与圆有关的位置关系 同步练习（含解析）-华东师大版数学九年级下册

27.2与圆有关的位置关系

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，A8与©。相切于点8,连接。4交于点C,。为优弧8。。上一点，连接08，DC,

若NBDC=35°,则NA的度数为（）

A.20°B.30°C.35°D.55°

2.等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）

A.3：2：1B.1：2：3C.2：3：1D.3：1：2

3.如图，PA,P4分别与：。相切于点人，B,PO交。于点£,过点8作弦8C//PO,若PA=2PE=4,

4.已知CO的半径是3cm,0A=4cm,P是线段0A的中点，则点夕与00的位置关系是（）

A.点。在©。内B.点P在（。上C.点P在外D.无法确定

5.如图，已知点A8在GO上，44。8=144。，直线MN与fO相切，切点为C,且C为弧A8的中

A.18°B.30°C.36°D.72°

6.如图，A〃与（口相切于点A,04与（O交于点C,若ND=NB,A3=4.则03的长度为（）

D

o

触

A.2x/3B.8#C.我D.

A

7.RlAABC中，ZC=90°,A8=15,cos/4=-,以点3为圆心，r为半径作。8,当8与AC相

切时，r).

A.6B.8C.9D.12

8.如图，ZABC=80°,O为射线BC上一点，以点O为圆心，goB长为半径作。O,要使射线BA

与。O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（）

B.50。或110。C.50。或100°D.60。或120°

9.如图，AB是。0的直径，点C在AB的延长线上，CD与（DO相切于点D,若NCDA=122。，则

ZC的度数为（）

C.28°D.30°

10.如图,AB切。于点A,80交《O于点C,点。在（。上，若NA0C=32。，则乙430的度数

C.26uD.36u

11.如图，在RSABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。。为△ABC的内切圆，点D是斜边AB

的中点，M'JtanZODA=()

A.立B.立C.x/3D.2

23

12.如图，将。。沿弦AB折叠得到A〃山所在圆的切线交。。于点C，若。。的半径为I,当AC取

最大值时，则弦A3的长是（）

A.1B.&C.上D.2

二、填空题

13.如图，AB、AC与。O相切于点B、C,ZA=54°,P为。O上异于B、C的一个动点，则NBPC

的度数为.

14.如图，VABC的内切圆。。与AB、BC、C4分别相切于点。、E、尸，且4）=2,BC=5,则

VA3C的周长为

15.中国铁路的转弯处可以抽象为以下模型，如图，若C4和C8都是扇形的切线，。为60。，6A=1.5km,

则可以求AB的长是.

16.0O的半径为2,点A到圆心的距离是3,则点A与(。的位置关系是

17.已知直线产kx(k¥0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m>0)个单位，若平移后得到

的直线与半径为6的。。相交(点0为坐标原点)，则m的取值范围为一.

三、解答题

18.如图1,是。。的直径，。是CO上一点，COJ.A8于。，石是84延长线上一点，连接CE,

ZACE=ZACD,K是线段4。上一点，连接CK并延长交(。于点尸.

⑴求证：CK是.。的切线；

(2)若AZ)=Z)K,求证：AKAO=KBAEx

(3)如图2,若=•="，点G是的中点，AG与CF交于息P,连接8儿请猜想尸人,

PB，P尸的数量关系，并证明.

19.如图：VA4C'中，AB=AC,以AB为直径作交BC于点、D,交AC于点上，点/在AC'的

延长线上的，匕CBF=、4BAC.

2

⑴求证：直线防是。的切线；

⑵若「C=l,8尸=3,求8的半径.

20.如图，在VAAC中，ZABC=90°,ZBAC=30°,以AB为直径作O.交AC于点Q.过点。作。O

的切线0M交BC于点M.

⑴求证：CM=BM.

⑵若A/>=26，P为AB_L一点,当尸河十尸。为最小值时，求A尸的长.

21.我国的纸伞工艺十分巧妙.如图①，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞

骨所成的角N84O,从而保证伞圈C能沿着伞柄滑动.小明受此启发设计了一个“简易平分带仪器”,

如图②，其中=BC=DC,将仪器上的点A与/PR。的顶点R重合，调整AB和A。，使它

们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE,则AE为NPRQ的平分线.

