广东深圳市盐田某中学2026届高三寒假数学模拟卷（五）

广东省深圳市盐田高级中学2026届高三寒假数学模拟卷（五）

一、单选题

I.若复数zO+iE^R+il（i为虚数单位），则2=（）

D.立一也

A.y/s—^/5\B.G-后C.此一6、

2222

设角A8,C的对边分别为。，"c,若少=2j5,C=：,A=^|,贝1」。二（）

2.在VA8C中,

A.2&B.3C.3五D.2瓜

3.已知向量2=(1,0,-2),^=(1,2,2),则向量3在向量儿上的投影向量的坐标为（）

1121fl22]122

A.B.(0,1,3)C.3彳'司D.3-

4.设条件〃：q：3X-X2＞（）,且〃是q的必要不充分条件，则实数。的取值范围为

)

A.[3,+功B.(』0]C.(0,3)D.[0,3]

5.记等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,若邑＞邑＞0,则（）

A.a4<0B.d>0

C.58<0D.%+4>°

6.下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（)

A.9,v2+y2=36B.x2+9y2=36C.T+w=1D.三+j

1612

7.从1至13的整数中任取3个不同的数4〃,c,则。+纺+3c能被2整除的概率为（）

R67

A.UC.D-U

8.已知函数f(x)=^+2a]nx-ax,若x=2是/（%）唯一的极值点，则实数4的取值范围为

x~

)

e2

A.-8,]B.一若C.(0,2]D.(2,+8)

二、多选题

9.记数列｛%｝的前〃项和为S“，若〃1=S,+/+〃，且，=2,则（

A.4=4B.｛%｝是等差数列

2

C.Sn=n+2n-\

10.某班要举办一次学科交流活动，现安排A,B,C,D,£这五名同学负责语文、数学、

英语、物理学科相关工作.则下列说法中正确的是（）

A.若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有5,种

B.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案

C.若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案

D.若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，

则有138种不同的方案.

11.已知圆柱的轴截面是边长为2挺的正方形，正三棱锥S-A8C的底面边长为2石，

侧棱长为2&，则（）

A.正三棱锥S-ABC与圆柱的体积的比值为在

B.正三棱锥S-ABC与圆柱的侧面积的比值小于；

C.正三棱锥S-ABC外接球的体积与圆柱外接球的体积相等

D.正三棱锥S-"C的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于或二1

3

三、填空题

12.若抛物线C）:=2pM〃>0）的准线方程为x=-2,则〃=.

|%（，+*+y旷的展开式中15/项的系数是

14.在V/WC中，2|/AB-AC|=|/1B+AC|,sin24=Asin5sinC»则义的最小值为.

四、解答题

15.在VABC中，角ABC的对边分别为A=¥，〃="-向c=2.

4

⑴求。；

(2)若。为4C上一点，且8。=2#一2&,求ND4C.

16.已知曲线/(x)=(x+l)。'在x=0处的切线为/.

⑴求切线/的方程；

(2)求证：切线/在曲线/U)的下方(切点除外).

17.如图，已知四棱台/WCD-4同。1口的上底面是边长为2的正方形，A4,=AO=4,1

底面A8CO,点P,。分别在棱。口，8C上.

(1)若AMJ.PQ,求证：点P是棱。%的中点；

⑵若三棱锥A-OPQ的体积是|,求平面心。与平面A8O夹角的余弦值.

18.在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国

新能源汽车销量继续走高.为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的

新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并

根据其满意度评分X（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：

满意度评分X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数101520301510

（1）计算满意度评分X的样本平均数［和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）

⑵根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分X近似

地服从正态分布NJ,4）,其中〃近似为样本平均数近似为样本的标准差s,并求得

^14.31.若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这曲车主中满意度评分位于

区间（41.88,84.81］的人数；

⑶为提升新能源汽车的销量，该品牌4s店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环

节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、

大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现

金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额

叠加）.已知小王参加了拍奖，记他获得的返现金额为丫，求随机变量y的分布列和数学期

望.

参考数据：若随机变量X~N（〃Q2）,则

P（〃一0vXK〃+b）a0.6827,P"-2。<X<〃+2。）a0.9545,一Q<XK〃+30卜0.9973

72

19.已知双曲线C:§-2=1（〃>0力>0）的离心率是半虚轴长为2,。是坐标原点.

（I）求。的标准方程；

（2）过点P（2,l）的直线/与C相切，交一条渐近线于点M,求△OPM的面积；

⑶点。为C的右支上任意一点，过点。的直线与C相切，交两条渐近线于S,7两点，证明:

△QS7的面积为定值，并求出该定值.

广东省深圳市盐田高级中学2026届高三寒假数学模拟卷（五）

参考答案

题号12345678910

答案CADBCDBAABDBCD

题号11

答案BC

11.BC【详解】如图，设点S在底面ABC内的射影为点，，连接C”，则

x02=2,SH=X/SC2-CH2=2,S=—x（2舟=3G,

234

则匕_诙=京",5〃=26.

