小学数学二年级下册《有余数的除法》教案

小学数学二年级下册《有余数的除法》教案

一、教学内容分析

  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节课属于“数与代数”领域中“数与运算”主题的重要内容。其知识技能图谱清晰：学生在二年级上学期已牢固掌握“平均分”的概念与操作，并熟练运用乘法口诀进行表内除法的运算，本节课的核心在于将“平均分”的活动从“恰好分完”扩展到“分后有剩余”的现实情境，从而抽象出“余数”这一核心概念，并理解有余数除法的含义及算式表达。这不仅是表内除法的自然延伸，更是未来学习多位数除法、理解除法算理、乃至深入探讨数论同余问题的逻辑基石。在过程方法上，课标强调通过操作、观察、比较、归纳等数学活动来探索规律、形成概念。因此，本节课将引导学生经历“实物操作—表象操作—符号操作”的完整认知过程，亲身体验从具体情境中抽象出数学问题，并用数学符号予以表征和推理的建模思想。其素养价值渗透深远：在动手操作与小组协作中，培养学生的几何直观与空间观念；在探究“余数必须比除数小”这一核心规律的过程中，发展初步的推理意识和模型意识；在解决“至少”、“最多”等实际问题的应用中，强化数学的应用意识，使学生感悟数学与生活的紧密联系。

  基于“以学定教”原则，对学情的立体研判如下：学生的已有基础是扎实的“平均分”操作经验和表内除法计算技能，生活经验中亦不乏“分物品有剩余”的实例，这是建构新知的生长点。潜在的认知障碍在于：一是从“等分除”的情境过渡到“包含除”情境理解余数时可能存在混淆；二是对“余数”单位与被除数、除数单位不一致可能产生困惑；三是理解“余数为什么必须比除数小”这一抽象规律存在思维跨度。为动态把握学情，教学将设计前测性问题（如：10颗糖，每人分3颗，可以分给几人？还剩几颗？请你画一画或摆一摆），并通过观察学生操作小棒的过程、倾听其小组讨论的观点、分析其初步列式的样态进行过程性评估。基于诊断，教学调适策略将体现差异化：对理解较快的学生，引导其从操作中自主发现规律并尝试解释；对存在困难的学生，提供更细致的操作步骤引导和更直观的图示支持，并通过“一对一”或小组内帮扶，确保其经历从具体到抽象的思维过程，搭建稳固的认知脚手架。

二、教学目标

  知识目标：学生通过操作、观察、比较等数学活动，能够理解“余数”产生的现实背景与数学意义，掌握有余数除法的横式写法与读法，知道余数表示平均分后剩余的不够再分一份的数量；并能结合具体情境，解释有余数除法算式中每个数的含义，建立完整的除法认知结构。

  能力目标：学生能够运用小棒、圆片等学具，规范地操作并清晰地表述平均分后有剩余的过程；能够根据操作结果正确列出有余数的除法算式；具备通过观察多个有余数除法的实例，归纳并口头阐述“余数必须比除数小”这一规律的能力。

  情感态度与价值观目标：学生在动手操作与合作探究中，体验数学探究的乐趣和成功的喜悦，增强学习数学的自信心；在解决与“余数”相关的简单生活问题时，感受数学的实用价值，培养乐于思考、严谨认真的学习态度。

  数学思维目标：重点发展学生的几何直观、初步的归纳推理和模型意识。具体表现为：能借助实物操作形成“分后有剩余”的心理表象（几何直观）；能通过多个算式的对比，发现余数与除数之间的恒定关系，并尝试用“如果余数比除数大或相等，就还能再分一份”的理由进行说理（归纳推理）；能将具体分物问题抽象为有余数的除法算式，并运用该模型解决类似问题（模型意识）。

  评价与元认知目标：引导学生学会依据“操作是否清晰”、“算式与操作过程是否对应”、“发现规律是否有据”等简易标准，进行自我检查与同伴互评；在课堂小结时，能回顾并说出“我们今天是怎么发现余数这个新朋友的？”（经历了分一分、写一写、比一比的过程），初步反思自己的学习路径。