A(M)

图②图③

⑴如图②，试说明这个平分角的仪器的制作原理;

(2)如图③，将上述半分角仪器的顶点4落在O的直径的端点M处，边A3与直径用内共线，边

4D与：，。相交于点G,AC交：。于点E,过点E作：，。的切线，与AR8C分别交于点孔”.

①求证：EFJ.AD；

②若©0半径为3,AE=4,求族的长.

22.如图，在VA3C中，以AB为直径的O经过点C过点。作。。的切线C",点。是。上不与点

AB、。重合的一个动点，连接A。、CD、BD.

DB

O

A

⑴求证:NACE=NAL>C；

（2）填空：

①当NOC8=一时，△A3Q为等腰直角三角形:

②当时，四边形0C4。为菱形.

23.如图，在RS/WC中，乙48c=90。，4c的垂直平分线分别与AC,BC及48的延长线相交于点。,

E,F,且BF=8C,是炉的外接圆，NEB尸的平分线交于点G,交。。于点H,连接BD,

FH.

（1）试判断8。与。O的位置关系，并说明理由;

(2)若A3=l,求HGH8的值.

24.课堂上，李老师布置一道作图题如下:

已知：如图，：。及O外一点P.

求作：直线PQ,使尸。与GO相切于点Q.

某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）：

①连接0P,分别以0,P为圆心，以大于3。尸的长为半径作弧，两弧分别交于A,8两点（点4,B

分别位于直线0P的上下两侧）：

②作直线A8交0P于点C；

③以点。为圆心，C0为半径作（C,。交」。于点Q（点。位于直线0P的上侧）；

④连接PQ,则直线PQ即为所求作直线，PQ交ABF点、D,连接32、0D.

根据这个同学的作图方法,解答下面问题：

⑴完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）

⑵结合作图，说明PQ是。切线的理由；

⑶若半径为4,OP=10,求OO的长.

《27.2与圆有关的位置关系》参考答案

题号12345678910

答案ABBAADCBBC

题号1112

答案DB

I.A

【分析】连接。从根据圆周角定理可得NBOC=2N4QC=70),根据切线的性质可得N/WO=90。，再

由三角形的内角和可求.

则N8OC=2N8QC=7()。，

•・•A8与工。相切于点8,

/.N/1BO=90。，

:.Z4=90°-Z50C=90°-70°=2(T,

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键.

2.B

【分析】如图，。0为dABC的内切圆，设。0的半径为r,作AH±BC于H,利用等边三角形

的性质得AH平分NBAC,则可判断点。在AH上，所以OH=r,连接0B,再证明

OA=OB=2r,则AH=3r,所以OH：OA：AH=1：2：3.

【详解】解：如图，OO为AABC的内切圆，设。0的半径为r,作AH1BC于H,

VAABC为等边三角形，

AAH平分NBAC,即ABAH=30B

・••点O在AH上，

AOH=r,连接0B,

V0O为^ABC的内切圆，

AZABO=ZCBO=30°,

・・・OA=OB,

在RtAOBH中，OB=2OH=2r,

AAH=2r+r=3r,

AOH：OA：AH=1：2：3,

即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心

与三角形顶点的连线平分这个为角.也考查了等边三角形的性质

3.B

【分析】连接04,过。作。FJL8C于r，利用切线的性质求解圆的半径，利用平行线的性质证明

/。8尸=/尸利用等角的三角函数及垂径定理可得答案.

【详解】解：如图，连接过0作于死

PA,尸8分别与（。相切于点4,B,设半径03=〃，

Z™0=90°,

VPA=2PE=4

PO=PE+r=2+r,PA=PB=4,

,-.（2+r）2=42+r2,

r=3,

OP=5,OB—3,

.-.coszpozy=—=-,

OP5

BCUOP,

NOBF=4POB、

z.cosZ，O八B，）F心=BF=—3,

OB5

39

BF=-x3=-,

55

OF±BC,

1Q

BC=2BF=—.

5

故选B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，切线的性质及切线长定理，垂径定理，锐角三角函数，勾股定

理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

4.A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由。的半径是女m,0A=4cm,P是线段的中点，所

以OP=2,根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与。的位置关系.

