高考数学复习考点讲练：平面向量综合问题（讲）【解析版】

第一篇热点、难点突破篇

专题11平面向量综合问题（讲）

真题体验感悟高考

I.（2020•全国•统考高考真题）已知向量a,力满足|:|=5,山=6,£.力=一6，则cos<>=）

3119—1719

A.--B.--C.—D.—

35353535

【答案】D

【分析】计算出；而+力）、卜+力|的值，利用平面向量数量积可计算出cosJ，+%>的值.

【详解】Q[4=5,|“=6.。.力=一6，.'o（4+b）=M+a-Z）=52-6=19.

1+q=J（U,=6+2。心+广=）25-2x6+36=7，

（

rrraa+b]1919

因止匕：COS<4,a+》>=iT.iF—F-

44+65x735'

故选：D.

2.【多选题】（2022•全国•统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线。：/=2冲（〃>0）焦点打的直线与。

交于儿8两点，其中力在第一象限，点"（P，0）,若|力/|=|4"|,则（）

A.直线的斜率为2nB.\OB\=\OF\

C.\AB\>^\OF\D.NO4W+N。8M<180°

【答案】ACD

【分析】由网=M及抛物线方程求得力耳,季），再由斜率公式即可判断A选项：表示出直线AB的力.程.

联立抛物线求得5（半-率），即可求出|。3|判断B选项；由抛物线的定义求出»川二等即可判断C选项；

内片•法<0，跋烧<0求得N40B,乙4A74为钝角即可判断D选项.

p

【详解】对于A,易得产（§,0）,由»可二|力必|可得点A在尸M的垂直平分线上，则A点横坐标为>+'=3〃,

瓜P

代入抛物线可得产=2p-¥=]p2,则力（2,圆）,则直线初的斜率为小一=2#,A正确；

4242

42

对于B,由斜率为2、而可得直线的方程为》=泰丁+与，联立抛物线方程得/-京外一/二。，

设8(再，必)，则逅夕+必=如〃，则乂=一也=2p.±,解得％=多贝I%，一个),

代入抛物线得

263

对于C,由抛物线定义知：|明二手+0+〃=等>2〃=4|0q，C正确:

对于D,发.掳=(学鸟)号一冬《台当卜率卜小0,则408为钝角,

又据.珑=(一•?.(年一季)=4,个卜季卜?|二岑<0,则加8为钝角,

又N/08+N4M8+N04W+N08M=360°，则/O/M+NO8M<180°，D正确.

3.(2022•天津•统考高考真题)在Vd8C中，UCLAAl，r,UCKBJ=Ib,。是4C中点，uCuBu=2LBMUE，试用r;力I表示・O1>■f为

，若茄_L虎，则N/C4的最大值为

■田士、3，1r71

【答案】-b--a—

226

【分析】法一：根据向显的减法以及向晟的数乘即可表示出虎，以｛：1｝为基底，表示出期金，由4

可得3户+；=》•〉再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二:以点E为原点建立平面直角坐标系,设E(0,0),5(l,0),C(3,0),N(x,y),由ZBIDE可得点A的轨迹为以

，必(T0)为圆心，以厂=2为半径的圆，方程为(X+1)2+/=4,即可根据几何性质可知，当且仅当CN与eM相

切时，/C最大，即求出.

【详解】方法一：

A

D

micunaiff3rirULAJULU||MLMJULUIIII

DE=CE-CD=—h——aAB=CB-CA=b-a,ABl.DE^>(3b-a)\b-a)=0,

22

,当且仅当|』|二码力|时取等号，而

0<ZACB<n,所以N4C8e（0,M].

6

3「1「7r

故答案为：-b--a；

226

方法二：如图所示，建立坐标系：

Ulfx+3vULffi

E(0,0),8(1,0),C(3,O),A(x,y)fDE==(\-x-y),

HUUJD丫4q”2

DElABnG一)(X-1)+^-=0=>(X+1)2+/=4,所以点A的轨迹是以财(TO)为圆心，以r=2为半径的圆,

22

当且仅当C4与e」W相切时，/C最大，toNsinC=-^-=^=iZC=^.

CM426

「「：

故答案为：23317J-.

226

总结规律预测考向

（一）规律与预测

1.平面向量是高考的热点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的

位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.

2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度.

（二）本专题考向展示

考点突破典例分析

考向一平面向量的线性运算

1.单位向量：长度等于1个单位的向量.

