2025高考数学二轮总复习：新定义（原卷版）

新定义压轴题突破

交汇命题背景新定义题

数列类

I.（2024•广州三模）数列应）满足一,,生受11,则称数列｛q｝为下凸数列.

（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

（2）设q=d"+e”，其中｛4｝,上｝分别是公比为4,%的两个正项等比数列，且4w%,证明：｛&｝是

卜凸数列且不是等比数列；

（3）若正项下凸数列的前〃项和为S“，且求证：q+”二久效儿%,

n

2.（2024•南平三模）若数列｛。｝共有〃?..3）项,对任意i(ieN<i,,m)都有GG,+—=S(S为常

数，且5>0）,则称数列｛%｝是S关于〃?的一个积对称数列.已知数列｛对｝是S关于川的一个积对称数歹九

(1)若〃?=3,q=l,生=2,求生的值;

（2）已知数列｛々｝是公差为d（d±0）的等差数列，4=-11,若〃?=10,求4和S的值;

包

a.,品-、*生44/5S

（3）若数列｛%｝是各项均为正整数的单调递增数列，求证:n

〃〃〃W1am3

函数类

3.(2024•浙江Z20名校联盟三模)在平面直角坐标系中，如果将函数y=/a)的图象绕坐标原点逆时针旋

转a(0<a”§后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称/(幻为旋转函数”.

(1)判断函数y=6x是否为“三旋转函数”，并说明理由；

6

(2)已知函数/(x)=/〃(2x+l)(x>0)是“a旋转函数"，求tana的最大值；

(3)若函数以外=〃?。-1)--*世-工是“生旋转函数”，求机的取值范围.

24

4.(2024•重庆模拟)函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数/(X)在x=/处的极限定义如下：Ve>0,

存在正数6,当。<|工一事|<5时，均有|/(x)-川<£,则称/(x)在1=处的极限为A,记为而f(x)=A,

例如："r)=2x在x=l处的极限为2,理由是：De>0,存在正数S=当0<|工-1|<5时，均有

2

|2/-2|=2|4一1|<2乂一=£,所以〃〃?(2工)=2.已知函数月(x)=a(2，-x),h(x)=«x,(a>0,

g(x),xc(e,+oo)

e为自然对数的底数).

(1)证明：g(x)在x=e处的极限为ae；

I-

(2)若4=f,〃(芭)=力(占)，X<x^,求的最大值：

e~

(3)若lim/(x)=A,用函数极限的定义证明：1im(/(x)+g(x))=A+ae.

集合类

5.（2024•青岛一模）记集合S=[｛qJ|无穷数列｛qj中存在有限项不为零，对任意（qJeS,设

nl

变换了（｛凡｝）=4+a2x+...+anx~+...,xwR.

定义运算G）；若｛七｝,的｝wS,则又“｝区也｝eS,f（｛an｝®｛bn]）=f[｛an｝f｛bn｝）.

⑴若｛〃"｝区色｝=｛叫｝,用4,a2,4,b1,b2,4，d表示〃?4；

（2）证明：（&｝心饱｝）隹匕｝=血｝位（｛d｝绥g｝）;

里里5,1加loo.

严”网500,⑷二依｝区叩，证明:服0V.

(3)若％=,〃(〃+1)bn

2

0,/?>l(X).0,〃>500,

6.（2024•福建模拟）对于函数/（x）,若实数与满足/（%）=/，则称/为/。）的不动点.已知a.O,且

/'（<）=；//!¥+加+1-。的不动点的集合为A.以minM和nuixM分别表示集合M中的最小元素和最大元素.

（1）若a=O，求A的元素个数及〃；

（2）当A恰有一个元素时，。的取值集合记为8.

⑴求3;

（ii）若。=疝〃B,数列｛〃“｝满足q=2,a"+[=’（“"），集合C“=[z；=iTI，g，〃eN.求证：

a“13J

4

V/zeN*jnaxC„=—.

〃3

解析几何类

7.（2024•乌鲁木齐模拟）在平面直角坐标系工0），中，重新定义两点A（内，X），8（々，月）之间的“距离”

为+-"我们把到两定点耳（-。,0），B（c，0）（c>0）的“距离”之和为常数2〃（a>c）的

点的轨迹叫“椭圆”.

（【）求“椭圆”的方程；

（H）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

（山）设。=1,67=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过K作直

线交C于M,N两点，AU/N佗外心为Q,求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值.