三、教学重点与难点

  教学重点：理解余数及有余数除法的含义，掌握有余数除法的横式写法。

  确立依据：从课程标准看，理解运算的意义是培养运算能力、发展推理意识的逻辑起点。“有余数的除法”是对除法意义的扩展和完善，是除法概念体系中的核心“大概念”。从后续学习看，无论是笔算除法的试商原理（试得的商与除数的乘积不能大于被除数，本质关联余数），还是解决周期问题等实际应用，都以深刻理解余数的含义为基础。因此，将其确立为教学重点。

  教学难点：理解“余数一定比除数小”的道理，并能根据此规律初步判断有余数除法计算的合理性。

  预设依据：从学情分析，二年级学生的逻辑推理能力尚处于以具体形象思维为主的阶段。理解“余数比除数小”是一个需要从大量具体案例中抽象概括的规律，且其道理（余数如果大于或等于除数，就意味着还可以再分一份）具有一定的反证思维色彩，对学生而言认知跨度较大。从常见错误分析，学生在初学时容易出现余数等于甚至大于除数的错误算式，正说明此点是理解的症结所在。突破方向在于设计充分的、有层次的探究活动，让学生在操作中感悟，在比较中发现，在说理中内化。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（内含动态分物演示、分层练习题）、板书设计预案。

1.2学具与材料：为每位学生准备一袋小棒（如15-20根），学习任务单。

2.学生准备

2.1预习任务：回忆“平均分”的意思，并尝试用学具分一分“10个物品，每份分3个，结果如何”。

2.2物品携带：数学书、练习本、文具。

3.环境布置

3.1座位安排：便于四人小组合作交流的座位布局。

3.2板书记划：预留核心概念区、探究过程区和算式对比区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设，引发冲突：

1.2.师：“同学们，还记得‘平均分’吗？今天老师带来了一个分糖果的小任务。”（课件出示：把6颗糖果，平均分给2个小朋友，每人分得几颗？）学生口答。

2.3.师：“分得真公平！如果还是这6颗糖，要平均分给4个小朋友呢？请你用手中的小棒代替糖果，动手分一分，看看结果怎么样。”

3.4.学生动手操作，很快发现：“老师，分不完！每人分1颗后，还剩下2颗。”

5.问题提出，揭示课题：

1.6.师：“是啊，分不完，有剩余。这剩下的2颗，在数学上我们给它起了一个新名字，叫做‘余数’。像这样平均分后有剩余的情况，该怎么用除法算式表示呢？这就是我们今天要共同探究的新知识——《有余数的除法》。”（板书课题）

7.路径明晰，唤醒旧知：

1.8.师：“这节课，我们就当一回小小发现家。首先，通过‘分一分’来认识新朋友‘余数’；然后，‘写一写’这个特别的除法算式；最后，‘比一比、找一找’余数藏着的秘密。带上你们善于观察的眼睛和勤于思考的大脑，我们出发吧！”

第二、新授环节

  ###任务一：动手操作，感知“余数”的产生

教师活动：首先，我将引导学生回顾导入环节中“6颗糖分给4人”的操作。“孩子们，刚才我们每人分到1颗，还剩下2颗。这剩下的2颗为什么不分了呢？”预计学生会回答“因为每人再分一颗不够了”。我随即强调：“对，‘不够再平均分一份’就是产生余数的关键。”接着，出示新的操作指令：“现在，请用你手中的小棒，分别摆一摆：7根小棒，每3根摆一个独立的三角形，可以摆几个？还剩几根？8根小棒呢？把每次分的结果，在学习单上用‘圈一圈’的方式记录下来。”在学生操作时，我将巡视指导，特别关注操作有困难的学生，并收集不同的记录结果。

学生活动：学生根据指令，动手摆小棒。他们将7根小棒，每3根一组进行分摆，发现可以摆2个三角形，还剩1根小棒。同样，分摆8根小棒，得到摆2个三角形剩2根的结果。他们会将分的过程用圆圈圈起来的方式记录在学习单上，直观呈现“分了几份”和“剩下多少”。