正三棱锥S-ABC的侧面积为3Sr%=3xlx2x/3xJQE）?-（苧）=3后.

设正三棱锥S-AbC的外接球的球心为。，外接球的半径为欠，则。在直线S"上,

由|2-仪2+2?=/?2,得R=2.设正三棱锥S'-"C内切球的半径为R',则

3x2>/375-1

R=——

3(75+后—2

S&ABC+3sAs8c

对于A：圆柱。.的体积为兀x（“2/=4应急晤A错误;

对于B：圆柱他的侧面积为土丘2向阮吟〈喏B正确;

对于C：圆柱外接球的半径凡=J（夜）2+（夜）2=2=扭，C正确；

\/5—1

对于D：圆柱。。内切球的半径“二ER'二一J卡-1;小-1，D错误.

'R2V22723

12.413.60

【分析】将（f+x+yf看作6个（f+x+），）因式相乘，由分步乘法计数原理求解.

【详解】将（丁+x+），）''看作6个（丁+x+”因式相乘,

则得到需从6个因式中先选择3个因式取y,有C：种不同的取法;

再从剩余3个因式中选择2个因式取有C；种不同的我法,

最后从剩下的因式中取工，有C；种不同的取法,

根据分步乘法计数原理，可得第的系数为C；??。；3Ix6«=

故答案为：60.

4

14.一/0.8

5

【分析】将2|福-码=口/》+个两边平方，结合余弦定理可得/=空士生，由

5

sin2A=Asin8NinC结合正弦定理可得z=—,两者结合利用基本不等式求最值.

be

【详解】由2M-得=|同+回可得2同=08+码，

两边平方得:4a*=b2+(?+2bccosA，Xt/2=b2+c2-2/?ccosA，

所以4(〃+o2_2Z?ccos4)=〃+c2+2/?ccosA,即3b2+3c2=1ObccosA,

KIA3/72+3c2，，，2c,Q82+3/2b2+2c2

rr所以cosA=-------,所以=〃~+。2-2尿'?-------=--------

\0bclObc5

2

由sin-C,根据正弦定理角化边得心动c，所以入哈

a2_2b2+2c22(b?4

所以2=>-x2=-

be5bc555

4

故答案为：y

15.(1)2上

【分析】（O利用余弦定理即可求得”的值.

（2）先利用余弦定理求出8sB的值，再利用余弦定理求出AO的值，然后利用勾股定理的

逆定理求出/8AO,再求解ND4C.

【详解】（1）VABC中，A==、b=娓-&、c=2,

4

由余弦定理得：cos」+£_a2,即J*%)?：,

2bc22x(j6—j2)x2

解得a=2>/2-

(2)在VA8C中，a=2&b=瓜-&c=2,

CSB-吩^x/2+x/6

由余弦定理得:°J

2ac2x2V2x2~4~

在△A3。中，8。=2"—2人，由余弦定理得：COSB=AB+BD~~AD~

2ABBD

,.V2+V64+(2x/6-2、伤尸一AD2

n得人/)=4-25

4-2x2x(2>/6-2>/2)

又A42+A£)2=4D2,所以NBAQ=].

,,，八人「p.311ItTl

故NDAC=4CAB—//BDAXD=--------=-.

424

16.(1)2x—y+1=0；

⑵证明见解析.

【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程即可；

(2)结合(1),将问题化为证明/(x)N2x+l,令g(x)=/(x)-2x-l,利用导数证明g")NO

恒成立，即可.

【详解】⑴由/("=卜+l)e"得r(x)=(x+2)e',所以r(0)=(0+2)e0=2,

又/(0)=(0+1)^=1,所以切线方程为y-l=2(x—0),即2x-y+l=0；

(2)结合(1),令g(x)=/(x)-2x-l=(x+l)e'-2x-l,则g'(x)=(x+2)e'-2,

令〃(x)=(x+2)e*-2,贝!"(x)=(x+3)e，，

令〃(x)=0,得工二一3,所以"(司<0时x<—3,〃'(力>0时x>—3,

所以/?(力在(—,-3)上单调递减且恒小于0,在(-3,*。)上单调递增,

注意至iM(0)=(0+2)e°-2=0,所以g'(x)=0有唯一根x=0,

x<0时，g'(x)<0,g(x)在(-oo,0)上单调递减，

x>0时,g'(x)>0,g(x)在(。,+8)上单调递增，

所以函数雇工)2g(0)=。，则/(x)22x+l,当且仅当大=0时取等号,

所以切线/在曲线/⑴的下方(切点除外)，得证.

17.（1）证明见解析:

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，设P（0,〃?,〃），Q（4,/,0）,根据垂直关系有

福•①=0求参数值，即可证；

（2）根据已知及棱锥的体积求出。的坐标，进而确定对应平面的法向量，应用向量法求平

面尸8。与平面A8D夹角的余弦值.

