2025-2026学年上海上师闵分校高二上学期数学期末试卷（含答案）

上师闵分宝分2025-2026学年第一学期高二年级数学期末一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______．2.球的体积是，则球的表面积是______．3.管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼．4.已知，则______．（用数字作答）5.已知直线经过点，与直线夹角为，直线的方程为______．6.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______．7.现从编号为01，02，…，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为______（以下摘自随机数表第7行）．3983277639918535325911314046923504982212206712638.某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为______．9.已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______．10.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______．11.在棱柱中，底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角为______．12.数列满足：，且，集合或．若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”．“好的”数列的个数为______．二、选择题（本题共4个小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）13.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（）A.， B.，C.， D.，，，14.某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励．加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（）A.平均数 B.中位数 C.第80百分位数 D.方差15.有一四边形，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币；如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（）A. B. C. D.16.已知点为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：：过点有且只有一个平面与和都平行；：过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．则以下说法正确的是（）A.命题是真命题，命题是假命题B.命题是假命题，命题是真命题C.命题、都是真命题D.命题、都是假命题三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21每题18分，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示）18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（，，，，），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求、的值；（2）从样本数据在，两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知一条动直线，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标．（2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中．（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面PBC的距离；（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则．区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量．已知在三棱锥中，记，，．（1）若，，求，；（2）①向量是即有大小又有方向的量．试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）.②若，，，求直线与平面的所成角的大小；（3）证明，并用表示三棱锥的体积．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.①③；11.12.11.在棱柱中，底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角为______．【答案】【解析】

∵底面是平行四边形， ，故，故答案为12.数列满足：，且，集合或．若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”．“好的”数列的个数为______．【答案】【解析】由题意，要，则需满足,

即，即，

由已知数列为递增数列，，则有，

设，则，又，则，则；，则，则，所以，则整数个数为，则＂好的＂数列的个数为1926．故答案为：1926.二、选择题13.C14.C15.B16.A15.有一四边形，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币；如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，共有种情况，要从出发沿着尚未擦去的边能到达点，若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况；若保留两条边，则可保留也可擦去，共有2种情况（其中有一种情况与上面重复）．则要从出发沿着尚未擦去的边能到达点，共有7种情况.∴可以到达点的概率为．故选B.16.已知点为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：：过点有且只有一个平面与和都平行；：过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．则以下说法正确的是（）A.命题是真命题，命题是假命题B.命题是假命题，命题是真命题C.命题、都是真命题D.命题、都是假命题【答案】A【解析】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，和是正方体的边，且与异面．对于命题，依题意知，过作的平行线，过作的平行线，由于和异面，则和相交于点，从而由和确定平面．假设与相交．记共面．过点有且仅有，共面，∴共面，即平面，这与在正方体内部不符，故假设不成立，不在内．同理不在内．∵．假设存在不同于的平面满足，则存在直线满足，且．①若且，∵，又∵，∴．同理可得，与假设不符．②若且过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，∴，与假设不符．③若且，记，与假设不符，同理且时也不符，假设不成立，即有且只有平面满足要求，是真命题.对于命题，假设至少存在不同直线过点且与和所在直线都相交．记确定平面，且，，与和异面矛盾，假设不成立，命题是假命题．故选A．三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）（3）平均数为88，方差为1919.（1）证明略，定点为（2）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中．（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面PBC的距离；（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．【答案】（1）2（2）（3）【解析】（1）根据离散曲率的定义得：，

所以．

（2）因为平面平面，所以，

又平面，所以平面，

又平面，所以，即，

又，即，所以,

过点作于点，因为平面，平面，所以，

又平面，所以平面，

所以点到平面的距离为线段的长，

在Rt中,即点到平面的距离为；

（3）过点作交于点，连接，因为平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，依题意可得所以

设

在中，

得，所以

所以，所以，解得或（舍去），故．21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则．区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量．已知在三棱锥中，记，，．（1）若，，求，；（2）①向量是即有大小又有方向的量．试根据问题（1）的结果，猜测一个有关