椭圆（解答题压轴题）学生版

专题22椭圆（解答题压轴题）

目录

①椭圆的弦长（焦点弦）问题..........................................1

②椭圆的中点弦问题.................................................4

③椭圆中的面积问题.................................................5

④椭圆中的参数和范围问题............................................7

⑤椭圆中的最值问题.................................................9

⑥椭圆中定点、定值、定直线问题.....................................11

⑦椭圆中向量问题..................................................13

⑧椭圆综合问题....................................................14

①椭圆的弦长（焦点弦）问题

1.（2023秋•吉林长春・高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知椭圆。:斗+4=1,左右焦点分别为

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尸2,直线/与椭圆交于4,B两点,弦人8被点,，用平分.

（1）求直线/的方程;

⑵求弦|A四的长.

2.（2023・全国•高二专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别是爪-1,0）,鸟（1,0）,并且经过点PL

⑴求椭圆。的标准方程;

⑵若直线，：y=x+/〃与椭圆C相交于A,B两点，当线段AB的长度最大时，求直线/的方程.

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3.（2023春・上海•高二专题练习）已知椭|员IC:二+与=1（"人0）的左右焦点分别为入、工，点M（0,2）是

a~b-

椭圆的一个顶点，△耳加入是等腰宜角三角形.

⑴求椭圆C的方程；

（2）写出椭圆C的长轴长;短轴长;焦距；离心率

⑶求直线y=x+i被椭圆C截得的弦长.

4.（2023・全国•高二专题练习）已知椭圆C：5+g=l（a>〃>0）的离心率为:，左顶点为A（-2,0）,直线/

与椭圆C交于P,Q两点.

⑴求椭圆的C的标准方程；

Q

⑵若直线”，AQ的斜率分别为勺，k2,且人&=-“求归0的最小值.

5.（2023・全国•高三专题练习）设椭圆中心在原点。上，焦点在x轴上，离心率为巫，椭圆上一点。到两

2

焦点的距离的和等于6：

⑴求椭圆的方程；

（2）若直线x+y+〃?=。交椭圆于A,8两点，且OAJLOB,求加的值；

⑶在（2）的结论下，求48的长.

6.（2023・江苏•高二专题练习）已知椭圆C.+木=1（"方>。）的离心率为总且过点（Le）和

⑴求椭圆C的方程;

8关于直线），=工+；对称，求|明.

⑵若椭圆。上有两个不同点A，

7.（2023・全国•高三专题练习）己知椭圆E：。普=1（〃”>0）的左、右焦点分别为匕、占夕是椭圆

E上一动点，△「£工的最大面积为白，田用=26.

⑴求椭圆E的方程；

⑵若直线x-）~1=O与椭圆E交子A、B两点,C、。为椭圆£上两点，且C/）_L/W,求|CZ）|的最大值.

8.（2023・全国•高二专题练习）已知。为坐标原点，椭圆C:t+《=1过点M,N,P,记线段MN的中点

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为2.

⑴若直线MN的斜率为3,求直线。。的斜率；

⑵若四边形OMPN为平行四边形，求|MN|的取值范围.

②椭圆的中点弦问题

1.（2023秋•高二单元测试）已知椭圆C：二+f=1,左右焦点分别为"，工，直线/与椭圆交于A,〃两

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点，弦A3被点（△半卜分.

⑴求直线/的方程；

⑵求△匕A8的面积.

2.（2023春•甘肃白银•高二统考升学考试）已知椭圆C:/+/=l（4小0）的离心率为冬尸3,

是

C上一点.

⑴求C的方程；

⑵设M,N是C上两点，若线段的中点坐标为求直线的方程.

3.（2023秋•湖北武汉•高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆C:£+£=l（a>/7>0）的焦距为6,

椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

（1）求椭圆。的标准方程；

⑵若直线/与C交于A,8两点，且线段A8的中点坐标为求直线/的方程.