【详解】解：:。的半径为3cm,Q4=4cm,P是线段04的中点，

OP=2cm,

工点尸点在圆内.

故选：A.

5.A

【分析】本题考查了切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，掌握切线的性

质，弦、弧、圆心角的关系是解题的关键.

根据切线的性质得到OC_LMN,即NOCM=NOCN=90。，根据点C为弧A8的中点，可让

0A8OBC(SSS),得至」1/。。=NOC8=；NACB=72。，由此即可求解.

【详解】解：•・•直线MN与：。相切，切点为C,

・•・OC1MN,即40cM=ZOCN=90°,

•••点C为弧A8的中点，

-AC=BCf

・•・AC=BC,

OA=O氏OC=OC,AC=8C,

・•・一OAg'OBC(SSS),

/.ZOCA=ZOCB=-ZACB=72°,

2

・••ZACM=ZOCM-ZOC4=90<>-72<>=180,

故选：A.

6.D

【分析】连接OA,根据切线的性质可得。A_L/W,根据圆周角定理可得NO=g/AO8,由ND=N8,

可得N8=30。，解直角三角形AO8即可求解.

【详解】解：连接04,

〈AB与。相切于点4,

：.OA±AB,

AC=AC^

ND=L/AOB,

2

*ZD=ZB,

NB’ZAOB,

2

ZA(7^+ZB=90°,

•••4=30。，

iAB48y/3

cosBV33,

T

故选D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，求得/8=30°是解题的关键.

7.C

【分析】利用锐角三角函数先求解8C,再结合8与AC相切可得答案.

4

【详解】解：如图，ZC=90°,A6=I5,cosA=-,

、BC3

155

BC=9,

08与AC相切，

\r=BC=9.

故选C

【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，圆的切线的性质，熟练的利用锐角三角函数值求解直角

三角形的边长是解本题的关键.

8.B

【详解】如图，当AB旋转到BD,BE的位置时与圆相切，由题意得：NBDO=NBEO=90。，器=g，

则/£)80=NEBO=3()。，得：ZABD=50°,=11()。.故选B.

9.B

【分析】连接0D,如图，根据切线的性质得NODC=90。，即可求得NODA=32。，再利用等腰三角

形的性质得NA=32。，然后根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】连接0D,如图，

\A

CB

•••CD与0O相切于点D,

AOD±CD,

/.ZODC=90°,

AZODA=ZCDA-90°=122°-90°=32°,

VOA=OD,

/.ZA=ZODA=32°,

/.ZC=1800-ZADC+ZA=180°-122°-32°=26°.

故选B.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的

半径，构造定理图，得出垂直关系.

10.C

【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理.根据切线的性质得NOA3=90。，再根据圆周角定理得

到NAOC=64。，然后利用直角三角形两锐角互余计算NABO的度数.解题的关键是掌握圆的切线垂

直于经过切点的半径及圆周角定理.

【详解】解：・・・44切。于点A,

，ZCMB=90°,

*/ZADC=32°,

•••ZAOC=2ZADC=2x32o=64°,

・•・ZABO=900-Z4OC=90o-64o=26°,

•••430的度数是26。.

故选：C.

II.D

【分析】设。O与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,OG,则OE_LAB.根据勾

股定理得AB=10,再根据切线长定理得到AF=AE,CF=CG,从而得到四边形OFCG是正方形，

根据正方形的性质得到设OF=x,则CF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x,建立方程

求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即可求出最后结果.

【详解】设。O与AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,OG,则

NOGC=ZOFC=NOED=9(F,

VZC=90°,AC=6BC=8,

/.AB=10

•••。。为^ABC的内切圆,

・・・AF=AE,CF=CG（切线长相等）

VZC=90°,

・•・四边形OFCG是矩形，

VOG=OF,

・•・四边形OFCG是正方形，

设OF=x,WiJCF=CG=OF=x,AF=AE=6-x,BE=BG=8-x,

/.6-x+8-x=10,

.*.OF=2,

，AE=4,

丁点D是斜边AB的中点，

AD=5,

DE=AD-AE=1,

OE

（anZODA=----=2.

DE

故选D.

