；

②2a-b=0；（3）4a+2b+c>0；④方程ad+bx+c-2=0有两个实数I艮：@am2-a+bm-b>0（,n

为任意实数).其中正确的有()

A.②③④B.①④⑤D.①②③④⑤

【答案】A

【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图

象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键.

根据所给函数图象，得出。，b,c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给选项依次进行判断

即可;

【详解】解：由函数图象和已知条件可知，cvO,a>0,-二=芸^=1<0,

2a2

A>0,

，bc<0,故①错误;

.2:1,即2q—b=0,故②正确；

2a

由函数图象可知，当x=2时，y>0,

BP4a+2b+c>0,故③正币角；

•.子=加+云+4”0）的图象与直线尸2有两个交点，

二方程or，+bx+c-2=0有两个实数根，故④:正确：

,；b>0,

.•.当〃？=-1时，am2-a+bm-b=a-a-b-b=-2b<0,故⑤）错误.

故正确的有：@@@.

故选：A.

第二部分（非选择题共93分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

10.已知点力（内,必），8（.马,%）在反比例函数的图象上，且再</<0,则凶为.（填“>”、

“<”或“=”）

【答案】>

【分析】本题考查了比较反匕例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求

解.

根据反比例函数的性质，在》<0时，函数值歹随x的增大反而减小，由王<马<0可得乂>%.

【详解】解：因为点8（七,必）在反比例函数尸：的图象上，

11

所以必=一,%=一•

由于再<》2<0,且反比例函数yu'!"在x<0时，y随X的增大反而减小，

X

因此y>n.

故答案为：>.

11.如图，。尸与y轴相切于点C,与x轴相交于点力（-1,。），8（-9,0）,圆心尸的坐标是.

【答案】（-5,3）

【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的为定和性质，勾股定理.

连接PC,P4,作PDtAB受AB于点、D,根据垂径定理得到4。==4,则00=5,根据切线的

性质定理得到NPCO=90。，进而证明四边形/WC是矩形.得到PC=D0=5,进而得到

AP=PC=5,根据勾股定理求出=3,即可求出圆心尸的坐标.

【详解】解：如图，连接PC,P4,作PDJ.48交4B于点D,

•.•4(7,0),8(-9,0),

1-1-(-9)

•••AD=—AB=------=4,

22

•••OD—OA+AD=1+4=5»

尸与y轴相切丁点C,

..ZPCO=9()0,

•.•々00=90。，NCW=90°,

.•.四边形尸QOC是矩形，

:.PC=DO=5,

:.AP=PC=5,

••PD=yjp^-AD1=752-4;=3,

・•・圆心户的坐标是(-5,3).

故答案为：(-5,3).

12.四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传

诵.在力箱中放置的是卬有“孙悟空”、“林黛玉”、“武松”、“诸葛亮”这4张卡片，8箱中放置的是印有

“大闹天宫”、“葬花”、”景阳冈打虎”、“草船借箭”这4张卡片，这些卡片形状大小完全一样，现从力、

8箱中分别抽取一张卡片，人物和故事情节能对应得上的概率是.

【答案】7

【分析】本题主要考查概率的计算，列树状图是解题的关键.

根据题意画树状图，根据题意求概率即可.

【详解】解：根据题意，得到如卜树状图，

开始

大葬

草

大

草

大

草

大

草

景

莽景

莽景

葬景

闹花

闹

闹

船

闹

船

船

船

花

花

花

阳

阳

阳

阳

天

天

天

借

天

借

借

借

冈

冈

冈

冈

宫

宫

宫

箭

宫

箭

箭

箭

打

打

打

打

虎

虎

虎

虎

共16种情况，其中人物和故事情节能对应的有4种，

41

所以概率为77=二，

164

故答案为：7.