4.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•高二校考阶段练习）己知椭圆C：。+卷=1.小0）的离心率为左，短

轴长为4.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵已知过点P（2,1）作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程.

5.（2。23秋・辽宁辽阳•高二校联考期末）已知椭圆C,土心。）的左、右焦点分别为KB，P

为C上一点，且|户用=5,

⑴求［，尸2的坐标.

⑵若直线/与。交于A,B两点，且弦AB的中点为P（-2,l）,求直线/的斜率.

6.（2023秋•吉林•高二梅河口市第五中学校联考阶段练习）已知点£（T0）,圆心（XT）2+）2=16,点。

在圆K上运动，色的垂直平分线交QK于点P.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵直线/与曲线C交于M、N两点，且MN中点为（1/），求直线/的方程.

③椭圆中的面积问题

1.（2023秋•广东江门•高三校联考阶段练习）在直角坐标系工0），中，动点P到直线x=4的距离是它到点M（l,0）

的距离的2倍，设动点。的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）直线/：工=，町T与曲线。交于A,8两点，求AMAB面积的最大值.

2.（2023秋•黑龙江鹤岗•高二鹤岗市第三中学校考阶段练习）己知椭圆C：]+£=]（4：＞〃＞（））的左、右

焦点分别为"，尸2,设点4（。力），在八4£入中，Z/-A/；=y,周长为6+46.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点夕（-2,1）作倾斜角为二的直线/交椭圆C于M、N两点，求三角形OMN的面积.

3.（2023秋・安徽亳州•高三校考阶段练习）已知椭圆C:5■+£=1（"人〉（））的上顶点到右顶点的距离为疗，

点材在。上，且点M到右焦点距离的最大值为3,过点?（。,2）且不与“轴垂直的直线/与。交于两点.

⑴求C的方程；

⑵记O为坐标原点，求面积的最大值.

已知椭圆盘■+£=1（〃＞方＞（））的离心率为乎，点（企」）在

4.（2023春・河南周口•高二校联考阶段练习）

椭圆上.

⑴求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆过原点。的弦4C8。相互垂直，求四边形A8CO面积的最大值.

5.（2023秋•湖南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆C：£+£=1（4＞/,＞0）的左、右焦点分

别为6、F2,P是椭圆C上一动点，|P胃+|P周=4,椭圆C的离心率为〜直线/过点。（TO）交椭圆C于

不同的两点A,B.

⑴求椭圆C的方程：

（2）若三角形ZA8的面积为叵，求直线/的方程.

4

6.（2023秋•贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试）已知点（-2,0）在椭圆C：£+£=1（〃>5>。）上，点

a'b~

叫见?（/〃工0）在椭圆C内.设点A,B为。的短轴的上、下端点，直线AM,8M分别与椭圆。用交于点E,

忆且EA,£8的斜率之积为-1.

4

⑴求椭圆。的方程；

⑵记S„山械分别为△8WE,“A*的面积，若沁求〃?的值.

④椭圆中的参数和范围问题

1.（2023・辽宁抚顺•校考模拟预测）已知动点M到定点产（1,0）的距离与动点”到定直线x=2的距离之比为

五

V,

⑴求点M的轨迹C'的方程；

（2）对V&eR,曲线。上是否始终存在两点A,6关于直线，=丘+〃对称？若存在，求实数〃的取值范围；若

不存在，请说明理由.

2.（2023春・贵州遵义•高二统考期中）己知石，行为椭圆C的左右焦点，且抛物线丁=4后的焦点为工，

M为椭圆的上顶点，6的面积为2石.

⑴求椭圆。的标准方程；

（2）过点（0,1）的直线/与椭圆C交于4B两点,。为坐标原点，且。力=在汨（/1>0）,若椭圆C上存在一点

E，使得四边形OAE。为平行四边形，求2的取值范围.

