2024-2025学年深圳某中学高一（上）期末数学试卷及答案

深圳实验学校2024-2025学年第一学期期末考试

高一数学

时间：120分钟满分：150分

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.e是第四象限角，cosa=-,则cosa-—|=().

52/

3c4_3

A.-B.-C.D.--

55"55

2.化简%-2贬的结果为().

2•>

A.-VB.-22C.-2?D.-2^

3.已知函数/(x)=Jsin(/y.r+^)(/1>0,69>0,0<夕<不)的部分图象如图所示，则下列结

论正确的是().

A./(x)的图象关于直线x=-?对称

B.将/(x)的图象向右平移看个单位长度得到的图象关于原点对称

C.方程/1(》)=后在区间［0,2句有5个不等实根

D./(X)在?，y上单调递增

4.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型

是函数y=4sin函.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=4sin函

中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调

与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个

■&在响，而是许多音的结合，称为复合等我们听到的声音函数是/(x)=sinx+；sin2x

+}in3x+；sin4x+…，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是().

A.函数/(x)=sinx+gsin2x+；sin3x+；sin4x+…+'j^sinl00x具有奇偶性

sinx+Lsin2x+lsin3x+1sin4x在区间7T,—71上单调递增

B.函数/(》)=

23488

C.若声音甲对应函数近似为/（x）=sinx+—sin2x+-sin3x+—sin4x,则声音甲的响度

234

不一定比纯音力（x）=；sin2x的响度大

D.若某声音乙对应函数近似为g（x）=sinx+Lin2x,则声音乙一定比纯音

2

//(%)=:sin3x更低沉

5.欢乐港湾摩天轮一一“湾区之光”是深圳的一处标志性景点.己知某摩天轮最高点

距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆

时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min,若甲、乙两人的座舱之间有4个座

舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）.

A.米B.30（6-⑹米C.20百米D.30G米

6.已知函数/（x）=lg（j9x2+l—3x）+1,正实数a,〃满足/（2〃）+/伍-4）=2,则

竺+■的最小值为（）.

a2ab+6

A.1B.2C.3D.4

7.函数）sinx在区间一，y上所有零点之和为（）.

A.2TTB.4）C.6乃D.8乃

8.已知函数/（x）=4sin0x-sin2（W+5）+2cos2ryx®>O）在区间一'，K上是增函

数，且在［0,句上恰好取得一次最大值，则①的取值范围是（）.

二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.关于△4BC,下列说法正确的是（）.

A.若sin24=sin2B,则△Z8C是等腰三角形

B.tanAtanBtanC=tan力+tan8+tanC

C.若为锐角三角形，则sin/>cosZ?恒成立

D.若sin4+cos4=g,则△4?C为钝角三舛形

|log2x\,0<x<2

10.已知函数/(x)=<sin—x\,2<x<10若存在X1,x2,x3,x4,满足x]<x2<x3<x4»

(4)

/(再)=」(，2)=/(5)=/。4)，则X{X2X3X4的值可以为().

A.20B.24C.28D.32

11.若l<10"<10〃<10,则().

A.4“+5-”<4〃+5rB.In—>sin/?-sina

b

C.(cos。)">(cos〃)"D.algb〉blga

三.填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知sina-cosa=，，OKaK/r,则sin(2a+^]=

5I4j

13.求值：cos50°(>/3-tanl0o)=

14.设.=加＞0)与/(x)=4sin(2x+0)图象的相邻3个公共点自左向右依次为

A,B,C,若5|力用=7忸C|,则m的值为.

四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)

已知cc*(a+/，)=^^,tan"=；,Ha,/?efo.[).

(1)求cos2夕一2sin2£+sinqcos/7的值;

⑵求2a+6的值.

16.（本题满分15分）

中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的

茶水温度是用℃,环境温度是那么，分钟后茶水的温度e（单位：。C）可由公式

求得，其中攵是常数，现有刚泡好的茶水温度是ioo℃,放在室

温25c的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃.

⑴求上的值（计算结果精确到0.01）；

⑵经验表明，当室温是15℃时，刚泡好的茶水温度是95℃,自然冷却至60℃时引用

口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确

到0.1）参考数据：ln2»0.693,In3。1.099

17.（本题满分15分）

n乃

已知/")=sinx+—COSX+—sinzx+—

23

⑴求/（x）的最小正周期和单调递增区间：

⑵求/⑴在-J,J上的值域；

⑶将函数/（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

g（x）的图象，若的乙］-+对任意的x」工，红］恒成立，求4的取值范

围.

18.（本题满分17分）

意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然

卜•垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人

曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数（：31］（司=二二尤为特殊，与此类

似的还有双曲正弦函数sinh（x）=RD（e是自然对数的底数，取2.71828…）.