【点睛】此题考查了三角形内切圆的性质.注意切线长定理.还要注意直角三角形的内切圆中，如果

连接过切点的半径，可以得到一个正方形，借助于方程即可求得半径的长.

12.B

【分析】如图，设人用8的圆心为0'，连接AO，，。0,交A8于广.只要证明aAO。是等腰直角三角形

即可解决问题.

【详解】解：如图，设人〃山的圆心为。'，连接A。，，0。交AB于F.

•・•当AC取最大值时，AC是。。的直径，

乂〈AC是切线，

・・・NC4O'=90。，

,：OA=AO,,00」AB,

/.ZOAF=ZMO,=45°,

•・Q=1,

yF)

/=OA・cos45°="，

2

故选:B.

【点睛】

本题考查翻折变换、切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线解决问题，属于中考常考题型.

13.63。或117。

(分析］首先根据切线的性质得出ZOCA=/OBA=90°,然后利用四边形内角和求出NBOC的度数，

然后分两种情况：当点P在优弧BC上时或当点P在劣弧BC上时，分别讨论即可.

【详解】VAB.AC与。O相切于点B、C,

../OC4=NO射=90°.

•・•四边形内角和为360。,ZA=54°,

/.ZBOC=360°-90°-90°-54°=126°.

当点P在优弧BC上时，

:.NBPC=L/BOC=63。,；

2

当点P在劣弧BC上时,

.­.ZBPC=180o-63o=117°,

故答案为：63。或117。.

【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质和四边形内角和是解题的关键.

14.14

【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得A/=AE>=2,BD=BE,CF=CE,根据三角形的

周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关

键.

【详解】解：V/WC的内切圆。与A3、BC、C4分别相切于点。、E、F,

AF=AD=2,

BD=BE,

CF=CE,

:.BD+CF

=BE+CE

=BC

=5,

.•…ABC的周长：

AD+DB+BC+CF+AF

=AD+AF+BC+(BD+CF)

=14,

故答案为：14.

15.1.5km

【分析】本题考查扇形中求线段长，涉及切线性质、邻补角定义、四边形内角和及等边三角形的判定

与性质，连接AA,如图所示，根据邻补角定义、切线性质及圆内角和可得408=600,再利用圆的

性质，由等边三角形的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键.

・；C4和6都是扇形的切线,

.\OA±AC,OB±BC,

a为60。，

.-.ZACB=120o,

在四边形AO8C中，ZQ4C=ZOBC=90°,ZACB=120°,则NAO8=60。，

OA=OB,

.工AO8是等边三角形，即A8=O4=1.5km,

故答案为：1.5km.

16•点A在圆外

【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【详解】解：•••。的半径为2,点4到圆心的距离是3,

・••点A到圆心O的距离大于半径，

・••点A在。的外面，

故答案为：圆外.

【点睛】本题考杳了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种.设。的半径为「，点P到圆心

的距离OP=d,则有：当•时，点P在圆外；当4=/•点P在圆上；当4〈〃点P在圆内.

13

17.0<m<—

2

【详解】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐

标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答.

【详解】把点(12,-5)代入直线丫=10(得，

-5=12k,

..5

・・k=--；

12

由y二-平移m(m>0)个单位后得到的直线I所对应的函数关系式为y=-5x+m

(m>0),

设直线1与x轴、y轴分别交于点A、B,(如图所示)

当x=0时，y=m；当y=0时，x=-y-rn,

A(—m,0),B(0,m),

5

17

即OA=—m,OB=m,

5

在R(AOAB中，AB=yjOA2+OB2=Jfy]+〃/=

过点O作OD_LAB于D,

,・，SAABO=yOD・AB=：OA・OB,

・1cc13112

••-0De—〃I=Kx—mxm,

2525

Vm>0,解得OD="m,

13

1213

由直线与圆的位置关系可知77m<6,解得mV?,

132

【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表不出原点

到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比

较直观明了.