【详解】（1）由底面48C3,他,月。＜2底面.。。，则AA_LA丛A4,_LA。，

又底面都是正方形，则裕故AB,A。.AA,两两相互垂直，

以A为原点，分别以A8、A。、4人所在直线为工、＞、z轴，建立空间直角坐标系,

则人（0,0,0）,B（4,0,0）,C（4,4,0）,£＞（0,4,0）,4（0,0,4）,々（2,0,4）,〃（0,2,4）,

设尸（0,〃?,〃），2（4,/,0）,则函=（2,0.4）,而=（4,/-园-〃），A用11。,

因为福•丽=2x4+0x（i）+4x（f）=0,故〃=2,即尸（0,肛2）,

因为点。在棱DR上，所以力「//西，/）D；=（0,-2,4）,。户=（0,〃?一4,2）,

所以2=-2（〃.4）,解得加=3,即尸（0,3,2）,

而DR的中点坐标为（0,3,2）,所以点P是楂DDX的中点；

则/\户=4方+。户=4万+/1。〃=（0,4,0）+"0,-2,4）=（0,4—244/1）,

即尸（0,4—2九44）,

II/I\Q1

由题意匕川Q=%YQ/)=4S"Q/)/=,X5X4X4X42=-,可得/l=z，

所以尸D则加=C),夙5=(-4,4,0),

，一7

.、n-BP=-4x+-y+z=0

设平面相。的法向量为历=(x,y,z),则_2,

n-13D=-4x+4y=0

令x=2,得力=(2,2,1).

/、忻•玩I11

由平面44/)的一个法向量所=(0,0,1),则cos承历=Qj="+4+]=§'

所以平面心。与平面A3。夹角的余弦值为g.

18.(l)x=70.5,样本中位数为71.67

(2)8186

⑶分布列见解析，E(y)=uoo

【分析】(1)结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可；

(2)由题意，//«；=70.5,O-«5«14.31,进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可;

(3)由题意可得V的所有取值为0,1000,2000,3000,4000,再求出顾客每次抽奖返还2)00

元现金的概率，顾客每次抽奖返还1。00元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概

率，进而求解分布列和数学期望.

10x45+15x55+20x65+30x75+15x85+10x95

【详解】(1)由题意，平均数7==70.5,

100

前3组的频率为10+15+20=45,前4组的频数为10+15+20+30=75,

所以样本中位数位于[70,80),设为〃，

则45+g^x30=50,解得〃。71.67,则样本中位数为71.67.

(2)由题意，X近似地服从正态分布Njc?),且〃7=70.5,cr«5«14.31,

由于P(41.88<X<84.81)=P(〃—2bvX<〃+b)

=；P(〃-2cr<X<〃+2cr)+；P(〃-cr<X<ju+a)

«-x0.9545+-x0.6827=0.8186,

22

因此估计这些车主中满意度评分位于区间（41.88.84.81］的人数为

10000x0.8186=8186.

（3）由题意，y的所有取值为0,1000,2000,3000.4000,

C31

顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为着=方，

zu

C2c9

顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为中=彳,

IQ1

顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为1-左-2=7,

20202

I1|g|q

贝iJp(y=0)=-x-=_,P(r=KXX))=C'x-=—,

'7224v;220220

P(y=2000)=—X—4-C；—xl=—,

'72020-202400

Iqg

p(y=3ooo)=C—x—=——，

'7'2020200

p(r=40(x))=—x-!-=—,

'72020400

则y的分布列为：

Y01000200030004000

910191

P

420400200400

।oinio।

所以E(y)=0x—+1000x——+2000x——+3000X——+4000x——=1100.

v7420400200400

19.(l)y-/=l

⑵当

⑶证明见解析，定值为上

【分析】（i）根据双曲线离心率和虚轴长列方程求得即可求解双曲线方程；

（2）设直线/的方程，与双曲线联立，利用判别式法求得直线/的斜率，进而求得原点。到

直线/的距离，联立直线/与渐近线方程，求出点M的坐标及I尸加|,代入三角形面积公式即

可求解；

（3）设过点。与双曲线相切的直线为r,当直线/’的斜率不存在时，5（V2,1）,T（V2,-1）,

求得心心,=拒；当直线/'的斜率存在时，设直线/：），=h+〃2,与双曲线方程联立，利用

判别式法得病=2r_1,分别联立直线/'与双曲线。的两条渐近线方程求得S,7的坐标,

进一步求得|sr|,然后求出原点。到直线厂的距离，代入面积公式得s△⑻=&,即可证明.

c_V6

【详解】（1）由题意知历=2,解得,b=1,

a2+b2=dc="

所以C的标准方程为5-丁=1・

（2）根据题意得，过尸的直线/的斜率存在,

设直线/的方程为）-1=%（工一2）,

y-\=k（x-2）,

联立/，消去），得（1-2公卜2+必（21）4-2（21）2-2=0,

—~y~=^

因为直线/与C相切，所以1—2公工0且△=16/（2168（1-2公）［（24-1『+1卜0,

解得我=1，所以直线/的方程为y-l=x-2,即x-），-l=O,

所以原点。到直线/的距离为4=阴11=也

叵2

由（1）得，渐近线方程为y=土等一联立1=2+&,

解得

V2y=\+>/2,