2.平行四边形法则

3.三角形法则

4.向量的数乘运算及其几何意义

（1）定义：实数2与向量〃的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作它的长度与方向规定如下:

①网|=囚间;

②当2>0时，痴的方向与。的方向相同；当；时，〃的方向与〃的方向相反；当2=0时，助=0.

（2）运算律：设九〃是两个实数，则：

①：②(计〃)0==叶〃a：©2(a+6)=2a4-Ab

【典例分析】

典例1.（2022•全国•统考高考真题）在3i8C中，点。在边48上：BD=2DA.记CUU4U=jr,CIXZU）IJr,则CDJ8U=

（）

A.3w-2nB.-2m+3/iC.3,H+2nD.2ni+3/7

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边力4上，BD=2DA,所以朋=2防，即注一号二2（廿一罚），

UUUULAJiUJUIUII

所以C8=3CD-2CA=3〃-2m=-2加+3〃.

故选：B.

典例2.（2022春•安徽•高三校联考阶段练习）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E为

线段。。的中点，下为线段■上靠近〃的一个四等分点，设%工，AC=b，则苏•一（）

r1rr

〃

13〃

c一a+-

监4

【分析】取46的中点。，连接。。,力£，根据平面向量的线性运算计算即可.

【详解】如图，取48的中点0,连接CO,4七，

因为。，。是以nB为直径的半圆圆周上的两个三等分点,

所以=ABHCD,所以CO//BD,所以四边形C08。是平行四边形，所以CD=OB=；4B,

又卜为BE上靠近B的一个四等分点,

1im

-AB

4

iuuiiiuiLIB]ULUiULUiuun13rir

=-AC+-CD+-AB=-AC+—AB+-AB=—a+-b.

4844164164

故选：C.

典例3.(2022春・安徽・高三石室中学校联考阶段练习)在三角形中，已知。，七分别为C4C归上的点,

UU1UULLH1UL1D山MJ

J@LAD=-AC,BE=-BC,AE与BD交于O点,若CO=mCA+nCB，则"〃？的值为.

JJ

【答案】I

ULU/UUUULMJ

【分析】因。，o，4三点共线，则CO=xC'%+(1-x)CO.

ULMUUULMJULUIIHfUJQ1din

乂4O,£三点共线，则c。=J，C4+0-»。七.结合力。=：/C,8£=鼻灰?可得答案.

JJ

<X4J(4W(4WCX4/141V:

【详解】因。，O,8三点共线，则oo=xDB=>CO-CD=xCB-xCD

ULMUUUULMmiiUULUUAULT

=>CO=xCB+(1—x)CD.又AD——AC,则CD——CA,

55

maULOAur

得CO=xCB+—(1-x)c<

5

CX4{/CX/LJLJtU<X4/CXJULMJ

乂因4O,E三点共线，则EO=yEAnCO—CE=yCA-yCE

UMuuULU1IUDUU7LLU

=>CO=yCA+(1-y)CE.又BE=-BC,则CE=-CB,

33

LUJULT7LW

得CO=yCA+-(1-y)CB.

3

x=1(l-y)x=-IUI4LUJ2LLU4

故::，得CO=-C4+—C8.则小〃=2x

4人\4777

y=”-x)/

【规律方法】

1.平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共

起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果.

2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项

的运算，在计算时可以进行类比.

3.利月平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每••个点的位置.

⑵利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.

(3)比较、观察可知所求.

考向二平面向量数量积

aaMM■■a■MM■■MM■•■■MM.■■■MM■■■■MM■aa•MMaaMM■a■a■■■■■■■■MM■■OMB.■MB■■■■■a.«■»■■MM■■a.MM.■

【核心知识】

一、平面向量的数量积

1.已知两个非零向量”与6，则数量同网・COS0叫做〃与〃的数量积，记作〃•/),即4力=同网cos优其中。是〃

与方的夹角.

规定0«=0.

当“_1。时,6=90。,这时a力=0.

2.0协的几何意义:

数量祖ab等于〃的长度间与。在〃的方向上的投影|A|cos8的乘积.

二、数量积的运算律

1.交换律：a•b=b・a.

2.分配律：（a+6）•c=a,c.

3.很IwR,4（a・6）=（Xa）・6=a•（46）.

三、向量数量积的性质

1.如果e是单位向量，则a・e=e・a

2.a_L8=a•6=0.

3.a・a=|a|2,|a|=Ja・a.

4.cos0=----.（。为a与6的夹角）

|a||b|

5.|a•引W|a||引.

四、坐标运算

1.若〃=（x,y）,则|〃|=G^=Jl+y2.