18.(1)见解析

(2)见解析

⑶"2+。尸=尸82，理由见解析

【分析】(1)连接OC,先由述明NC4D=NACO,再由=NACD,可证得N£CO=90。，即可

证明；

(2)先证得NACE=N8,/CAE=NBKC,说明△CAES^BKC,利用相似三角形的性质推得

ACKC=AEKB,再由NC4D=NCKO,ZC4D=ZOC4,判定△OCAS^CAK,利用相似三角形

的性质推得ACKC=AK-AO,从而可得结论；

(3)结论：〃*+尸产=。夕.连接反、8F,先证得NACE=NC8E,ZE=/E,从而.EACs.ECB,

由相似三角形的性质推得BC=2AC,再设AC=CG=G8=x,则AG==VIr，从而

PG1GB

有二不二下，结合NPGB=/BGA,可得APGBsABGA,进而推得=然后运用勾

GDy/2ACJ

股定理证即可得到结论.

【详解】(1)证明：如图1,连接OC,

/.ZC4D+ZACD=90°,

*：OA=OC,

/.ZCAD=ZACO,

又：ZACE=ZACD,

，z64CO+ZACE=90°,即NECO=90。，

又•・•OC是半径,

・・・C£是。的切线;

(2)证明：•・•A8是：，。的直径,

/.ZACB=90°,

ZC4D+Z^=90°,

又：ZC4D+Z>ACD=90°,

・••zS4CD=ZB,

/.ZACE=/B,

•：AD=DK,CDAB.

：,CA=CK,NCAD=NCKD、

・••4cAE=4BKC,

，MAESABKC，

,RPACKC=AEKB,

KCKB

又V4CAD=4CKD,NC4力=NOC4,

，AOCA^ACAK,

ArAn

二一=—，g|JACKC=AKAO,

AKKC

，AKAO=KBAE；

(3)解：PA2+PF?=PB2.理由如下:

如图2,连接人/、BF,

,:AF=BF，

：.ZACF=ZBCF=-ZACB=45°,AF=BF,

2

・•・NECK=ZACK+ZACE=45°+ZACE,ZEKC=/BCK+ZKBC=45°+ZABC,

/.NECK=乙EKC,

，EC=EK=AE+AK=2AE,

•:ZACE=/CBE,2E=4E、

:…EACS.ECB,

.AC_AE_\

BCCE2

解得8C=2AC,

点G是8C的中点，

・•・BC=2CG=2GB,

：.AC=CG,

AZACF=ZBCF,..ACG是等腰直角三角形，

：.CP±AG,AP=PG,

设AC=CG=G4=x,则AG=V777=缶，PG*X,

PG_1_GB

工赤=正二元，

又•:4PGB=/BGA,

,ZXPG8s△4GA,

:・NGBP=/GAB,

・•・/GBP+ZBCF=ZGAB+ZGAC,即ZBPF=ABAC,

■:BC=BC，

/.NBAC=NBFP,

/./BPF=/BFP,

/.BP=BF=AF,

在Rl4尸尸中，山勾股定理得尸A?十尸产=A产，

PA1+PF2=PB2•

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，相似三角形

的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，勾股定理等知识.熟练掌握等腰

三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，同弧或等

弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键.

19.(1)见解析

(2)2

【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是

解答此题的关键.

(1)连接A。，根据圆周角定理得到408=90。，根据等腰三角形的性质得到=

求得，得到/=90。，由切线的判定定理即可得到结论.

(2)设A8=4C=x,则4/=x+l,根据勾股定理得到(x+l)2=32+d,%=4即可解答.

•••AA是。的直径，

AZADB=90°,

ZBAD+ZABD=90°,

VAB=AC,

・••/DAB=ACAB=-ABAC

一?t

VZCBF=-ZBAC,

2

・•・ZCBF+ZABD=90。,即ZABF=90。，

，BFtAB,

TAB为直径，

••・直线的'是，。的切线.

(2)由(1)得BF上AB,

,ZABF=90°,

设AB=AC=x，

VFC=1,BF=3,

，AF=x+l,

在RfABF中,

丁AF2=AB-+BF1，

A(X+I)2=32+X2,

x=4,

:.。的半径是2.

20.⑴见解析

喈

【分析】(1)连接OM,。。，根据切线长定理可得NA/O8=30。，进而根据平行线分线段成比例可得

M.为的中点：

(2)过点。作DE_L8C,垂足为F,延长C8至E,使得BE=MB,连接/M,DE交AB于点P,

连接尸M,则打必二小，进而证明AETOS_£Df，根据相似三角形的性质求得心的长度，根据

A8-尸8即可求解.