即时评价标准：1.操作规范性：能否按“每份数量相同”的要求进行分摆。2.记录清晰性：能否用画图（如圈画）清晰展示分的过程和结果。3.表达准确性：能否用完整的语言描述操作结果，如“我摆了（）个三角形，还剩（）根小棒”。

形成知识、思维、方法清单：

★余数的来源：在平均分的过程中，当分到一定程度，剩下的数量不够再分出完整的一份时，剩下的这部分就叫作“余数”。（教学提示：务必紧扣“不够一份”来建立概念，这是理解余数本质的起点。）

★有余数除法的读写：像7÷3=2（个）……1（根）这样的算式，读作：7除以3等于2余1。“……”是余号。写算式时，先写被除数、除号、除数和商，然后在商的后面点上6个小圆点，再写上余数。

▲操作与记录方法：用小棒“分一分、摆一摆”是探索新知的好帮手；用“圈一圈、画一画”可以帮助我们清晰地记录分物过程和结果，为抽象成算式做准备。

  ###任务二：符号表征，学习有余数除法的算式

教师活动：“刚才我们用摆和画记录得真清楚！能不能像以前学过的除法一样，用一个算式把刚才分小棒的过程和结果表示出来呢？”我将以“7根小棒，每3根摆一个三角形，摆了2个，还剩1根”为例，引导学生共同建构算式。“要分的东西总数是7，写作‘7’；每份分3根，除数就是‘3’；结果摆成了2个三角形，商就是‘2’；剩下的1根怎么办？”在这里，我会放慢节奏，“剩下的，我们请一个新符号来帮忙——6个小圆点，像一串小珠子，它叫‘余号’，表示‘有剩余’。余下的1根就写在余号后面。”随后板书完整算式：7÷3=2（个）……1（根）。并带领学生读两遍。“好，现在请你试着把分8根小棒的过程，也写成一个这样的除法算式，写在学习单上。”我将选取典型作品进行展示和评议。

学生活动：学生跟随教师的引导，理解算式中每个数的含义，并学习正确的书写格式。然后独立尝试将操作二（8根小棒）的过程写成除法算式：8÷3=2（个）……2（根）。部分学生可能会忘记写单位或余号书写不规范，将在同伴展示和教师点评中得以纠正。

即时评价标准：1.算式对应性：所列算式是否能正确对应操作过程中的总数、每份数、份数和剩余数。2.书写规范性：余号（6个小圆点）的书写是否清晰、规范，商和余数的位置是否正确。3.表达完整性：能否指着算式复述其表示的实际分物情景。

形成知识、思维、方法清单：

★有余数除法算式的结构：被除数÷除数=商……余数。它完整地记录了“把什么（被除数），按什么要求（除数）去分，结果分成了多少份（商），最后还剩下多少（余数）”。

▲单位书写：在解决实际问题时，商和余数后面都需要根据题意写上合适的单位。有时商和余数的单位可能不同（如：10÷3=3（人）……1（颗）），需要引导学生结合情境仔细辨别。

●易错点提示：余号的规范书写（6个小圆点，在商后偏右的位置）是初学时的书写难点，需反复强调和示范。避免与小数点、冒号混淆。

  ###任务三：观察比较，发现余数与除数的关系（核心探究）

教师活动：“小小数学家们，我们已经会写这样的算式了。现在，请擦亮眼睛，进入‘发现时刻’！”我将把之前生成的几个算式集中呈现在黑板上或课件中：6÷4=1……2，7÷3=2……1，8÷3=2……2。抛出核心问题链：“请大家横着看、竖着比，你有什么发现？特别要关注余数，看看余数和谁有关系？有什么样的关系？”给予学生充足的独立思考和小声讨论时间。我将有意识地邀请不同层次的学生分享他们的发现。当有学生初步说出“余数比除数小”时，我会追问：“这是巧合吗？余数可不可能比除数大？或者等于除数？我们一起来验证一下！”

学生活动：学生仔细观察三个算式，进行对比和思考。他们可能会发现：“这些算式都有余数。”“被除数不一样。”“除数有3有4。”“余数有1和2。”在教师引导下，会将每个算式中的余数与除数进行比较：2<4,1<3,2<3。从而初步感知“余数比除数小”。部分思维活跃的学生可能会提出：“如果余数等于3，那不就是又一份了吗？”

