2.4-二次函数的应用-初中-数学-教学设计

2.4二次函数的应用李欢西安铁一中滨河学校【教材分析】本节是北师大版九年级数学下册《第二章二次函数》的第四节内容，教材先引导学生认识并掌握了二次函数的定义和常见表达式，并通过合作探究理解并掌握了二次函数的图象及性质，能熟练的根据二次函数图象或表达式确定二次函数的顶点坐标及最值，在此基础上引导学生应用课堂知识解决实际问题，并会在实际问题中通过建立函数模型来进行分析和解决，提高学生知识应用能力。本节课内容分2课时，本课时的教学内容主要是让学生借助二次函数的性质探究实际问题中的面积最大值。【学情分析】学生已经经历了探究二次函数的图象及性质等数学活动后，探索意识已明显增强。在此基础上引导学生会借助二此函数性质解决面积最大值问题，无论是思想上还是方法上学生都已具备良好的基础，需要加强的是学生运用数形结合和建模思想探究问题的习惯和能力。【课程标准要求】1、经历求最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，增强解决问题的能力【课堂落实目标】情感目标:组课堂上组织学生有序的阅读教材和讨论问题,经历对已有知识中相关问题的探究，过渡到新知识的学习，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.调动学生参与问题讨论的积极性，培养勇于探究，质疑及合作交流的精神。能力目标:1.会利用二次函数的性质求出实际背景中面积最大（小）值、最大利润等问题.2.通过问题解决感受数形结合和建模思想等数学思想，培养学生分析问题，解决问题的能力，关注学生解法的多样性。知识目标：写出实际应用中二次函数的表达式，说出自变量取值范围，确定最值。【课前自主探究】 阅读课本，提炼相关内容并解释（用自己语言或结合图形），提出疑问，完成随堂练习。第一课时【课前自主探究】1.阅读课本P46--47，提炼相关内容并解释（用自己语言），提出质疑.2.自主独立完成课堂引例。3.小组核对答案，发现并解决问题。（设计意图：通过学生自主预习，让学生大致了解本节学习内容，提前回顾相关知识基础；并在问题设置中引导学生将预习中的发现和质疑在组内交流解决，体现独立自主、合作探究的原则，利于学生学习方法和能力的培养。）【自主探究检测】1.二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．2、二次函数y=－2x2+x－，当x=______时，y有最______值，为______.3、等腰梯形的周长为60cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.4、不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______5、50m长的护栏,全部用于建成一块一面靠墙的长方形花园,当花园长x(m)是多少时,长方形花园的面积y(m2)最大?最大面积是多少?（设计意图：针对自主预习而设计的知识检测，基础、难度小；限时闭卷完成，小组内交换批改，根据检测反馈，便于了解学生自主预习情况。）【课堂合作探究】探究一：直角三角形中矩形的最大面积探究提示举例：小组pk形式：完成课本46页议一议对问题的探究过程进行反思、总结已形成能力探究结果预期：必修：1.能应用顶点式或公式确定二次函数的最值，并能结合实际问题中自变量取值范围确定实际问题中的最值。2.经历求面积最大值问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。【探究结果总结】结合图形求直角三角形中矩形的最大面积，分为两类1.矩形一条边在直角边上2.矩形的一条边在斜边上。然后，再比较最终确定。（教师在此过程中观察各组成员的完成情况，对薄弱小组给予及时指导，并对展示结果进行点评。）探究二：其他组合图形中的面积最大值探究提示举例：小组合作完成课本P46例1，交流后展示小组的解题过程。（教师巡回指导，并融入较薄弱的小组进行讨论；找2-3个小组将结果写在黑板上，其余小组写在草稿本上，小组课代表纠正小组做错的题，并指出错误原因.）【探究结果总结】应用二次函数性质解决实际问题的常用分析步骤。对一般的二次函数自变量取值范围是全体实数。当a＞0时，函数有最小值，无最大值；当a＜0时，函数有最大值，无最小值。对于二次函数的应用问题，最值在定义域范围内，当a＞0时，离对称轴越远，值越大，离对称轴越近，值越小；当a＜0时，离对称轴越远，值越小，离对称轴越近，值越大。借助图像，求最值时，在定义域范围类，寻找最高点与最低点，确定最大值与最小值。【课内及时评价】1、如图4所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为______2.抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是______m．4.如图,BC⊥CD,甲、乙两船分别从A和C两地出发,各沿箭头所指方向航行．已知AC＝10海里,甲、乙两船的速度分别是16海里/小时,12海里/小时,问几分钟后两船距离最近?求此最近距离．5、要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为xm.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？（设计意图：问题的设置紧扣本节内容的重、难点，既考察学生知识掌握情况，又对学生应用知识解决问题、规范呈现数学语言的能力进行了考察，也让学生在检测中发现自己的问题。）【师生交流、归纳小结】回顾本节课内容，有问题的可以提出在组内讨论，没有问题的与组员谈谈你本节课的收获和体会。（设计意图：借助小组交流的机会，说出本节课自己所学，或将存在问题继续在组内解决。）【作业布置】习题2.8第1、2、3题（设计意图：必修作业的布置，主要检查学生课堂的掌握情况，并让学生在应用中巩固所学知识，选修作业的设置，综合知识点较多，对学生的分析和解决问题的能力要求较高，主要针对数学学习学有余力的同学设计。）【课后拓展延伸】★★如图,矩形ABCD的两边长AB＝１８cm,AD＝４cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒２cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒１cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm２)．(１)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(２)求△PBQ的面积的最大值★★★如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．挑战中考：1．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【评价形式】：A小组评价（）B自我评价（）学习过程预习情况（满分40分）知识掌握情况（满分40分）课堂学习态度（满分20分）总得分得分【教师课后反思】本节课知识应用上需在掌握二次函数及其性质的基础上进行学习，探究中要应用数形结合和建模思想，所以，课前的问题引入设置的较为恰当，学生在解决问题的过程中，也做好了本节课探究的准备；课堂上两个探究问题的设置也紧紧围绕本节课重难