河南省洛阳市汝阳县2025-2026学年八年级上学期期末学科素养检测数学试题【含答案】

2025〜2026学年第一学期期末学科素养检测卷

八年级数学

（总分120分，时间100分钟）

一、选择题（每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，将正确

的答案代号字母填入题后括号内.每小题3分，共30分.）

I.下列说法正确的是（）

A.4的平方根是2B.1的立方根是-1

C.任何一个实数都有两个平方根D.任何一个实数都有一个立方根

2.下列运算正确的是（）

A.ah=a1B.a1+a2=a4

D.（/）'=/

C.2«-4a2=8a2

3.如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含

后一个边界值）.由图可知，人数最多的一组是（）

A.2〜4小时B.4〜6小时C.6〜8小时D.8〜10小时

4.若〃+/>=3,/_力2=6,则a—b等于()

A.1B.2C.-2D.-1

5.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，在作图过程中说明N4O'夕=/力。4

的依据是AC。。丝△C'O'O'.证明ACOD0△C'。'。'的依据是（）

6.老师对本班80名学生的血型都作了统计，列出如下的统计表，则本班4型血的人数是

()

试卷第1页，共6页

组别A型B型AB型0型

频率t0.350.10.15

A.32人B.28人C.8人D.12人

7.已知等腰三角形的一个内角为40。，则这个等腰三角形的顶角为（）

A.40°B.100°C.40。或70。D.40。或100。

8.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中

9.如图，四边形ABCD是长方形，把AACD沿AC翻折至IjAACD,AD与BC交于点E,

若AD=4,DC=3,则BE的长是（）

10.如图，AJSC中，的垂宜.平分线与乙比1C的邻补角的平分线相交于点。，。及L4c于

E,DFLAB交BA的延长线于F,则下列结论：①ACDEdBDF；（2）CA-AB=2AE；③乙BDC

+4"£=180。；④4840=90。正确的个数是（）

试卷第2页，共6页

E

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.分解因式：m2-4ni=.

12.数据;、冗、庭、双、-2中，无理数出现的频率为.

13.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是、逆命题是命题（填“真”或"假”）.

14.在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面

积为cm\

15.如图AABC中，AC=BC,々ACB=120。，点D在线段AB上运动（D不与A、B重

合），连接CD,作乙CDE=30。，DE交BC于点E,若ACDE是等腰三角形，则/ADC的

度数是.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分.要求写出必要的规范的解答步骤）

16.计算：

（r）O-|V3-2|+V9-273；

⑵（a+26）2-（a+b）（4-,|.

17.先化简，再求值：（2+。）（2-a）+aCa-5b）+3a5b3-^-（-a2b）2,其中ab=~.

2

18.如图，4c与BD交于点O.下列三个等式：@AB=DCi②48。=/。。；

③=.请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一

个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明.

试卷第3页，共6页

AD

BC

己知：.

求证：.

19.新冠肺炎疫情期间，仁寿县防控指挥部想了解自2022年10月2日至10月6日各学校

教职工参与志愿服务的情况.在全县各学校随机调查J'部分参与志愿服务的教职工，对他们

的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表中的

信息回答卜.列问题：

志愿服务时间(小时)频数

A0<x<30a

B30<x<6010

C60<x<9016

D90<r<1?.020

(1)本次被抽取的教职工共有名；

(2)表中；

(3)扇形统计图中，“。”所对应的扇形圆心角的度数为；

(4)若此次共有4000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约

有多少人？

20.如图，在AABC中，ZB=3O°,zC=40°.

(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；

试卷第4页，共6页

②连接AD,作iCAD的平分线交BC于点E：（要求：保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求乙DAE的度数.

21.通常用两种不同的方法计算同•个图形的面积，可以得到一-个恒等式.例如：如图①

是一个长为2〃，宽为乃R勺长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小相同的小长方形,

然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答卜列问题：

b

ab

图①图②

⑴观察图②，请写出（。+»2、（。-92、之间的等量关系：.

（2）根据（1）中的等量关系解决问题：若x+P=5,孙=3,求（工-A?的值;

⑶求/+V的值.

22.笔直的河流一侧有一旅游地点G,河边有两个漂流点力、B,且点/到点8的距离等于

点力到点G的距离.近阶段由于点G到点力的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新

建一个漂流点。（点4、B、。在同一条直线上），并新建一条路GC,测得8G=5km,

GC-4km,BC=3km.

（1）判断.BCG的形状，并说明理由；

（2）求原路线G/1的长.

23.如图I,已知△力4。是边长为6的等边三角形，以4C为底边作一个顶角为120。的等腰

三角形8OC.点M,N分别是46边与力C边上的点，并且满足NM3N=6O。.