⑴计算8511（2）-285112（1）的值：

⑵类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式COShQ-力=,

并加以证明：

⑶判断函数/（X）=2cosh（2x）-4〃cosh（x）+4/>-2的零点'个数,并求出零点.

19.（本题满分17分）

若对于实数〃?，〃，关于x的方程/"+〃?）+/"-加）=""）在函数》=/（力的定义域

。上有实数解x=.”,则称与为函数/（x）的“（〃?，〃）可消点”，若存在实数〃?，〃，对

任意实数不€。，X均为函数“X）的“（小冷可消点”，则称函数/（X）为“可消函数”，

此时，有序数对（加，.称为函数/（X）的“可消数对”.

（1）若〃x）=x+2是“可消函数”，求函数/（x）的“可消数对”；

（2）若（〃［，1）为函数〃x）=sinxcosx的“可消数对”，求小的值；

⑶若函数/（x）=sin"的定义域为R,存在实数为《0,?同时为〃x）的“（?/）

可消点”与“停，牝）可消点"，求，片+后的最小值.

1.【答案】A

【解析】由a为第四象限角，sina=-Vl-cos2a=--,由诱导公式，cos(a-网、=

5I2)

,万、3

cosa+—=-sin«=—,故选A.

I2)5

2.【答案】B

【解析】故选B.

3.【答案】C

【解析】由题意/(%)相邻对称轴间的距离为(可得!杉，因此7=彳，◎宁=2,

当x=£时，2x—+w=2/CTT+—»keZ,椒<p=k冗+—,keZ.由0v0<不可得《=卫，

1212233

由函数最大值为2可得4=2,因此/(x)=2sin(2x+().A选项，=非

最值，故x=-9不是/(x)的对称轴，A错误.B选项,/(工)图象向右平移个单位

长度后的解析式为小咤：

=2sin2x+—，不关于原点对称，B错误.C选项，令

I6

/W=V3,可得2x+£=2k7：+工或2k九+—,kwZ,解得x=A次或4;r+£,AeZ,

3336

在[0,2句上，实根为0,乃，—,2*共5个，C正确.D选项，/(x)的单调区

66

间长度为C,不可能在长为包的区间汉,汉上单调递增，D错误.故选C.

2442

4.【答案】C

【解析】A选项，/(f)=sin(-x)+；sin(-2x)+；sin(-3x)+..+y^sin(-100x)

一sinx--sin2x--sin3x---------sin-x=-/("，故/(x)是奇函数，A正确.B选

2310()100

T石1兀[.f7T7T_37c37r.7Vit.

J贝，xe——，一aIrj,2xe——,—,3xe-----,—,4xe——，一，故y=sinx

88448822，

y=；sin2x,y=gsin3x,y=；sin4x在上都是增函数，f(x)在-g，；上

八J8g

单调递增，B正确.C选项，由/(£]=5抽£+,$市乃+』5足包'+&足2乃=2可得，/,(戈

223243

的最大值/(x)max之：>3，故/(x)的振幅必然大于〃(x)=；sin2x的振幅，即声音甲的

响度一定大于纯音的响度，C错误.D选项，对于g(x)=sinx+；sin2x,设其最小正周

期为「，则g(乃+T)=g(乃)=0,即一sin7+gsin27=0=sinr(cosr-1)=0,故

sin7=0,故T=k兀，kwN*,由于g(x)是奇函数，g---gy,故r=乃不会是

\2,

g(x)的周期，而7=2乃显然是g(x)的周期，故g(x)的最小正周期为2兀，其频率

Z=y=^Hz,纯音Mx)的最小正周期为午，其频率人=

-=—Hz,声音乙的频率

T2冗

更低，比“力低沉，D正确.故选C.

5.【答案】B

【解析】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为e,则。=2.2乃二代，以摩天轮

606

中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于(60cosa,60sina)处，乙座舱位于

71Y)

60cosa+—\,60sina+—处，则两人高度差Ay=60sin-sine?=

66

7171120sin-^cos^+-^^|<I2()sin-^-=30(V6-V2j

6，0八sina+—冗+——4-sinIa+-冗--

1212J1212

米，故选B.