4

13.定义：关于丁的一元二次方程〃?(x—cY+d=O与〃(％-。『+"=0为“同族二次方程”.如2卜一1『+3=0

与6(x-炉+3=0是“同族二次方程”.若关于'的一元二次方程2(x-l『+l=0与(〃+6)

/-e+8卜+6=0是“同族二次方程”，则代数式分+队+2025能取得的最大值是.

【答案】2026

【分析】本题考查二次函数的解析式与性质，先根据同族二次方程的定义，将第二个方程转化为顶点

式，通过比较系数求出。和占的值，再代入代数式求其最大值.

【详解】解：••,2(x-l)2+】=0与(。+6)/一优+8)x+6=0是“同族二次方程”,

/.(^+6)JT3-(Z)+8)x+6=(«-6)(x-l)?+1,

(Q+6)X~—(8+8)x+6=(a-6)厂—2(Q+6)X+Q+7,

-(6+8)=-2(a+6)

6=a+7

a=-\

..,

b=2

ax2+bx+2025=-x2+2x+2025=-(x-I)2+2026,

v(x-l)2>0,

/.-(x-1)2+2026的最大值为2026,

即a-+6x+2025能取得的最大值为2026.

14.如图，在等腰RtA4BC中，NBAC=90。,AB=AC,/川北的角平分线交4C于点E,AD上BE交BE

于点F，交8c于点。.。为的中点，连接OF,若EF=a，DF=b,则(用含。，〃的式

子表示)

【答案】a+2b/2b+a

【分析】连接04交8E于点G,证明A/BG空。Z),推出BG=3,再证明/6=庄=。、力尸=。/=6

即可得解.

【详解】解：连接。1交15f■丁点G,

-ABAC=90°,AB=AC,。为8c的中点,

OA=OB=OC,

...4OAB=/ABO=ZOAC=ZC=45°，

BE平分ZABC,

,\ZABG=22.5°,

■：AD_LBE

NJ所=90。，

.\Z5JF=67.5°,

:"CAD=ZABF=22.5°,

•.•△45G和△。。中，

NC4D=NABF

<AB-AC,

/BAG=NACD

:.^ABG^CAD(ASA)t

BG=AD»

/.ZFAG=ZOAC-ZCAD=22.5°=ZABG,

ADA.BE,

二乙4GF=4EF=67.5。,

:.AG=AE,

等腰&4EG中有FG=必=a,

•;/BAF=90°-ZABG=90°-NCBG=4BDF,

：.AB=BD,

又力DJ.BE,

,\AF=DF=b,

:.BF=BG+FG=AD+FG=2DF+FE=a+2b.

故答案为：a+2b.

【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、

等腰三角形的判定和性质，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题.

15.如图，在函数必=&(4<0)和必=)(x>0)的图象上,分另］有4、8两点,若>8〃x轴,交「轴于点

XX

C,且ON_LO8,S〜8=1,48”=4,则线段48的长度=.

O\5

【答案】5

k

【分析】木题考查了反比例函数尸二£/工0）系数左的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比

X

例函数图象上点的坐标特征.先根据4/x=l,SaBOC=4,求出〃]=-2,k2=8,设8点坐标为

化力（"0）,则可表示出4点坐标为（二然后证明心△力OCSRN9",得到21=空，即

VJI/JBCOC

2

|=解得/=2,再确定力、4点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段48的长.

t

【详解】解：YSAAOC=\，G"=4，

••・；图=1，3闷=4,

:.k.I=-'2,/%,=8,

2Q

・••两反比例解析式为y=--，y=-,

XX

<O\

设8点坐标为一〃（，>0）,

I"/

•••48〃x轴，

••J点的纵坐标为/,4co=90。，

22

把y=f代入歹=得1=_一,

xt

••A点坐标为卜

VOALOB,

.•ZOC+/8OC=90°,

•.NOBC+/BOC=W\

£AOC=AOBC,

・••RtAAOCsRtAOBC，

2

OCACHnt7

BCOC8t

t

.,.t=2,

'A点坐标为（T2）,B点坐标为（4,2）,

，线段.48的长度4-（-1）=5.