3.（2023・湖南长沙雕礼中学校考模拟预测）已知P（2,0）是椭圆C：4+4=K«>^>0）的右顶点，过点。0，。）

crb~

且斜率为&（k<0）的直线/与椭圆C相交于A4两点（点A在x轴的上方），直线PAP3分别与直线工=1相

交干两点.当点A为椭圆C的上顶点时，k=-\.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若网二加且。引2,3],求实数2的取值范围.

4.（2023春•四川南充•高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知椭圆C:马+[=]（稣〃>（））上的点到

crb~

两个焦点的距离之和为4人，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.

⑴求椭圆。的方程；

3

⑵设点为椭圆C上的两点，。为坐标原点，kOA-kOB=--,求。*0*的取值范围.

5.（2023•江西九江•瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知片，入为椭圆C、+9=1的左右焦点，P为

椭圆C上一点.若再为直角三角形，且|百以2周.

\PF\

⑴求局{的值；

⑵若直线/：广去+加（心0）与梢圆C交于A,B两点,线段A6的垂直平分线经过点N（0,-g）,求实数〃?

的取值范围.

⑤椭圆中的最值问题

1.（2023秋•陕西西安・高二陕西师大附中校考阶段练习）己知椭圆+£=的一个焦点为

crb~

」（2,0）,且离心率为好.

3

⑴求椭圆C的方程；

⑵不过原点。的直线/：），=x+机与椭圆C交于A,8两点，求△A8O面积的最大值及此时直线/的方程.

2.（2023秋•湖南岳阳•高三校考阶段练习）已知椭圆C:£+4=l®>人>0）经过点P仔斗，左，右焦

a~b-133J

点分别为6，八,。为坐标原点，且|尸用+仍留=4.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设4为椭圆。的右顶点，直线/与椭圆C相交于M,N两点，以MN为直径的圆过点A,求卜加卜^^的

最大值.

3.（2023秋•江西宜春•高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知椭圆C:*■+亲■=1（〃>〃>0）的离心率为日,

左、右顶点分别为A，从点P,Q为椭圆上异于A,8的两个动点，△244面积的最大值为2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设直线AP,BQ的斜率分别为片，k2t和VBPQ的面积分别为S?.若仁=3心,求戊-可的最

大值.

4.（2023秋•高二单元测试）已知椭圆E与椭圆］+卷=1有共同的焦点，且椭圆£经过点小-。

⑴求椭圆E的标准方程；

⑵设尸为椭圆石的左焦点，。为原点，“为椭圆七上任意一点，求丽•丽的最大值.

5.（2023秋•高二课时练习）已知P是椭圆。:.+营=1上一个动点，尸是椭圆的左焦点，若|P「|的最大

值和最小值分别为3+石和3-石.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵M（0,〃。是），轴正半轴上的一点，求1PM的最大值.

6.（2023・四川•校联考三模）已知椭圆C：三+*=1（稣/»0）的离心率为冬A,8分别为椭圆的左、

右顶点，6,工分别为椭圆的左、右焦点，点M是以A8为直径的圆上除去A,3的任意一点，直线AM交

椭限IC于另一点N.

⑴当点N为椭圆。的短轴端点时，原点O到直线NF?的距离为1,求椭圆C的标准方程；

（2）求丽・丽的最小值.

⑥椭圆中定点、定值、定直线问题

1.（2023•四川南充•四川省南充高级中学校考三模）己知椭圆C：》2=l（a*>0）的左、右焦点为小

居，离心率为g.点尸是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线";、尸居分别与椭圆C交于点△PE8

的周长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）若两=4£乂，PE=%F2R,求证：4+4为定值.

2.（2023秋•北京丰台•高三北京市第十二中学校考阶段练习）已知椭圆。的两个焦点分别为

月（-6,0）,凡（6,0）,离心率为正.

•-C

L

⑴求椭圆c的标准方程；

⑵初为椭圆C的左顶点，直线/与椭圆。交于A3两点，若物JL,珈，求证：直线48过定点.

