新高考数学解答题核心考点预测：解析几何常见常考模型（原卷版）

第14讲解析几何常见常考模型

高考预测一：垂直弦模型

1.已知抛物线。:./=2/»（〃>0）的焦点是尸，若过焦点的直线与C相交于夕，Q两点，所得弦长|PQ|的

最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设A,8是抛物线。上两个不同的动点，O为坐标原点，若O4_LO8,OMLAB,M为垂足，证明：

存在定点N,使得|MN|为定值.

2.已知椭圆C:二+二=l（〃>b>0）,PQ后,0）、Q（l,业）是椭圆。上的两点.

crb~2

（I）求椭圆。的方程；

（H）是否存在直线与椭圆。交于A、8两点，交y轴于点M[0，M，使|OA+2O3|=|OA-208|成立？若

存在，求出实数，〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

3.已知曲线C上的任意一点到点尸（0.1）的距离与到直线v+l=0的距离相等.

（（）求曲线。的方程；

（H）若不经过坐标原点O的直线/与曲线。交于A,B两点,且。4_LQB.求证：直线/过定点.

1

4.已知椭圆。:=+2=1(〃>〃>0)的左、右两个焦点分别是E,焦距为2,点M在椭圆上且满足

a-b-

MF,1.F,F2,\MF{\=3\MF2\.

(I)求椭圆C的标准方程；

(H)点O为坐标原点，直线/与椭圆。交于A,B两点,且。A_LQ8,证明」于+—为定值，并求

\OAf

出该定值.

5.己知抛物线C：V=23(/)>0)焦点为尸，抛物线上一点A的横坐标为2,旦融・O4=10.

(I)求此抛物线。的方程；

(II)过点(4,0)做直线交抛物线C于4,B两点,求证：OALOB.

6.已知A,8为椭圆=+与=1上的两个动点，满足4408=90。.

a'b'

(1)求证：原点O到直线八4的距离为定值;

(2)求的最大值;

\OA\\OB\

(3)求过点O,且分别以04,08为直径的两圆的另一个交点户的轨迹方程.

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高考预测二：内接直角三角形模型

7.在直角坐标系X。、，中，点M到"（-石,0）、鸟（6,0）的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交

于点A,不过点A的直线l:y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q.

（1）求轨迹C的方程；

（2）当AP-AQ=0时，求Z与〃的关系，并证明直线/过定点.

8.已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为耳，尼，P为椭圆C上的动点，△尸耳人的面积最大

值为75,以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3*-”+5=0相切.

（1）求椭圆。的方程；

（2）若直线/过定点（1,0）且与椭圆C交于4,B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线与直线府分别

与），轴交于P,Q两点，试问以线段尸Q为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不

足，说明理由.

9.过抛物线二4），上不同两点4、3分别作抛物线的切线相交于P点，PA・PB=（）.

（1）求点。的轨迹方程；

（2）已知点尸（0,1）,是否存在实数4使得E4/8+zl（Q）2=0?若存在，求出义的值，若不存在，请说明

理由.

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10.已知椭圆/%:*■+方点4（-1,0）、C（-2,0）分别是椭圆”的左焦点、左顶点，过点匕的

直线/（不与x轴重合）交M于A,8两点.

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）若40,6），求AAQ4的面积；

（3）是否存在直线/,使得点8在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明

理由.

11.己知焦点在x轴上的椭圆C过点（0』），且离心率为乎，Q为椭圆C的左顶点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知过点（-*0）的直线/与椭圆C交于A,B两点.

①若直线/垂直于x轴，求Z4Q4的大小；

②若直线/与x轴不垂直，是否存在直线/使得△QA3为等腰三角形？如果存在，求出直线/的方程；如果不

存在，请说明理由.

高考预测三：中点弦模型

12.已知椭圆。:1+与=1（。＞〃＞0）的离心率为无，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为当径的圆与直

crb~2

线工+），+&=0相切.A、8是椭圆的左、右顶点，直线/过8点且与x轴垂直.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设G是椭圆C上异于人、B的任意一点，作G〃_L.r轴于点〃，延长"G到点。使得|HGRGQI,连

接AQ并延长交直线/于点M,N为线段/I仍的中点，判断直线QN与以A笈为直径的圆O的位置关系，并

证明你的结论.

13.已知椭圆上:二+《=1（〃＞人＞0）的左、右焦点分别为6、F,,A为上顶点，人耳交椭圆E于另一点8,

且的周长为8,点入到直线的距离为2.

（I）求椭圆石的标准方程；

（］【）求过。（1,0）作椭圆石的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点,

并求出定点的坐标.

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14.已知A,B,C是椭圆W:t+V=l上的三个点，O是坐标原点.

4.

（I）当点4是卬的右顶点，且四边形O44C为菱形时，求此菱形的面积；

（II）当点4不是W的顶点时.，判断四边形。44c是否可能为菱形，并说明理由.