8.（2024•宁德模拟）坐标平面xOy上的点P（.r,y）也可表示为/Vcos6"-sin。），其中/•=|OP|,夕为上轴非

负芈轴绕原点O逆时针旋转到与8重合的旋转角.将点P绕原点O逆时针旋转a后得到点产（引）》）,这个

过程称之为旋转变换.

⑴证明旋转变换公式：3，并利用该公式，求点P（6o）绕原点。逆时针旋转工后的

y=xsina+ycos«4

点P的坐标；

（2）旋转变换建立了平面上的每个点P到P，的对应关系.利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟

悉的曲线进行研究.

⑴求将曲线C:y=-且x+且绕原点O顺时针旋转三后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；

32x6

（"）已知曲线「:5/+59-6个=8,点F（当,当），直线A8交扣线「于A,8两点，作NA所的外角平分

线交直线于点M,求|FM|的最小值.

向量类

9.（2024•深圳模拟）对于给定的正整数〃，记集合R"={a|a=（%,〜9，…，Z），'wR,j=\,2,

3,…，〃},其中元素。称为一个〃维向量.特别地，0=（0,0,...,0）称为零向量.

n

设keR,<z=（4，a2,...»an）,0=（b、,b2,...»bn）eRf定义加法和数乘：a+P=（«,+bi,%+仇，

...?an+bn),ka=(kai>kci2,,kaj.

对一组向量％,%，…，a,(seN+，s..2),若存在一组不全为零的实数人，,使得

匕…+&4=。，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.

(I)对〃=3,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.

@a=(l,l,l),£=(2,2,2)；

②a=(l,l,l),£=(2,2,2),/=(5,1,4)；

@a=(1,1.0),/?=(I,0,1),y=(0,1,1),^=(1,1,1).

(H)已知向量a,廿,7线性无关，判断向量a+P，P+y,a+7是线性相关还是线性无关，并说明理

由.

(HI)已知巩口.2)个向量a；,a；4线性相关,但其中任意〃?-1个都线性无关，证明下列结论:

(i)如果存在等式+…+3a,；=0gwR,/=1,2,3,…，㈤,则这些系数km

或者全为零，或者全不为零；

(ii)如果两个等式+%2a2+…+配6”=0,+/2a2+…+，,"《”=。3eR，LwR,z=1.2,3.....

⑼同时成立，其中/尸0,则&=幺=…=&.

4‘2

10.(2024•山东模拟)将所有平面向量组成的集合记作R2,/是从々到内的映射，记作y=/(.r)或(K，

%)=/(%，/)，其中X=(X［，Z)，)'=()［，＞2)，X，％2，%都是实数・定义映射了的模为：在

|诈力2+%2=1的条件下|),|的最大值,记做11/11.若存在非零向量xeR：及实数％使得/(x)=/U,则

称1为7的一个特征值.

(1)若y(K，w)=(g%，%)，求llfll；

(2)如果/(3,/)=(百+2七，%-七)，计算/的特征值，并求相应的x；

(3)若/'(内，x2)=(a1x1+a2x2,4百+用天)，要使/有唯一的特征值，实数“，a2,々，4应满足什么条

件？试找出一个映射了,满足以下两个条件：①有唯一的特征值义；②ll/IHR，并验证了满足这两个条

件.

概率统计类

11.(2024•江苏模拟)在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标(%,外，％)表示，其中NW。，

1)(剜3/£/7).而在〃维空间中(〃..2,〃£2),以单位立方体的顶点坐标可表示为〃维坐标(4,%,%,

「4),其中4c{0,1}(啜j几ieN),现有如下定义：在〃维空间中，P(4,a2,生，，/)，，

瓦,仇，,两点的曼哈顿距离为|《一4|+|%-81+心一41+

(1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；

(2)在〃(几.2)维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.

⑴求出X的分布列与期望；

(//)证明：随机变量X的方差小于-.

12.(2024•华师一附中模拟)泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随

机变量X的所有可能取值为0,1,2…，且P(X=A)=Z1，k=(),1,2,...

k!

其中九>0,则称X服从泊松分布，记作X~PQ).

(1)设X~P(A),且P(X=1)=P(X=3),求P(X=2)；

(2)已知当”..20,()<〃,,0.05时，可以用泊松分布夕(/卯)近似二项分布B(〃,p),即对于X〜4(〃,〃)，

Y~P(np),当攵不太大时，有P(X=k)nP(Y=k).

(i)己知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有O.OOOIO的概率需要一名水电工.试估计某天需要

至少2名水电工的概率；

(ii)在(i)的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电

工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.

高等数学背景新定义题

高数新定义背景

13.（2024•江西模拟）同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为:设a,beZ,meM且一＞1.若间a-b

则称a与〃关于模m同余,记作。三b（mo（hi）（"|"为整除符号）.