即时评价标准：1.观察的敏锐度：能否在多个算式中找到共同特征或差异点。2.比较的指向性：能否有意识地将余数与除数进行一一对比。3.发现的表达：能否用“我发现……”的句式，初步归纳出观察到的规律。

形成知识、思维、方法清单：

★核心规律：余数<除数。在有余数的除法中，余数必须比除数小。这是由除法的意义（平均分）所决定的绝对法则。

★规律的理解：为什么余数必须比除数小？因为如果余数等于或大于除数，就说明剩下的部分还够再平均分出至少一份，那么分的过程就没有结束，商就应该增加。所以，最终的余数一定要比每份的数量（除数）少。（教学提示：这是本课思维的制高点，务必通过操作演示或逻辑讲解让学生理解其“所以然”。）

  ###任务四：操作验证，深化对“余数<除数”的理解

教师活动：针对学生可能存在的疑问，我将设计一个验证活动。“刚才有同学想到了，如果余数等于除数会怎样？我们来试一试：用9根小棒，还是每3根摆一个三角形，结果怎样？”让学生操作。学生很快会发现：9÷3=3（个），没有剩余。“瞧，当剩下的刚好够一份时，就正好分完，没有余数了。”接着追问：“那如果余数比除数大呢？比如，我们分了以后，说余数是4，除数是3。这可能吗？”引导学生用10根小棒（或想象）去分，每3根一份。“分掉3份（9根）后，剩下1根，余数是1。如果剩下4根，那意味着我们前面少分了，应该继续分，直到剩下的比3小为止。”通过正反例证，让学生确信规律的普遍性。

学生活动：学生通过动手操作“9÷3”，直观感受“余数为0”（即没有余数）是“余数<除数”的一种边界情况。在教师引导下，通过逻辑推演理解“余数大于除数”的不合理性。这一过程将初步的观察发现，上升为经过验证的、确信不疑的数学规律。

即时评价标准：1.验证的主动性：能否积极通过操作或思考来检验猜想的合理性。2.推理的逻辑性：能否用“如果……就……”的句式解释为什么余数不能比除数大或等于除数。3.结论的确信度：对“余数<除数”这一规律是否形成了深刻而稳定的理解。

形成知识、思维、方法清单：

▲规律的应用价值：1.检验计算：写完一个有余数的除法算式后，立刻检查余数是否比除数小，是快速验算的好方法。2.确定余数的可能值：给定一个除数，我们可以直接知道余数可能是哪些数。例如，除数是5，余数就只可能是1、2、3、4。（教学提示：此点可作为思维拓展，引导学生初步体会“余数的确定性”。）

  ###任务五：巩固建模，初步应用规律

教师活动：现在，我将出示一组即时练习题：“下面这些算式，你看哪个可能有问题？为什么？”①13÷5=2……3②17÷3=4……5③20÷6=3……2。引导学生运用新学的规律进行判断。重点分析第②个算式，“4……5，余数5比除数3大，这肯定不对。那正确的答案应该是多少呢？我们动笔算一算，或者用小棒分一分。”在此，初步渗透试商的思想。然后，回归生活情境：“有11个网球，每5个装一筒，可以装满几筒？还剩几个？请你列出算式，并检查余数是否合理。”

学生活动：学生运用“余数<除数”的规律快速判断算式的合理性。指出第②个算式错误，并通过思考或操作得出17÷3=5……2。独立完成网球装筒问题，列出算式11÷5=2（筒）……1（个），并自觉检查余数1<5。

即时评价标准：1.规律应用意识：能否主动运用“余数<除数”的规律去审视算式。2.问题解决能力：能否将简单的实际问题转化为有余数的除法模型并正确求解。3.自我监控习惯：完成计算后，是否有意识检查余数与除数的关系。

形成知识、思维、方法清单：

●综合建模流程：解决有余数除法的实际问题，可以遵循“一读（懂题意）、二分（析数量关系：求什么？）、三列（算式）、四算（出结果）、五查（验余数）、六答（写答语）”的步骤。（教学提示：初步建立解题模型，培养良好的解题习惯。）