故答案为：5.

三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

16.如图，在△力8c中，点。为47的中点，过点。作直线/,请利用尺规作图法在直线/上作点E,F（E

在厂的左侧），连接CE,AF,CF,使得四边形力EW为矩形.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键；

依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是籍形.以。为圆心，CU长为半径画弧，交直

线/于两点，左侧的点为R右侧的点为厂连接力E、CE、AF,CF,四边形力£3即为所求矩形.

【详解】解：如图，点尸即为所求

四、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.计算（本小题每题4分，共8分）

（1）解方程：X2-6X+8=0.

(2)计算：cos245°+>/3sin60o-tan600-tan30°

【答案】（1）M=2,元=4；（2）1；

【分析】（1）此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法进行解方程即可.

(2)本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算即可，熟记特殊

角的三角函数值是解题的关键；

【详解】⑴解：x2-6x+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

x-2=0或x-4=o,

x,=2,X2=4.......................................4分

(2)解：cos245°+V3sin60°-tan600-tan30°

=(圻+百4-百4

=14-1

22

=2-1

=1.......................................4分

18.(5分)体育中考前，初三某班组织模拟测试，其中“球类自选项目“需从篮球、足球、排球3种球类中

选择.体育老师准备了3个完全相同的不透明小球，分别标注“篮皿足”“排”字样(分别记为“，B,

C),放入不透明袋子中.测试规则为：一名同学有放回地从袋中随机摸球两次，第一次摸出的球代表

第一备选项目，第二次摸出的球代表第二备选项FI(两次项目可重复).

(1)请用列表法或者画树状图法中的•种方法，列出该同学两次摸球的所有可能的结果总数；

(2)求该同学两次摸出的球中，恰好标注的是“篮”和“足”字样的概率.

【答案】(1)见解析

尾

【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键：

(1)根据题意，列出表格，作答即可；

(2)结合(1)中表格，利用概率公式进行计算即可.

【详解】(1)解:由题意,列表如下:

ABC

AA,AA,BA,C

BB,AB,BB,C

CC,AC,BC,C

共有9种等可能的结果；....................3分

（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中恰好标注的是“篮”和“足”字样的有2种结果,

19.（6分）图1是我国古代提水的器具桔棒（/话颜。），创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿的中

点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小

竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿

时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔棒的示意图，大竹竿力8=8米，。为力8的中点，支

架。。垂直地面瑁〜此时水桶在井里时，AAOD=\20°.

（1）如图2,求支点。到小竹竿4C的距离（结果精确到0.1米）;

（2）如图3,当水桶提到井口时,大竹竿28旋转至4妫的位置，小竹竿力"至4G的位置,此时

/%。。=143。，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：

V3»1.73,sin37°«0,6>cos37°«0.8,lan370ko.75）

【答案】（l）3.5m

（2）1.2m

【分析】本题考查解直角三角形的应用.正确构造直角三角形是解题的关键.

（1）作OM±AC卜点M,易得AO的长度和4OM的度数，根据AO的长度和NAOM的余弦值可

得OM的长度；

（2）在（1）中求得4M的长，作ON_14G于点N,可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离

为4M与4N的差.

【详解】（1）解：如图，作OM14CF点M,则/4WO=/CMO=90。，

A

由题意得：ACA.EF,OD1EF,

.•ZCO=/ODC=90°,

:.ZMOD=90°,.......................1分

•••400=120。，

.-.ZJOM=30o,......................2分

•.•48=8米，。为彳8的中点，

.•。=4米,

.•OW=4xcos30o=2G=3.5（米）：.....................3分

（2）解：在（1）中4V=,O1=2米，

2

如图，作0N_L4G于点N,则乙仍。=90。，

Ax

同理可得。4=4,Z4^V=143o-90°=53°,......................4分

・•々=37。，.....................5分

•••水桶在竖直方向上升的足月离为••・4汽一//〃一4入85370—2912米，

故水桶在竖直方向上升的距离约为1.2米.....................6分

20.（6分）已知在0。中，弦CZ）与直径交于点P.

c

c

y图①Dv图z②r

(1)如图①，若々8=30°,zXPC=50°,求N'CD6的度数.

