河北省衡水中学2025-2026学年高三年级下学期综合素质评价三数学试卷

2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科考试时间：120分钟；试卷满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（共58分）一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知，为虚数，则的值可能为（）A.2 B.1 C.0 D.4.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7.已知满足，且当时，，则的值为（）A. B. C. D.8.已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（）A.3 B. C.4 D.5二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)9.下列说法正确是（）A.样本相关系数越大，则线性相关性越强B.1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15C.随机变量的方差，期望，则D.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.810.已知左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（）A.椭圆的离心率的取值范围是B.椭圆上存在点使得C.已知，椭圆离心率为，则的最大值为D.的最小值为11.定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:()A.是的一个“完美区间”B.是的一个“完美区间”C.所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为第II卷（共92分）三、填空题(每题5分，共15分)12.已知，则______.13.甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种．14.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．四、解答题(共5题，满分77分)15.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．16.手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表.

购买手机购买无技术的手机总计男性顾客4565110女性顾客563490总计10199200（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由：（2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.参考公式及数据：①，其中．②,,,．17.在中，角，，所对边分别为，，，.（1）求的值；（2）若是边上一点，，，求的周长.18.对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，.（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．（1）证明：；（2）当最小时，①求，两点间的最小距离；②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价三数学学科考试时间：120分钟；试卷满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（共58分）一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由，可得，解得，所以，由，得，所以，所以.2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，，，，则向量在向量上的投影向量为.3.已知，为虚数，则的值可能为（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】设且，根据复数的运算由得，进而得，即可求解.【详解】设且，由得，解得，所以，所以，故A正确，B错误，C错误，D错误.故选：A.4.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据圆台的结构特征求出圆台的高，然后利用圆台的体积公式求出其体积即可.【详解】取上下底面的圆心，则即为圆台的高，如图所示，在中，，根据勾股定理可得.所以圆台的体积为.故选：A.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件.6.设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线中的关系和等差数列可求答案.【详解】因为成等差数列，所以，又，所以，即，所以.该双曲线渐近线方程为.故选：B7.已知满足，且当时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值.【详解】由，可知函数图像关于对称，又，由累加法可得：，又，所以，故选：B8.已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（）A.3 B. C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先由已知条件解出，两点坐标，再由焦半径公式求得.【详解】由圆：可知，圆心，半径为.而圆和抛物线都关于轴对称，则可设，.由，得.因为点在圆上，又有，即，而，则解得，所以.而点又在抛物线上，则有，所以，则.所以.二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)9.下列说法正确的是（）A.样本相关系数越大，则线性相关性越强B.1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15C.随机变量的方差，期望，则D.某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8【答案】BD【解析】【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；B：该组数据共8个数据，又，因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确；C：因为，由方差，期望，可得，即C错误.D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为，因此方差为，即D正确.10.已知的左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（）A.椭圆的离心率的取值范围是B.椭圆上存在点使得C.已知，椭圆的离心率为，则的最大值为D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据条件得，再利用离心率的公式可确定离心率的取值范围；对于B，转化为以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，即可求解；对于C，根据条件求出椭圆方程，再利用椭圆的参数方程，即可求解；对于D，根据椭圆的定义得，再利用基本不等式求解即可.【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为，因为在椭圆外，所以，解得，因为，所以，故A正确；对于B，由选项A知，，所以，所以，则以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有四个交点，不妨设其中一个交点为，由圆的性质可知，，所以椭圆上存在点使得，故B正确；对于C，由离心率，所以，所以椭圆方程为，设点，则，当时，有最大值为，此时，故C正确；对于D，，，当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值，故D错误.11.定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:()A.是的一个“完美区间”B.是的一个“完美区间”C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为【答案】AC【解析】【分析】按照和两种情况讨论求解，当时，按照，，分类讨论求解，利用“完美区间”的定义，结合函数的单调性求解.【详解】，的值域为，设的“完美区间”为，则，当时，，在是单调递减函数，为的最大值，为的最小值，，，此时，，当时，①若，，，，在是单调递减函数，在是单调递增函数，为的最小值，的最大值为和中最大的一个，当时，，，则为的最大值，，，满足，此时，；当时，，，则为的最大值，，，不满足，舍去；②若时，，，在是单调递减函数，在是单调递增函数，为的最小值，而，这与矛盾，不符合题意；③若时，，，在是单调递增函数，为的最小值，为的最大值，，，，不符合题意；综上可知，的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为，故选项A和C正确.故选：AC.第II卷（共92分）三、填空题(每题5分，共15分)12.已知，则______.【答案】【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，求出的值，再计算的值.【详解】因为，所以，所以.故答案为：13.甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种．【答案】8【解析】【分析】先安排特殊元素和特殊位置，再根据计数原理计算即可.【详解】先安排甲、乙，有种方法，且甲、乙之间有一个空位，而丙与甲不相邻，所以安排空位有种方法；又丙与乙相邻，所以丙位置固定，然后让最后一人站两端，有种方法；所以不同的排法共有（种）排法.故答案为：814.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值.【详解】由，整理得，化简得：，设函数，可知函数在内单调递增，由可得，即，代入得，令，令，解得，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，故当

时，

取得最小值，此时，最小值为.故答案为：四、解答题(共5题，满分77分)15.已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意整理可得，进而可得，即可得结果；（2）整理可得，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为，且，可得，即对任意恒成立，可得，所以.【小问2详解】由（1）可知：，则，可得，所以.16.手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表.

购买手机购买无技术的手机总计男性顾客4565110女性顾客563490总计10199200（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由：（2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.参考公式及数据：①，其中．②,,,．【答案】（1）有的把握认为购买手机与顾客的性别有关.（2）【解析】【分析】(1)由卡方公式计算出卡方值，利用临界值进行比较即可.(2)先列出随机变量的分布列，再由分布列求出期望值.【小问1详解】假设:购买手机与顾客性别无关.根据公式，因为，所以假设不成立，即我们有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，此判断犯错误概率不超过0.01.【小问2详解】可能取的值为0，100，200，300，400，每次抽奖不中的奖的概率为，中元概率为，中元概率为，，，，，，所以的分布列为0100200300400所以期望为.17.在中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求的值；（2）若是边上一点，，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及.（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.【小问1详解】由题意知，，即，即.因为，所以，即，所以，又，，所以或，所以（舍）或，因为，所以，则.【小问2详解】方法一：设，则，，中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，由，可得，在中，由余弦定理可得，即，联立解得，，所以的周长为.方法二：设，则，，即，故，故，所以，可得，在中，由余弦定理可得，即，联立解得，，所以的周长为.18.对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，.（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）和（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，由，化简得到，即可求解；（2）根据题意，将方程，化简得到，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解；（3）根据题意，将不等式化为，利用指数函数的单调性，得到，分类参数转化为在上恒成立，结合函数的单调性，即可求解.小问1详解】解：当时，方程，即为，即，可得，解得或，可得或，所以函数的不动点为和.【小问2详解】解：由方程，可得，即，可得，即为，令，当时，可得，因为函数在区间上存在两个不动点，可得关于的方程在上有两个不等的实数根，令，可得在单调递减，在单调递增，且，则满足，解得，所以实数的取值范围为.【小问3详解】解：不等式，可化为，由函数在上单调递减函数，可得，因为对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式，即，可得，即为，所以在上恒成立，令，当时，可得，由题意得，对任意，不等式恒成立，函数在上为单调递增函数，所以，函数在上为单调递减函数，所以，所以，解得，综上可得，实数的取值范围为.19.如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．（1）证明：；（2）当最小