2.若4（X1，m），8（X2，V2），则48=J（%2—玉）2+（为一必）2-

3.若4=（占，y），b=g达），夕为“与力的夹角，

abx\X2-}-y\y2

n.ic=

贝I」cos^=nr;/?!?7?!y

M\b\比

【典例分析】

典例4.（2022•全国•统考高考真题）已知向量］力满足|；|=1,山=道,|；-2力|=3,则。.屋（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：・・・|。-2/『=|。|2一41；+4向2,

又•・•由=1/力|=—2力1=3,

，9二1-4』6+4x3=13-45/?，

；・匕.b=1

故选：C.

典例5.(2022春•江苏苏州•高三统考阶段练习)在V48c中，AB=2,AC=3,/比1C=60。,N为线段8。的中

-lipUJ.

点，M为线段4c上靠近点A的三等分点，两条直线/N与8M相交于点P,则4P.8。=()

【答案】A

uun2im”nunjuuuUXMJ।3inn1mn।LUI

【分析】由题知加^弓加+才/加，AP=(\-^)AB+^AM,注而得义=不,〃=；,故/尸=丁48+[",再

计算数量积即可得答案.

minlur；inn?mi/mn?/nun

【详解】解：由题知，AP=AAN=-^AB+-AC=^AB+—AM,

”.即ll・Jll・lILL・111即.1111111」即,1」即I」[即

AP=AB+BP=AB+JLIBM=AB+^(AM-=^)AB+JLIAM

LUU1iun3Him1IUDILUI

・•・AP=-AB+-AM=-AB+-AC

4444

iimiuniuaniuur\tuu皿i/Lui>iun,\s

・•.APBC=\-AB+-AC\\AC-AB]=-^AC-AB~y-1

故选：A.

典例6.(2021・全国•统考高考真题)己知。为坐标原点，点［(cosa,sina),4(cos/7,-sin〃),

A(cos(a+0,sin(a+/?)),/(1,0),则()

A.R=|w|B.R=R

UJULMULOJULMUJUUASLXJUULM

c.OAOP,=OP}OP2D.OA•OP、=OP1-OP3

【答案】AC

ULUULXJUL*JULU

【分析】A、B写出。E，OR、",力？的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标,

应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

UXIUX4ULUJ-----------------

【详解】A：OPX=(cosa,sina),=(cos/7,-sin/?),所以|O||=Jcos，a+sin?a=1,

CULT［ixu-

IOP21=^/(cosft)'+(-sin=1»故|。川二|。吕］,正确；

11“£

B：APX-(cosa-l,sina),AP2=(cos/?-1,-sinp),所以

LUI-----------------；--------.---；------------------------------

222

|AP｝卜J(cosa-1)，+sina=Vcosa-2cosa+1+sina=^2(1-cosa)==2|sin-y|,同理

LLLT1---------------：--Q1AMLUJ

22

\AP2\=7(cos/7-l)+sin^=21sin1,故|力川,|相|不•定相等，错误;

|.1<1I」"

C：由题意得：OA-OPy=1xcos(a+/?)+0xsin(a+p)=cos(a+fl)

ULAJULX1

OPX-0P2=cosa•cos<+sina•(-sin§)=cos(a+1)，正确;

CUMULAJULX1UULI

D：由题意得：OA-OP}=1xcos+0xsinc?=cosa,OP2OPy=cos/yxcos(£Z+/7)+(-sin/7)xsin(<r+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说。4。々h。巴.。鸟故错误；

故选：AC

【规律方法】

1.计算向量数量积的三种常用方法

(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a-6=|a||引cos"(，是a与b的夹

角).

⑵基向量法(利用数最积的几何意义)：计算由基底表示的向晟的数最积时，应用相应运算律，最终转化为基

向量的数量积，进而求解.

⑶坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.

2.特别提醒：两个向量的夹角的范围是[0,n],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是

0或五的情况，如已知两个向后的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.

考向三向量共线定理的应用

【核心知识】

1.平面向量共线定理的三个应用

证明向对于非零向量a,6,若存在实数入，使a=Xb.

量共线则a与b共线

i正明三若存在实数入，使同方=入区。，入后与有公

点共线共点A,则A,B,C三点共线

求参数利用向量共线定理及向量相等的条件列方

的值程(组)求参数的值

2.结论:

⑴若况=2肪+"衣（2,〃为常数），则4B,。三点共线的充要条件是2+4=1.

ULM4UL4U

（2）直线的向量式参数方程：A,化4三点共线=OP=（\-t）OA+tOB（0为平面内任一点.reR）.