(2)如图②，过点。作。0的切线交力5的延长线于点。.若N8CD=2()。，PQ=DQ,求/48C的度

数.

【答案】(1)70。

(2)45°

【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识：熟练

掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键.

(1)由三角形的外角性质得出48。=20。，由圆周角定理得NZOC=//8C=20。，即可得出答案：

(2)连接OD,由切线的性质得出/。。。=90。，求出/。=50。，由等腰三角形的性质可得出答案.

【详解】(I)解：如图，连接力。，

vZJPC=50°,48=30。,

ZABC=NAPC-/.BCD=50°-30°=20°.

^ADC=^ABC=20n.

:"CDB=4DB-ZADC=90°-20°=70°.2分

(2)如图，连接OO,

c

图②

•••ziBCD=20°,

.•.NDOB=2NBCD=400.....................3分

•：OD切OO于点、D,

:.ODLDQt即NOO0=9O°.

:.乙Q=90°-NDOB=90°-40°=50°.

PQ=DQ,

ZQPD=ZQDP=18°°-Zg=65°.....................5分

/.ZABC=4QPD-/BCD=65°-20°=45°.....................6分

21.(8分)“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售4〃两类腊肠.4类腊肠进价50元/件，4类腊肠进价60元

/件.已知购买2件力类腊肠和1件4类腊肠需192元，购买3件4类腊肠和5件4类腊肠需540元.

(1)求力类腊吻和3类腊肠每件的售价各是多少元？

(2)力类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10

件(每件售价不低于进价).设每件4类腊肠降价x元，每天的销售量为歹件，请直接写出y与x的函

数关系式，以及自变量x的取值范围.

(3)在(2)的条件下，设该店每天销售4类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出

每天每件月类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？

【答案】⑴A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件

(2)^=10x+60(0<x<10)

(3)iv=-10x2+40.r+600,每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为640元

【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解

答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元一次方程.

(1)根据题意设每件4类腊肠的售价为戈元，则每件8类腊肠的售价为。92-力元，进一步得到关厂工

的一元一次方程求解即可；

(2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得

到X得取值范围；

(3)结合(2)中彳类腊肠降价x元与每天的俏售量方件，得到力类腊肠的利润，整理得到关于"的二

次函数，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：设每件彳类腊肠的售价为x元，则每件8类腊肠的售价为(192-2%)元，

根据题意得3X+5(192-2X)=540,

解得x=60,....................1分

则每件5类腊肠的售价192-2x60=72(元),

答:《类腊肠的售价为60元/件，5类腊肠的售价为72元/件;....................2分

(2)解：由题意得y=10x+60,....................3分

•.Y类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价，

.-.0<x<10,

答：y=l0x+60(04x410)；....................4分

(3)解：tv=(60-50-x)(10x-60).....................5分

=-1Ox2+40x4-600

=-10(X-2)2+640,.....................6分

v-10<0,

・•・当x—2时，卬有最大伯640,.....................7分

答：力类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元......................8

分

22.(8分)如图，一次函数乂="+〃(％H0)的图象与反比例函数为=?(〃?/0)的图象交于第二、四象限内

的4、8两点，点力的坐标为(-2,4),点8的坐标为(&〃).

⑴则〃?=_,«=_;

⑵若乂时，则x的取值范围是；

(3)过点8作BC_Ly轴于C点，连接/C,过点。作于点。，求线段8的长.

【答案】(1)-8,-1

(2)x<-2或0<x<8

⑶华

【分析】此题考查了反比例函数的图形和性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是

解本题的关犍.

(1)先将点力坐标代入反比例函数解析式中，求出〃?，再将点8坐标代入反比例函数解析式中求出

(2)根据图象直接得出结论；

(3)先求出BC,h,再求出48,最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论.