试卷第5页，共6页

A

要想证明为的平分线，刘同学做了如下思考，如图2,延长至点月使

BF=CN,连接。尸，通过证明尸且①得到。尸=ON,进而证得△D"②一,

得证MD为2BMN的平分线；

(1)请你将刘同学的思考过程补充完整.①，②.

(2)在刘同学的思路下求"MN的周长；

(3)当点力在△18C内部时，其他条件不变，直接写出△4WN的周长.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据用关定义逐一判断各选项的正误.

【详解】解：•.・正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0,负数没有平方根，

二4的平方根是±2,选项A错误；

•.•负数没有平方根，0只有一个平方根，

••・选项C错误；

•••正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0,

••.1的立方根是1，选项B错误，

任何实数都有一个立方根，选项D正确：

故选：D.

2.D

【分析】本题中要考杳了同底数幕除法计算，幕的乘方计算，单项式乘法、合并同类项，熟

知相关计算法则是解题的关键.

【详解】解：A,原式计算错误，不符合题意；

B,/+/=2/,原式计算错误，不符合题意：

C,2a-4a2=Sa\原式计算错误，不符合题意；

D,S）3=/,原式计算正确，符合题意：

故选：D.

3.B

【详解】试题分析：根据条形统计图可以得到哪一组的人数最多，从而可以解答本题.

由条形统计图可得，人数最多的一组是4〜6小时，频数为22,

考点：频数（率.）分布直方图

4.B

【分析】本题考杳平方差公式的应用，利用平方差公式将〃变形为（。+力）（。-力），代入

已知条件即可计算出的值.

【详解】解：•"2一加=（。+»（。叫,a+b=3,a2-b2=6,

6=3x（r/-Z＞）,

a—b=6-^-3=2.

答案第1页，共14页

故选：B.

5.B

【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，理解尺规作图的基本原理是解题的关

键.由作图可知，灰，丽的半径相等，CD=CD',据此求解即可.

【详解】解：由作图可知：OC=OD=O'C'=O'D',CD=CD\

在△CO。和△COTT中

OC=O'C

<OQ=O'。'，

CD=CD'

.•.△COQgAC'O'O'(SSS),

故选:B.

6.A

【分析】本题主要考查了频率和频数，先根据所有频率之和为1求出力型血的频率，再利用

“频数=总数x频率”计算/型血的人数.

【详解】解：,••所有血型的频率之和为1,

A型血的频率/=1-0.35-0.1-0.15=0.4,

又・••总人数为80人，

・••本班4型血的人数为：30x0.4=32(人).

故选：A.

7.D

【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知

的40。内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180。的性质求解顶

角的度数.

【详解】解：•••等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180。，

①当40。的角为等腰三角形的顶角时，

二该等腰三角形的顶角为40。，

②当40。的角为等腰三角形的底角时，

顶角二180。-2x40。=100。，

综上，这个等腰三角形的顶角为40。或100。，

答案第2页，共14页

故选：D.

8.C

【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.要求证是否为直

角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】A.72+242=252，152+202^24\222+202252,故A不正确,不符合题意；

B.72+242=252，152+202^242,故B不正确,不符合题意；

C.72+242=252,，+2()2=252,故C正确,符合题意；

D.7?+202工25，24?+15?工25"故D不正确，不符合题意.

故选：C.

9.C

【分析】根据矩形性质得/6=QC=3,BC=AD=4,ADWBC,乙B=90。,再根据折叠性质得

乙DAC=^D'AC,而乙D4C=乙4CB,则/。'力。=4力。8,所以4E=EC,设BE=x,贝UEC=4—x,

AE=4-x,然后在Rt^ABE中利用勾股定理建立方程可计算出BE的长度.

【详解】解：•.•四边形488为矩形，

:.AB=DC=3,BC=AD=4,4D\\BC,48=90。，

•••△/CO沿4C折叠到△JC。，ADWBC交于点、E,

•MDIIBC,

:ZDAC=UCB,

:WAC="CB,

-'-AE=EC,

i^BE=x,则EC=4-x,AE=4-x,

在AA48石中，由勾股定理得：

AB2+BE2=AE2，即：3-+x2=(4-x)2,

解得：x二,即：BE的长度为！，

故选：C.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形

状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；也考查了矩形的性质和勾股定理；牢记折

叠的性质是解决本题的关键.

答案第3页，共14页

10.c

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到。8=QC,根据角平分线的性质得到。

则可判断RtACDE@R3DF,于是可对①进行判断；

再证明RtA/IOEgRt△力O"得到力后=力用接着利用等线段代换可对②进行判断；

利用角度的计算可对③进行判断；

由于NH4C的度数不能确定，则可对④进行判断.