6.【答案】B

［解析］/(X)+/(-力=怆(的/+1-3x)+Ig(j9』+1+3x)+2=lg(9x2+i-9x2)+2

=2,这说明/("的国象关于点(0,1)对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，由

于X>0时/(x)=lg,1—+1,»=限2+1+3〉在(0,+8)上单调递增且函数值

V9—+1+3%

恒正，可推出/(x)在(0,+8)上单调递减，因此/(x)是减函数./(2a)+/(/>-4)=2

4ba

^>/(2a)=2-/(/>-4)=f(4-b)<^2a=4-b,即2a+力=4,因此1

--a-----2--a--b--+--b-27=

________16

4b

+—^~-=^+A>2J—.A=2,当q=4力即9时取得，故选B.

ab(2a+b)a4bNa4b^_4

-9

7.【答案】B

【角吊析】/(x)=O<=>sinx=^―,作出卜=$出不和旷=在

X—4X-7T

区间［_红，丝］上的图象如图，可知两个图象共有4个交点，因

22_

此/(X)在区间上共有4个零点，由小到大记为演，/，X3，匕.同时，

/(7r+x)=/r+xsin(;r+x)=;r-xsinx,/(乃一x)=不一xsin(乃一x)=;r-xsinx,可得

/(^•+x)=/(^-x)>故f(x)的图象关于直线x=,7对称，因此再+羽=超+/=21，

故所有零点之和为4不，故选B.

8.【答案】D

[(开]

I-cosl+—I

[解析]/(x)=4sin<yx-------------+2cos-cox=2sina>x+2sin~cox+2cos-cox

=2sins+2,当xe-1,y时s平，由/(x)在区间上单调递增可得，

冗3>n

-22,解得切K?.当x«0,句时，69X€[0,my],由/(x)恰好在区间上取得

2my7t4

----<—

l3-2

一次最大值可得解得LKOC2，综上所述，(oe\~,-1,故选D.

222224

9.【答案】BCD

【解析】A选项，由于24，28G(0,2期)，且至多有一个大于不，因此若sin2/1=sin24,

则有24=28或24+28="，得力=8或4+8=工，因此△为等腰三角形或直角

2

三角形，A错误.B选项，在△力4C中，tanC=-tan(N+B)=则史型?，整理得

tanJtan5-1

tanAtanBtanC=tan/I+tanB+tanC»B正确.C选项，若△/I3C为锐角三角形，则有

A+B=7r—C>，故力>---〃，且力，---5Gf0.一，由y=sinx在0,一）上单调

22212yz\2/

Z\

递增可得sin4>sin土-B=cosB,C正确.D选项，（sin4+cos4『=l+2sin4cos4

12）

=-^=>sinJcosA=-^,由力£（0,%）可得sin力>0,故cos/lvO,feljitJefy,n,

△为钝角三角形，D正确.故选BCD.

10.【答案】BC

【解析】作出/（X）草图如图，由/a）=/（勺）可得|四2引=||。82%|，故/=々（舍去）

或log2再+log2x2=0»可得X|X2=1,x3,x4关于直线x=6对称，由图可得2<工3<4,

2

8<x4<10»记,二羽一6=6-修，/w（2,4）,x3x4=（6-r）（6+/）=36-/e（20,32）,

故选BC.

11.【答案】ACD

【解析】由1<10“<10”<10可得A选项，由y=4'是增函数，…一，是

减函数，可得4“<心，5f<5、故4"+5乩<4〃+5\A正确.B选项，此时乌<1,

b

4ftIn—<0»且sinb-sina>0,BlitIn—<sinZ>-sina,B错误.C选项,由Ovavbvl

bb

可得0<cosb<cosa<1,由歹=（COSQ）'是减函数可得，（cos〃）“>（cos。）'，由是

增函数可得，（cos。）'>（cos〃）'，因此（cosa）">（cosa）”>（cos/））',C正确.D选项，

由y=/是增函数可得/<■,由了=6、是减函数可得因此

取对数可得alg/）>Zdga,D正确.故选ACD.

316

12.【答案】

50

124

【解析】（sincr-coscrV7=1-2sinacosa=—,可得sin2。=—,且2ae（0,;r）n

v72525v

f一北、497

aG0,—，因此（sina+cosa）=1+sin2a=—=sina+cosa=一，故cos2a=cos2a

k2J255

争…cos2a）考

-sin2a=（cos«-sina）（cosa+sina），

’25

13.【答案】1

8s50。.且沙匕史竺8s5。。•2cos(h3。。)

【解析】cos50°(\/3-tan10°)==

cos10°cos10c

2sin50°cos50。_sin100。_sin(10。+90。)_cos10。_J

cos10°cos10°cos10°cos10°

14.【答案】V6-V2

【解析】将/(x)图象经平移和伸缩变换后变回丁=加工的图象，具体操作为：①所有点

横坐标不变，纵坐标变为原来的卜②所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍；③

向右平移。个单位.此时水平直线"的方程变为y设变为

H,C\易知在伸缩变换过程中，虽然线段长度发生改变，但长度之比保持不变,

即提卜黑设彳­〃'"则不+手

7/r1

，m>C*(,v0+2TT>m),A,8'关于

\DC|Z>C〉1b6

某条对称轴对称，可得2%+磊=2%"+乃，解得鹏=A勿一信■，&wZ,同时由于彳=

sin可得sin/>0,故可取A=1,%=sin'!~^=sin±二^——»〃】=屈一五.