【典例分析】

典例7.（2022春・河南•高三信阳高中校联考期末）如图，在平行四边形/8CQ中，器=2送，筋=那，点G

2LUD1LUI1cun2"1LUO4"3"21nl

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+—ACD.-AB+-AC

5555515105

【答案】A

LUU1LUIIUD1LUU

【分析】根据题意可得=AE=gAB,由尸，G,8三点共线知，存在〃?eR,满足

LUIIUUIU1।LUIUJD

dG=m力P+(1-〃。48=§〃〃C+(1—〃?)力8.由C,G,E三点共线知，存在〃eR,满足

UHuinmi1iunmiimiiunimnmi

=+—〃)力。=一〃/4+(1—〃)4C.得一加力。+(1—/??)力8=—〃48+(1—〃)力。即可解决.

232

【详解】由法=2求，茄=茄，知£，尸分别为48,力。的中点.

LUD1ILU

所以4P=§4C.

因为点E是48的中点,

iun1ujn

所以力£二,44.

2

由P,G,8三点共线知，

lUfULinLUD1LUIUUD

存在勿€R,满足AG=.

由C,G,七三点共线知，

IlirmnUHI1UJDlUf

存在“wR,满足/G=〃/E+(l—〃)4C=5〃48+

iULUULKiLLUUJJT

所以力C+（l—〃?）力8=-nAB+（\-n）AC.

又因为泥，筋为不共线的非零向量，

,13

m=­nm=­

2

所以12，解得•5

4

-tn=\-nn=—

[35

LUI2"1LUf

所以=+

故选：A.

UKJULJUUJJIUUUULW

典例8.（2022春•北京西城•高三北京师大附中校考阶段练习）如图，已知向量0ao8,0C满足：|0川=|。团=1,

/UUUUJJ\；UL1DULlf\rrUXJJIULAJUL4UFit

(040。)=a且tana=7,(O8,OC)=不•若0C=mOA+〃08(〃?,〃wR),则^二

/ILUcuu,iLUIILU3LUIiun3

【分析】设(0408)=/,计算cos夕=4，0CQ=〃L(,0C0B=-jm+n,根据向量的运算法则得到

答案.

（步，茄）=,，夕=o+：，

【详解】设

tana=7,ct€(0,-1,故sin7725/2

a=----，cosa-——，

1010

c兀、V2z.333LUU

cosp=cosl«+—l=—(cos«-sina)=--,0C=m0A+n0B，

lUfLLU/LU]ILWULD3

OCOA=(mOA+nOByOA=m——n

5

mima,imma、iiu3

OCOB=1mOA+nOByOB=--m-n=

5

3，整理得此・

故一：/〃+〃=5|m-—nH

5

故答案为：y

典例9.（2022•上海浦东新•统考一模）如图，在58。中，点。、E是线段4C上两个动点，且

AD-¥AE=xAB+yAC,,则一+一的最小值为

xy

【答案】8

【分析】以向量防，泥为基底，表示向量罚，求,结合平面向量基本定理可得x+V=2,再利用基本不等式求

19

一十一的最小值.

y

KX4MCAUJIULUIULUIV4LAJLXJU1txAllVX1U3Ap

【详解】设=EC=〃8C,则0W2W1,O4〃W1,AD=AB+BD=AB+入BC，

.I............UULUULUULUILUflLUULUIzLUILUU.

AE=AC+CE=AC-^BC,所以4Q+4E=48+力。+(/1-〃"。=48++力8),

<XU(XOL.WijipMLAJI

所以/1Q+4E=(1—/1+〃)4B+(1

所以x=l-+=1+4一〃，所以x+y=2,

因为。W/IW1,0<//<1,所以Tj«0,-1<2-//<1,所以041+4-442,

ULUILUULMJIUJJILXUIULUICUN

即04”2,同理可得0<x<2,若，=0则，=因为。8=T8C，EC=pBC,所以OB+£C=4C，

所以法=品+注=旎，即靛+?S=3，此时用D芯三点重合，与已知矛盾，所以0v”2,同理

0<x<2

-191\19}1

所以-+-(x+y)=-8,

I》y)

当且仅当2y=—9x,npx=1ly3时取等号；

.ry22

19

所以一+一的最小值为8.

xy

故答案为:8.

【规律方法】

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“aWO”，否则入可能不存在，也可能有无数个.

(2)证明三点共线问题，可川向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有

公共点时，才能得出三点共线：另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.

(3)使用条件”两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置.