【详解】(1)解：丁点4-2,4),8(8,〃)在反比例函数必=?的图象上，

/.w=-2x4=-8,......................................1分

Q

・••反比例函数的解析式为必=-2,

x

Q

•••3(81)在反比例函数%=——的图象上,

X

8〃=—8,

・二〃二一1,

故答案为：-8,-1；.....................................2分

(2)解：由(1)知，〃=一1,

.....................................3分

vJ(-2,4),

••.当x<-2或0cx<8时，M>外,

故答案为：x<-2或0vx<8；......................................4分

(3)解：轴，8(8,-1),

BC=8,

•••点)到8C的距离/=4一(-1)=5,....................................5分

作AH//x轴，8"〃y轴,

由勾股定理得：44=1(2+8广+(4+1)2=5斯,....................6分

CD1AH,

S,=-BCh=-AHCD

6G/Bf/iC22t

8x5_8石

8分

23.(8分)如图，在△力4C中，点。是边4C上一点，过点。分别作。£•〃48交4C于点E,DF〃AC交

AB于点F,连接X。，力。平分4C.

(1)求证：四边形力E。厂是菱形;

(2)连接E产交/⑺于点O,若N8.4C-60。，AE=5,求力。的长.

【答案】(1)见解析

⑵5行

【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是

解题的关键.

(1)先证四边形尸是平行四边形，再通过等角对等边证4七=。£,即可得出结论；

(2)先证明△4E/是等边三角形，则£产=4七=5,根据菱形的性质得到EO=g,然后由勾股定理求

解N。，即可求解40.

【详解】(1)证明：•.•加〃/C,DE//AB,

・・・四边形4E0户是平行四边形,/ADE=NFAD,...................1分

•.•力。平分NA4C,

:"寺=4FN)、...................2分

:.&AD=ZADE,

•••AE=DE,

・••平行四边形力。尸是菱形；....................3分

(2)解：■.•四边形力EZW是菱形，/%1。=60。,月七二5,

：.AD上EF,AO=DO,AE=AF=5,EO=F0,..................4分

••.△川沙是等边三角形，....................5分

EF=AE=5,

:.EO上,...................6分

2

在Rt△4E0中，AO=ylAE2-EO2=173,...................7分

•••/。=2彳。=5万......................8分

24.（10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物

线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇

合.如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须

在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直

径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建

改造后喷水池水柱的最大高度.

【答案】（1）水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为'=-!（工-3『+5（0KXK8）；

（2）为了不被淋湿，身高L8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；

QA

（3）扩建改造后喷水池水柱的最大高度为三米.

【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点（8,0）,求出。值，此题

得解；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=L8时x的值，由此即可得出结论：

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与V轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改

造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为），=-+2+内+与，代入点（12,0）可求出〃值,

再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论.

【详解】（1）解：•••如图所示,可知第一象限的顶点坐标为（3,5）,经过（8,0）,

•••设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为^二。卜-3）2+5（。/0）,................I分

将（8,0）代入y=a（x—3『+5,得：25a+5=O,

解得：。=一；，....................2分

•••水柱所在抛物线（第•象限部分）的函数表达式为y=-；（x-3『+5（0«xW8）...............3分

（2）•••当y=L8时，代入得：-1（X-3）2+5=1.8,.....................4分

（X-3）2=-5X（1.8-5）,

（X-3）2=16,

x—3=±4,

x=±4+3,.....................5分

二解得：再=7,w=T（舍）.

为了不被淋湿，身高L8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.....................6分

（3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为蚱，—+内+他叱0）.

•••改造前，当x=0时，j^=-1x32+5=y,

又：喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，

16

•••改造前后喷出水柱形状不变，

11216八

/.ni=a=--,MLlr|lJy=~~^x+wx+—......................7分

•••水池的直径扩大到24米，

二改造后水柱所在抛物