°°412124

15.【解析】

小2AC.2〃.〃ccos2/y-2sin2+sin/?cos/7

(1)cos/7-2sin/?+sin/ycos/?=------------；——--；-----—

sin+cos

1-2tan2/7+tan/^_249_+17_27

tan2p+125

⑵由a./?el0,yl可得a+/7G(0.7r),故sin(a+#)=-cos2(rz+/?)=

tan("+/?)=F因此1标3+20=二

4_\_

tan(2a+2/9)-tan/33~7

故tan(2a+/?)=tan[|2«+2^)-^]=

；।41一

I+tan(2a+2?)tanp1+-x-

37

由cos(a+/)=^^>0可得a+尸w(0,,且4w0,y»因此2a+/?e不)

因此2a+/?=—.

16.【解析】

(1)由题意得0-25,4-10(),，一5,。一50,彳弋入可得50-25+75/”

整理得e-5A=J_,取点数得k=l|n3*0.22.

35

-In3./

(2)由题意得力=15,q=95,/9=15+80e5

-llnl/910

令夕=60,可得=—=—In3•/=In—=2ln3—4ln2

16516

初尔5x⑷n2-21n3)5x(4x0.693-2x1.099)、,八八

解得t=-----------------------y----------------------------------=2.6分钟.

In31.099

17.【解析】

(1)/(x)=；sinxcosi+

71

=-sin2x+—cos2x-f--sin

4425,

最小正周期7=丝=%.

2

2k;r+—,解得xwkn———,k^+—,AwZ.

2jL1212_

,71

故/(x)的增区间为xe壮—音,k兀+—kwZ.

12

⑵唱局时2d吟詈tesin(2x|]e[-l

+1

即〃M在一(，£上的值域为-；，1.

(3)g(x)=sin|x+—,原不等式可化为asinx-cosxN2对任意的xw——恒成立

13,[_26

04飞出2》之(85%+2)2对任意的工£—,—恒成立4>0

A党察对任意的X仁周恒成立且

记f=cosx,/J一旦oL条件可化为/2心头对任意的/J一立，o]成立

21—尸2

设"讨，』.@,。广+今+4,4r+5R

则llhly=--------—=-1+——了设

'I-/22I-/21一/

IlfU

w=4/+5»uG-5-2\石，51，则/(w)=-l+——-------------=―1+----------------------

1/C21259

1-

16v716816

],由》="+在（月，）上递减，（）上递增可得，/（〃）在

=-1+-------25-233,5

51[li+l

816

（5-2白，3）上递减，在（3,5）上递增

=5一2后即/=一等时，y=42-=卜-厨

2

〃=5即，=0时，y=4

因此/（〃）的最大值为（4-百丁，由题意得/之（4-右。故心4-百.

另解：设/=

tan£i€[-,—=>/Gp,2+百]

22412

2X.)Xc2Xc—X,>>X.

cos——sin~-+2cos—+2sin-—tan--+3

cosx+2_2222_2〃+3

sinx-XXx2/

2sin-cos-2tan-

222

rh对勾函数性质分析可得，当/=2+6时右侧取得最大值为4-6

18.【解析】

_|2-2

(1)由定义可得，cosh(l)=-^——,cosh(2)=--F—

22-12

e+e-(e+e)

所以cosh⑵-2cosh<l)=——-------——-——=-1.

(2)cosh(x-=cosh(x)cosh(j-)-sinh(x)sinh(j),下证明之.

yy

("+",瓶+e~)(e*-e-)(/-e-)

事实上,cosh(A,)cosh(v)-sinh(x)sinh(y)

44

(3)由于cosh2(x)=-―————=-cosh(2x)+—

422

因此cosh(2x)=2cosh2(x)-1,设1=cosh(x)=—，由均值不等式,t>1

2

因此)，=2(2产-1)_4^+46-2=4--44+46-4=4(/-6+。(-1)

令y=0,可得/=1或f=6-1,而cosh(x)=l当且仅当x=0

cosh(x)可视为函数〃=/和y=〃+1的复合，由复合函数单调性，cosh(x)在(()，+8)

U

上单调递增，在(-8,0)上单调递减

若即方>2,则cosh(x)=6-l有2解，原方程共有3个解;

X-x

令。+；=b-l,设方程可化为〃2-2(力一