【详解】解：①・・・8C的垂直平分线与/94c的邻补角的平分线相交于点。，DE1AC

DF±AB,

:.DB=DC,DE=DF,

在RtACDE和RtABDF中，

CD=BD

'DE=DF'

.,.RtACDf^RtA^DF(HL),

所以①正确；

②在RtA/lDE和RtA/lDr中，

[AD=AD

[。£=DF'

ARtA/i£>£^?RtA(//£),

：,AE=AFf

VRtACDF^RtA^DF,

:,CE=BF,

：.CA-AB=CE+AE-(BF-JF)=CE+AE-CE+AE=2AE,

所以②正确；

(3)VRlAC£>E^RlA2?£>F,

，NCDE=/BDF,

VZEJF4-Z££>F=180°,

："EAF+NBDF+/BDE=18O°,

即N£/l尸+NCOE+N8OE=180°,

•••N8OC+N4E=18(T,

所以③正确；

答案第4页，共14页

④・・・/瓦|。的度数不能确定，

，④不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的

关键.选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件.也考查了角平分线的性质和线段垂

直平分线的性质.

11.

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，小2-4〃?的公因式是加，提出公因式〃，后括号里

剩F〃L4,所以分解因式的结果为加(〃?-4).

【详解】解：w2-4w=/M(W-4),

故答案为:.

12.40%

【分析】频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值［或者百分比)，即频率=频数+总数,

计算即可.

【详解】解：因为无理数有石，万两个，

所以出现无理数的频率是(=40%,

故答案为：40%.

【点睛】本题考查了频率，熟练运用频率公式计算是解题的关键.

13.两个角相等三角形是等腰三角形真

【分析】本题考杳了命题，根据互逆命题的定义即可求解，掌握互逆命题的定义是解题的关

键.

【详解】解：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形“，逆命

题是真命题，

故答案为：两个角相等三侑形是等腰三角形，真.

14.110

【分析】正方形的面积等于边长的平方，计算地可以利用平方差公式简化计算.

【详解】根据题意可得：

剩下的面积=12.752-7.25?

答案第5页，共14页

=(12.75+7.25)x(12.75-7.25)

=20x5.5=110.

故答案为：110

【点睛】本题考查了平方差公式.运用平方差公式可以简化计算，正确运用平方差公式是解

题的关键.

15.60°或105。

【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的

性质和三角形的内角和定理进行计算.

【详解】4CDE可以是等腰三角形，

•・•△CDE是等腰三角形；

①当CD=DE时，

vzCDE=30°.

，NDCE=4DEC=75。，

••.zADC=zB+zDCE=105%

②当DE=CE时,••zCDE=30。，

.-.zDCE=^CDE=30°,

.­.ZADC=zDCE+zB=60°.

③当EC=CD时，

ZBCD=1800-zCED-zCDE=180°-30°-30°=l20°

­.ZACB=180°-zA-zB=120°,

••・此时，点D与点A重合，不合题意.

综上,4ADC可以是等腰三角形，此时4ADC的度数为60c或^50.

故答案为60。或105°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.

16.(l)-l-x/3

(2)4ab+5b2

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，解题的关键在于熟

练掌握相关运算法则.

(I)根据立方根，绝对值，算术平方根，以及二次根式的加减混合运算法则计算求解，即

答案第6页，共14页

可解题；

（2）根据完全平方公式，平方差公式计算求解，即可解题.

【详解】（1）解：原式=-2-（2-6）+3-2百

=—1—A/3;

（2）解：（a+2b）-（a+b）（a-b）

=（/+4ab+4b2j-（^a2-b'^

=a2+4ab+4b2-a2+b2

=（/一叫+4"+（4/+"）

=4〃b+Sh2.

17.5

【分析】原式的第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，第三

项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，最后把帅的值代入化简后的式

子计算即可求出值.

【详解】解：原式=4-*+。2-5ab+3ab

=4-2aby

当ab=-；时，

原式=4+1=5.

【点睛】此题考杳了整式的混合运算一化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.I已知：①②.求证：③；证明见详解；

n已知：①③.求证：②；证明见详解；

in已知：②③.求证：①；证明见详解.（不唯一）

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握

全等三角形的判定定理.

根据全等三角形的判定和性质写出所有符合题意的组合，再证明即可.

【详解】解：I已知：①②.求证：③；

证明：在△408和△COQ中，

答案第7页，共14页

Z.AOB=/COD

<N4BD=ZDCA,

AB=DC

.•.108物△COZ)(AAS),

:.A0=D0,B0=C0,

:.AO+CO=DO+BOt

即AC=DB；

II已知：①③.求证：②;

证明：连接8C,

AB=DC

,AC-DB,

BC=CB

:."BC丝ADCB(SSS),

乙4BC=NDCB/ACB=/DBC,

AABC-NDBC=NDCB-ZACB,

/.Z.ABD=ZDCA；

in已知：②③.求证：①；

证明：连接力。，作4历于“，作。NJ.48于N：

在△AQN和△(7力M中,

答案第8页，共14页

NABD=Z.DCA

4N=4M,

DB=AC

：4BDNmCAM〈hAS),

BN=CM,DN=AM,

vAD=AD,

:."ND3DMA,

/.AN=DM,

BN-AN=CM-DM,

即AB=DC.