▲思维提升点：从判断“17÷3=4……5”错误到找到正确答案“17÷3=5……2”，是学生思维从批判性走向建构性的关键一步，蕴含了调整商值的初步思想。

第三、当堂巩固训练

  本环节设计分层、变式的练习体系，并提供及时反馈。

1.基础层（面向全体）：

1.2.圈一圈，填一填。（图：14个苹果，每4个圈一圈）14个苹果，每（）个一份，可以分成（）份，还剩（）个。算式：□÷□=□（份）……□（个）

2.3.数学小医生。判断下列算式是否正确，并说说理由。

18÷4=3……6（）理由：。

27÷5=5……2（）理由：。

3.4.反馈机制：采用同桌互查、教师抽评结合。重点反馈第1题中“份数”与“余数”的确定，以及第2题中运用“余数<除数”规律进行说理的语言表达。

5.综合层（面向大多数）：

1.6.解决问题。有23块巧克力，每个小朋友分4块，最多可以分给几个小朋友？还剩几块？

2.7.想一想，填一填。□÷7=4……△，△可能是（）。当△最大时，□是（）。

3.8.反馈机制：第1题请学生上台讲解，关注其如何理解“最多”与除法中“商”的关系。第2题作为思维提升点，由教师引导分析：根据“余数<除数”，△可能是1-6；求被除数，应用“被除数=商×除数+余数”的关系（为后续学习铺垫），当△最大为6时，□=4×7+6=34。展示学生的推理过程。

9.挑战层（面向学有余力）：

1.10.探究题。一堆糖，总数在10块到20块之间。如果平均分给3个小朋友，最后会剩下2块；如果平均分给5个小朋友，最后也会剩下2块。猜一猜，这堆糖可能有多少块？

2.11.反馈机制：此题作为弹性内容，不要求全员掌握。鼓励学生通过列举（3的倍数加2，且在10-20之间：11，14，17；5的倍数加2，且在10-20之间：12，17）或画图等方法寻找公共解“17”。可在课后进行小组讨论或个别指导。

第四、课堂小结

  引导学生进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：“孩子们，这节课的探索之旅即将到站。我们一起回顾一下，你收获了哪些‘数学宝藏’？”鼓励学生自由发言。教师同步用思维导图或结构化板书进行梳理（核心：余数的含义、有余数除法的读写、余数<除数的规律）。

2.方法提炼：“我们是怎样得到这些发现的呢？”引导学生回顾“分一分—写一写—比一比—验一验”的学习路径，强调动手操作和观察比较是探索数学规律的重要方法。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做（基础性作业）：完成课本第XX页“做一做”的1、2、3题。用今天学到的验算方法检查自己的答案。

2.5.选做（拓展性作业）：（1）找一找生活中遇到的“有余数”的情况，说给家长听，并尝试列出一个算式。（2）挑战思考：△÷6=☆……□，你知道□可能是几吗？如果告诉你☆是3，□是最大的那个数，那么△是多少呢？

3.6.预告与联系：“今天我们认识了有余数的除法这位新朋友。下节课，我们将用它来解决更多有趣的、有点挑战性的实际问题。期待你们更精彩的表现！”

六、作业设计

1.基础性作业（全体必做）：

1.2.完成练习册本节配套的基础计算题，共5道。如：19÷4=，32÷5=等。要求书写规范，并用“余数<除数”的规律自我验算。

2.3.看图列式：提供两幅平均分物品有剩余的情景图，要求学生列出相应的有余数除法算式并写出单位。

4.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.5.情境小应用：妈妈买了22个橘子，我们家每天计划吃3个。这些橘子够吃几天？还剩几个？请列式计算并回答。

2.6.规律再探索：写出除数是8的所有可能的有余数除法算式（被除数在20以内），例如：9÷8=1……1。看看你能写出几个？观察这些算式的余数，你有什么发现？（巩固“余数可能是1至7”的规律）

7.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

1.8.小小设计师：用“有余数的除法”设计一个简单的“密码”游戏。例如：规定一个数字作为除数，让同伴猜一个被除数，你只告诉他商和余数，让他来猜被除数可能是多少（答案不唯一）。试试看，并和同伴玩一玩。