【详解】(I)如图，连接。加，。。，

Z4BC=90°,

..ABJ.BC,

.•・M8是。的切线，

0M是。的切线，

:.MD=MB,

MO平分NDOB,

vABAC=30°,

:.ZBOD=60°,

NMOB=-NDOB=30°,

2

;.ZBAC=NBOM，

CMAO,

MBOB

:*CM=MB；

(2)如图，过点。作。产_LBC,垂足为F,延长C8至E,使得的=M8,连接D3，OE交A8于

点/%连接?“，则=

DP+PM=DP+PE>DE,当。，P，E二点共线时,QW+0。最小.

/W是直径，

ZADB=90°,ZBAC=30°,AD=2值,

:.AB==4,

cos30°

:.D/3=-AB=2

2t

ZABC=9(nZ^C=30°,

.1.ZC=60°,

.rnnR_2GrR-one-4G

333

...DF=—DC=1,

2

DM=MB=CM,ZC=60°,

.[QCM是等边三角形，

FM=-CM=—,BE=MB=MC=DC=,

233

...DF=1,EF=—,

3

DF//PD,

:qEPBs_EDF,

.PB二BE

~DF~~EFf

PB2G5G

二.——=----+----

133

91Q

...AP=48—P8=4——=—.

55

【点睛】本题考查了切线长定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判

定，圆周角定理，综合运用以上知识是解题的关键.

21.(1)见解析；

⑵①见解析；②述.

3

【分析】(I)由SSS证明△AHXAADC,再根据全等三角形对应角相等得到/切C=NZMC,最后

结合角平分线的定义解答；

(2)①由角平分线的定义得到ND4C=N84C,结合圆的半经相等得到NB4C=NOE4,维而根据平

行线的判断方法证明OE〃A。，再由切线的性质得到OE_L阳，最后根据平行线的性质解答；②过

点。作OTJ.AE,由垂径定理得到比=2,由勾股定理解得07=石，再根据正弦定义

sinZDAC=sinZOEA解题即可.

AB=AD

【详解】(1)解：在VA4c和△?!£>€中，BC=DC,

AC=AC

•••△48C34DC(SSS),

：.ABAC=ADAC,

即/QRE=/PRE,

・•・是/松。的平分线；

(2)①证明：如解图，连接0E.

•••4C平分

ZDAC=ABAC.

•：OE=OA,

：.ABAC=ZOEA,

/.NDAC=N3EA,

：,0E//AD.

尸〃是0。的切线,

：・OE工FH,

，EFlADx

②过点。作OT_LAE,

AE=4，

.\TE=2f

:.OT=>iOE2-TE2=732-22=>/5

EFOTLAE,ZDAC=ZOEA

sinZ.DAC=sinZOEA

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、垂径定理、勾股定

理、正弦等知识，是重要考点，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键.

22.⑴见解析；（2）045。②120。

【分析】（1）连接OC根据等腰三角形的性质得到N0CB=N03C,根据平行线的性质得到NACB

=90°.再根据切线的性质定理及圆周角定理即可得到结论；

（2）①根据圆的对称性由BD=AD可得弧BD=MAD,再由圆周角定理得NDCB=NDCA,进而

得解；

②由菱形可得OD=AD,结合OD=OA,证得AOAD为等边三角形，则NOAD=60。，最后根据圆

周角定理即可得解.

【详解】解：（1）如图，连接。。，

DB

O

OB=OC,

NOCB=NOBC,

AB为。的直径,

.,.NACB=90°,

/.ZOC4+ZOC£?=90°,

CE是。的切线,

ZOCE=90°,

Z0CA+ZACE=9()0,

:.NACE=/OCB,

.ZABC=^ADC,

ZACE=^ADC

（2）①••.△AB。为等腰直角三角形,

•••AD=DB,

・••弧AD=MDB,

/.ZACD=ZDCB=ZACB,

VZACB=90°,

/.ZDCB=45°,

②•••四边形。CA。为菱形,

AOD-AD,

XVOD=OA,

AOD=OA=AD,

•••△AOD为等边三角形,

/.Z