（1）解同余方程炉-x三0（mod3）；

（2）设（1）中方程的所有正根构成数列｛4｝,其中＜4.

①若bn=4+|-an（nwN"）,数列也｝的前n项和为Sn，求S2O24；

②若cn=tan%+i•tan(〃eN"),求数列｛qJ的前〃项和7；.

14.(2024•鹰潭二模)“让式子丢掉次数”一伯努利不等式(&/a〃〃'sinequality),又称贝努利不等式,

是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”

和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数八•£(-1,+00),在〃c[l,+8)时，有不等式

(l+x)”..l+nx成立;在〃w(0,l)时，有不等式(1+4)"”1+nr成立.

(1)证明：当〃wN,xc(-l,+oo)时，不等式(1+幻"..1+收成立，并指明取等号的条件；

(2)已知芭，x2,.q,...,是大于-1的实数(全部同号)，证明：

(14-XjXl+x2)(l+^)...(1+A；)..1+X,+天+&+...+x“；

(3)求证：(32-1)(34-1)(36-1)...(32"-1)>工3况川).

8

线性代数新定义背景

\

15.(2024•北京模拟)设数阵4=知%，其中%，％2,电…，2,…6}.设5={《，…qkU，

\a2\a21)

2...6},其中qv/v…<q,/eN*且/,,6.定义变换外为“对于数阵的每一行，若其中有4或-4,则将

这一行中每个数都乘以-1;若其中没有&且没有-&，则这一行中所有数均保持不变”(k=c，6,

…q).在(％)表示“将4经过外变换得到A，再将A经过气变换的到&，…，以此类推，最后将A”经

过外变换得到4”，记数阵用中四个数的和为4(A).

(\2、

(I)若4=,写出4经过外变换后得到的数阵A；

(\3、

(H)若A,=c工，S=U，3},求7；(AJ的俏：

(36)

(山)对任意确定的一个数阵4,证明：丁式人)的所有可能取值的和不超过-4.

16.(2024•辽宁模拟)行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是“维空间中，一个

线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.在数学

I44-231ab

中，我们把形如，，.\,这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵.我们将二阶矩阵,

_3」L27J1_35-3j\_cd

两边的“[]”改为“II”,得到二阶行列式";，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为"b=ad-bc.

caca

（1）求二阶行列式J35，的值；

-2-1

（2）求不等式116>1的解集；

cosxsinx

（3）若存在xe[O,划，使得加">sin2x+2,求机的取值范围.

cosxm

概率论背景

17.（2024•张家口三模）在某项投资过程中，本金为儿，进行了N（NeM）次投资后，资金为名（%>0）,

每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为，•（所得利润与当次投入资金的

比仅盈利为正，亏损为负）的概率为尸，在实际问题中会有多种盈利可能（设有〃种可能），记利润率为

4的概率为"（其中女wN"）,其中[+6++匕=1,由大数定律可知，当N足够大时，利沟率是〃的次

数为

（1）假设第1次投资后的利润率为外投资后的资金记为用，求q与8。的关系式；

⑵当N足够大时，证明：&=旦/：1（1+炉产（其中，亍10=4%%4）：

nn

（3）将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为《，其利润率为小输了的概率为其利润率

为弓，求B,、,最大时X的俏（用含有U，P],弓的代数式表i大，其中？：+优弓>0）.

18.（2024•厦门模拟）设随机变量X的概率密度函数为p（「0）（当X为离散型随机变量时，p（x；夕）为

X=x的概率），其中0为未知参数，极大似然法是求未知参数0的一种方法.

在〃次随机试验中，随机变量x的观测值分别为$,Xj,x2,,x“，…，xn,定义〃夕）=〃«；。）〃（%2；

o）PX；仍为似然函数.若e=3时，L（e）取得最大值，则称。为参数。的极大似然估计值.

(1)若随机变量X的分布列为

X123

P2011叫。-打

其中在3次随机试验中，X的观测值分别为1,2,1,求。的极大似然估计值3.

(2)某鱼池中有鱼皿山..65)尾,从中捞取50尾,做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做

记号的有5尾，求〃?的极大似然佶计值m.

[(x"

(3)随机变量X的概率密度函数为p(x;/)=7^=—e2，Q>O.若%,%,x2,,4，…，x”是X

的一组观测值，证明：参数。2的极大似然估计值为力2=_[之(受_1)2.

初等数论背景

19.(2024•衡阳模拟)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数〃都可以被唯一表示为

有限个质数的乘积形式：〃=代为〃的质因数个数，