15.已知椭圆。:二+与的离心率为,左、右焦点分别为冗，A，点G在椭圆C上，且

a~b~2

^FfiF2=60°,/XGI鸟的面积为

（1）求椭圆C的方程：

（2）设椭圆的左、右顶点为A,B,过鸟的直线/与椭圆交于不同的两点/，N（不同于点A,B）,探

索直线A/W,8N的交点能否在一条垂宜于x轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说

明理由.

22

16.已知椭圆：「+==1（。＞人＞0）过点七（a,1）,其左、右顶点分别为A,B，左、右焦点为6，F,,

a~b~

其中耳（一&,0）.

（I）求栖圆C的方程：

（2）设M（%）,尤）为椭圆C上异于A,B两点的任意一点，MNA.AB于点、N,直线/:x（）x+2为y-4=0,

设过点A与x轴垂直的直线与直线/交于点P,证明：直线族经过线段MN的中点.

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17.已知定圆。:/+），2一2X-15=0,动圆M和已知圆内切，且过点P（-1,O）,

（1）求圆心M的轨迹及其方程；

（2）试确定机的范围，使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线/:y=4x+〃?对称.

高考预测四：角分线模型

18.已知椭圆E经过点42,3）,对称轴为坐标轴，焦点”，居在x轴上，离心率e=’.

-2

（1）求椭圆E的方程；

（2）求的平分线所在直线/的方程；

（3）在椭圆E上是否存在关于直线/对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.

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19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆.十5=1，过坐标原点的直线交椭圆于尸，4两点，其中点P

在第一象限，过户作x轴的垂线，垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点3,设直线处的斜率为我.

(I)当々=2时，求点P到直线A/3的距离d；

(H)证明：对任意3都有％_LP3.

20.设A是单位圆f+丁=］上的任意一点，/是过点A与4轴垂直的直线，。是直线/与x轴的交点，点、M

在直线/上，且满足IDMI=m|DAI当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.

(/)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

(H)过原点且斜率为左的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N,

直线QN交曲线C于另一点"，是否存在加，使得对任意的我＞0,都有PQ_LP"?若存在，求〃?的值；

若不存在，请说明理由.

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22o

21.已知椭圆C:二十==1（。>〃>0）经过点A（l』），C的四个顶点构成的四边形面枳为4G.

a~b~2

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上是否存在相异两点E,尸，使其满足：①直线AE与直线"的斜率互为相反数；②线段

的中点在），轴上.若存在，求出㈤尸的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存任，请说明理由.

22

22.如图，已知椭圆三■+斗=1（。>“>0）,42,0）是长轴的一个端点，弦AC过椭圆的中心O,且AC8C=0,

crb~

\OC-OB\=2\BC-BA\.

（I）求椭圆的方程；

（11）设0、。为椭圆上异于A,8且不重合的两点，且/PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数加

使得PQ=2AB,若存在，请求出2的最大值，若不存在，请说明理由.

23.已知椭圆C:0+匕=1过点P(2,l).

a~2

（I）求椭圆C的方程，并求其离心率；

（H）过点。作x轴的垂线/，设点A为第四象限内一点且在椭圆。上（点A不在直线/上），点A关于/的

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对称点为A',直线A/与C交于另•点B.设。为原点，判断直线至与直线OP的位置关系，并说明理由.

24.已知点尸是抛物线。:/=2川（〃>0）的焦点，若点/4.%）在抛物线。上，且以点〃为圆心，PF长为

半径的圆与直线y=T相切.

（1）求抛物线。的方程；

（2）过点P作直线Q4,依分别交抛物线CJ-点A,8,若4P3的平分线与x轴平行，试探究：直线45

的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

25.如图，设尸为抛物线），=2万（〃>0）的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为（小，为）（7尸0）,Q为线

段,的垂直平分线上一点，且点。到抛物线的准线,的距离为|.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点?任作两条斜率均存在的直线上4、PB,分别与抛物线交于点A、B,如图示，若直线的斜

率为定值-2已，求证：直线如、的倾斜角互补.

>0

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高考预测五：切线模型

26.已知左、右焦点分别为E、£的椭圆。:二+==15＞人＞0）与直线），=1相交于4、B两点,使得四

a~b~

边形ABF.F.为面枳等于2&的矩形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C|上一动点P（不在x轴上）作圆。:』+），2=1的两条切线pc、PD,切点分别为C、D,

直线8与椭圆C1交于E、G两点，O为坐标原点，求AOEG的面积SSEG的取值范围.

27.已知丁（〃?,1）为抛物线。:*=2〃），（〃＞0）上一点，尸是抛物线C的焦点，且|"|=2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过圆E:f+（y+2）2=l上任意一点G,作抛物线C的两条切线乙，/2,与抛物线相切于点M,N,与

x轴分别交于点八，B,求四边形力助VM面积的最大值.