2.9.数学小阅读/调查：查找或询问家长，生活中哪些地方会经常用到“余数”的知识？（如：日历中的星期、循环排列的装饰、物品的包装等），并简单记录一例。

七、本节知识清单、考点及拓展

1.★余数的定义：在平均分一些物品时，有时会有剩余，且剩余的数量不够再分一份，这个剩余的数叫做“余数”。它是除法运算中的一种结果。

2.★有余数除法的算式：写法为：被除数÷除数=商……余数。读作：几除以几等于几余几。

3.★“余数<除数”的规律：这是有余数除法中最核心、最重要的规律。余数必须比除数小。理解其道理：若余数≥除数，说明还能继续分。

4.★算式的意义：有余数的除法算式完整地表示了“把总数平均分，每份是多少，分了几份，还剩多少”的全过程。

5.●易错点：余数的单位。余数的单位通常与被除数的单位相同，而商的单位由问题决定。需结合具体情境判断。

6.●易错点：余号的书写。是6个小圆点“……”，写在商的右下方，不要写成“…”或“、”。

7.●易错点：余数的取值范围。给定除数a，余数可能是1,2,3,…,(a-1)。最大余数是除数减1，最小余数是1（当整除时，余数为0，即没有余数）。

8.▲考点：判断算式正误。最常见的考题就是给出一个有余数的除法算式，让学生利用“余数<除数”的规律判断对错。

9.▲考点：根据除数确定余数。如：□÷6=5……△，△最大是（），这时□是（）。这综合考查了“最大余数”和“被除数=商×除数+余数”的关系。

10.▲考点：解决简单实际问题。将生活中的“平均分有剩余”问题转化为有余数除法模型求解。常问“最多”、“可以装满”等。

11.▲应用拓展：周期问题基础。有余数除法是解决周期问题的关键工具。例如：按照“红黄蓝”的顺序挂彩旗，第17面是什么颜色？就是求17÷3的余数。

12.▲思想方法：数学建模。本节课体现了从具体情境（分物）中抽象出数学问题（有余数除法），并总结出一般规律（余数<除数）的建模过程。

13.▲思想方法：归纳推理。通过观察多个具体算式（6÷4=1…2,7÷3=2…1等），归纳出“余数比除数小”的一般性结论，是归纳推理的初步运用。

14.▲后续联系：试商的基础。在未来的笔算除法中，“余数<除数”是检验试商是否正确的根本标准。本节课的理解是后续学习的基石。

八、教学反思

  （一）目标达成度分析：假设的课堂教学后，通过对学生课堂练习的即时批阅、观察其操作与讨论的投入度，可以评估本课目标基本达成。大多数学生能正确书写有余数除法算式，并能运用“余数<除数”的规律判断简单算式的正误。在“网球装筒”等问题解决中，超过80%的学生能正确建模并解答。核心素养方面，学生在操作活动中表现出良好的直观感知能力，在探究规律环节，部分学生能主动进行归纳和初步说理，推理意识得到萌发。情感目标上，学生普遍对动手操作和“发现秘密”表现出浓厚兴趣。

  （二）环节有效性评估：导入环节的“分糖果”情境快速制造认知冲突，成功激发了探究欲望。新授环节的五个任务构成了一个逻辑严密、阶梯递进的认知链。“任务一”的充分操作是建构概念的坚实基础；“任务二”的符号化过程顺畅；“任务三”和“任务四”是本课高潮，将学生的思维从具体感知推向规律抽象和逻辑验证，设计的正反例证有效地突破了难点；“任务五”初步应用，实现了知识向能力的转化。巩固环节的分层设计照顾了差异性，挑战题虽只有少数学生能独立完成，但起到了激发思维的作用。

  （三）学生表现深度剖析：在巡视和互动中发现，A类（基础较好）学生能快速完成操作并率先发现规律，他们更关注“为什么余数不能等于除数”的逻辑解释。对这类学生，在验证环节后，可以进一步追问：“如果除数是5，余数可能是哪些数？最大是几？你