3.（2023・河北保定•统考二模）已知椭圆。的中心在原点，焦点在”轴.匕长轴长为短轴长的2倍，若椭圆

C经过点?（2,2）,

⑴求椭圆C的方程；

⑵若A3是椭圆上不同于点/，的两个动点，直线PAP3与％轴国成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线

A3的斜率为定值.

4.（2023・全国•高二专题练习）已知A,B为椭圆£+£=1左右两个顶点，动点。是椭圆上异于A,B的

a~b~

一点，点户是右焦点.当点。的坐标为（-五，-1）时，DF=3.

⑴求椭圆的方程.

（2）已知点。的坐标为（4,0）,直线C。与椭圆交于另一点E,判断直线4。与直线BE的交点P是否在一定直

线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由.

5.（2023・全国•高二专题练习）已知椭圆方＞0）的离心率为丰，且过点人（号，y）.

⑴求椭圆C的方程：

（2）直线/与椭圆。交于不同的“，N两点，且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列.椭圆。上是否

存在一点P，使得四边形OW/W为平行四边形？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

*+旷

6.（2023・全国•高二专题练习）己知椭|员IC：=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,折线

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|x-l|=niy（m。0）与C交于M,N两点、.

⑴当机=2时，求|“月+|阿的值;

（2）直线AM与BN交于点P,证明：点尸在定直线上.

⑦椭圆中向量问题

1.（2023•吉林长春•东北师大附中校考一模）椭圆C:£+E=l（a>/>>0）的离心率为正，过椭圆焦点并

a~b~2

且垂直于长轴的弦长度为1.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/与椭圆。相交于A,8两点，与轴相交于“（0,〃。点，若存在实数机，使得K+3丽二4丽，

求阳的取值范围.

2.（2023秋•北京海淀•高三清华附中校考开学考试）已知椭圆£工+[=11,>/»0）,其离心率《=更，

（T3'3

长轴长为6.

⑴求椭圆£的标准方程：

⑵椭圆E的上下顶点分别为48,右顶点为C,过点A的直线/与椭圆E的另一个交点为尸，点。与点〃关

于；轴对称，直线”交8c于M,直线八。交8c于点N,点了（6,-2）,求证：\AM\=\TN\.

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3.（2023秋•高二单元测试）已知椭圆C:^+方的右顶点为A（2,0）,上顶点为左、右焦

点分别为耳、用。为原点，且|0同=石|0段，过点A作斜率为女仕工0）的直线/与椭圆c交于另一点。，交y

轴干点E.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设/为AD的中点，在无轴上是否存在定点Q（〃?,0）,对于任意的左（左工0）都有O~_LEQ?若存在，求出

定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2023・全国•高二专题练习）己知耳、行是椭圆c/+g=l伍＞方＞0）的左、右焦点，点P-在用在

椭圆C上，且

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知A,8两点的坐标分别是（0,2）,（-1,0）,若过点A的直线/与椭圆C交于M,N两点，且以MN为

直径的圆过点3,求出直线/的所有方程.

5.（2023•天津和平•统考三模）在平面直角坐标系xQy中，椭圆。:£+今=1（〃＞方＞0）的上，下焦点分别

为GF、,椭圆上的任意一点到下焦点K的最大距离为3,最小距离为1.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设过点4（0,2）的直线/与椭圆。相交于点8,垂直于/的直线与/交于点尸，与工轴交于点Q,丽.西=0,

且=求直线/的方程.

⑧椭圆综合问题

1.（2023秋•辽宁•高二校联考阶段练习）已知椭圆C：二十工

的焦距为2,且经过点

a'b~

⑴求椭圆。的方程；

（2）经过椭圆右焦点产且斜率为攵（女工0）的动直线/与椭圆交于A、B两点,试问x轴上是否存在异丁点尸的

定点。使|加+|叼=忸/4”恒成立？若存在，求出了点坐标，若不存在，说明理由.

2.⑵23春・河南开封福三通许县第一高级中学校考阶