19.(1)50

(2)4

(3)144°

(4)2880

【分析】(1)用“夕’所对应人数除以占比即可求解.

(2)用总人数减去其他组别的人数即可求解：

(3)用“。”所对应的人数的占比乘以360。，即可求解;

(4)用志愿服务时间多于60小时的教职工的占比乘以4000,即可求解.

【详解】(1)解：募=50(人)

故答案为：50.

(2)50-10-16-20=4

故答案为：4.

(3)—X360°=144°

50

故答案为：144。.

1620

(4)4000X~)=2880(人)

答：志愿服务时间多于60小时的教职工大约有2880人

【点睛】本题考查了扇形统计图，频数分布表，求扇形统计图的圆心角度数，样本估计总体,

从统计图表中获取信息是解题的关键.

答案第9页，共14页

20.（I）①见解析；②见解析；（2）ZDAE=1^DAC=4O°

【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；

（2）根据垂直平分线的性质得到DB=DA,求出4CAD=80。，再利用角平分线的性质即可

求解.

【详解】解：（1）如图，点D,射线AE即为所求.

.-.DB=DA

.-.ZDAB=ZB=3O°

vzC=40°

.-.ZBAC=18O°-30°-40°=110°

.­.zCAD=li0°-30o=80°

•••AE平分心DAC

••.Z.DAE=yZDAC=40o.

【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法.

21.（l）（a+6）2-（fl-6）2=4ab

⑵13

⑶19

【分析】本题主要考查完全平方与图形面积的计算，理解图示，掌握完全平方公式的变形计

算是关键.

（1）根据图形面积计算即可求解•：

（2）根据（1）中的结论计算即可；

（3）根据/+/=（、+W2_2中，代入计算即可.

【详解】（1）解：图②，大正方形的面积为大正方形的面积也可以表示为

4ab+（a-b）~,

答案第10页，共14页

.•.(q+6)~=(a-b)-+4ab,即(a+6)~=4ab,

故答案为：(。+力)2-(。-＞『=4"；

(2)解：由(1)得(x+p)2—(x—y)?=4刈，

•••(X-y)~=(x+y/-4xy,

当x+y=5,个=3H寸，原式=25-4x3=13；

(3)解：x2+y2=(.r+y'|2-2xy=25-2x3=19.

22.(1)A8CG是直角三角形，理由见解析

(2片痴

6

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可.

(1)根据题竟可得“C2+CG2=/?G2,即可判断：

(2)由(1)得：CGVAB,mAC2+CG2=AG2AC=AB—BC=AB-3=AG-3,即

可求解；

【详解】(1)解：ABCG是直角三角形，理由如下：

,••4G=5km,GC=4km,BC=3km,

-BC2+CG2=BG2,

.•・A〃CG是直角三角形；

(2)解：•••点力到点8的距离等于点力到点G的距离，

:.AB=AG,

,:AC=AB-BC=AB-3=AG—3

又由(1)得：CG工AB,

-AC2+CG2=AG\

即：(4G—3『+42=1G2,

解得：AG=§25k,n.

6

23.(1)ADCN,GMN,

⑵12

(3)6

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

答案第11页，共14页

掌握以上知识，合理作出辅助线是关键.

（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质得到。B_L*8,QC_L4C,如图所示，延长

4B至点、F,使BF=CN,连接。尸，可证明A8/»WACDN（S4S）,得到=DV,

4BDF=2CDN,再证明△£>〃"g△D”N（S力S）,即可求解；

（2）根据（1）中三角形全等得到MN=4M+CN,结合三角形周长的计算即可求解；

（3）如图所示，延长BD交AB于P,延长。。交力。于0,令KP=QM,连接。K,证明

△BDQOCDP（ASA）,得BQ=PC,QD=PD,再证明AMOQgAPQKlS/lS）,得到

NQDM=NPDK,DM=DK,最后证明△MON0AKDV（S4S）,得MN=KN=NP+PK,结

合三角形周长的计算即可求解.

【详解】（1）解：是边长为6的等边三角形，

:.AB=BC=AC=6,^ABC=AACB=ABAC=600,

•••以BC为底边作一个顶角为120。的等腰三角形BDC,

.-.Z5£）C=120o,DB=DC,

:"DBC