考向四平面向量的最值、范围问题

【核心知识】

1.正弦函数、余弦函数的值域

2.均值不等式

【典例分析】

典例10.(2022春・山东•高三校联考阶段练习)若点G是S8C所在平面上一点，且呢+潴+%=6,〃是直线

-AJCU1UULXI

8G上一点，AH=xAB+yAC,则/+4./的最小值是().

A.2B.1

C-D

L,2u-4

【答案】C

【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得8、H、力三点共线，利用三点共线得x+2y=l,再由不等式求

最值即可.

【详解】设G(x,y),A(xl9yl)fB(x2ty2\C(x3,y3),

333IX.+X^+X,乂+必+必

因为4G+BG+CG=0，所以x=-^―；L

JJ

所以点G1是的重心，

■A”

设点。是4C的中点，则4C=24O,B、G、。共线，如图，

又AH=xAB+2yAD.

因为8、H、。三点共线，所以x+2歹=1,

所以/+4/=F+(2/N(X+29).二J,当且仅当x=2y,即\=工，y=。时取等号，即，/的最小值是

J\〃2224

1_

2'

故选：C.

典例11.(2022・北京•统考高考真题)在V48C中，JC=3,^C=4,/C=90°.。为V48C所在平面内的动点，且

PC-1,则茂•荡的取值范围是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P(cosO,sin〃)，表示出荡，防，根据数最积的坐标表示、辅助角公

式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则。(。⑼，力(3,0),5(0,4),

因为PC=1,所以P在以。为圆心，1为半径的圆上运动,

设尸(cos。,sin。)，8w[0,2/r],

LI-1

所以以=(3-cos。,一sin。)，尸8=(-cos4一sinJ),

UUULAXI

所以P4P8=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin0)

=cos2<9-3cos6>-4sin6>+sin20

=l-3cos6-4sin。

=1-5sin(e+Q),其中sin8=q,cos"4

5

<XAJ(XU

因为—l〈sin(e+e)Kl,所以-4$l-5sin(6+e)46,即P4P8e[-4,6]；

故选：D

典例12.（2022春•山东•高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知矩形力BCQ的边力3=4,6c=16,。为BC

LUAUUILU.

的中点，Q为矩形"CO所在平面内的动点，且尸4=1,则尸。•（Z》/+尸犯的取值范围为

【答案】[-2,38]

【分析】由题意可知，〃是以点力为圆心，1为半径的圆上一点，以力为原点建立坐标系，设Pgs/sin，），即

LUAULUUXI\4ULULUIUUU.

可求出？a（Z4+P8）=45sin（e—e）+18,tane=『根据三角函数的值域，即可求z出?8）的取值范围.

【详解】解：由题意可知，。是以点4为圆心，1为半径的圆上一点，如图建立坐标系,

则月(0,0),8(0,-4),。(8,-4),

设尸（cos仇sin。）,

ULAJULAJ

则PA=(一cosa一sin。),PB=(-cos0,-4-sin0)，

荡+荡=(-2cos/一4-2sin夕)，泓=(8-cos8,-4-sin夕)，

.•・法•(药+荡)=-2cose・(8-cose)+(-4-2sin8)・(-4-sin。)

=-16cos^+2cos~9+16+4sin，+8sin9+2sin'0

=2+16+12sin9-16cos。

=4(3sin19-4cos6>)+18

八4

=45sin(8-0)+18,tan°,

由于P为矩形48co所在平面内的动点，.•.。40,2可，则e-ec[0,2可,

txuiUUJuuu

当sin(e—e)=-1时，PQ.(PA+PB)有最小值/«=4x5x(-1)+18=-2,

■JAML-i

当sin(e-0)=l时，尸/(尸力+P〃)有最大值M=4x5x1+18=38,

.・.胡・(为+法)的取值范围为[-2,38].

故答案为：[-2,38].

典例13.(2021•天津・统考高考真题)在边K为1的等边三角形/L5C中，。为线段6c上的动点，DEJ.AB旦交

11即1111111■1」」11」111

于点E.。尸〃力B且交/C于点尸，则I28E+Q用的值为；(QE+QQD4的最小值为.

【答案】1益

UJDCUTILIbIUDLUILUJ、uxi3LUU

【分析】设BE=x,由(28E+DF)2=4BE+48£・。“+。尸可求出；将9)物化为关于]的关系式即可

求出最值.

【详解】设=xw(0,g),QV/18c为边长为1的等边三角形，DE1AB,

ZBDE=30°,BD=2x,DE=6,DC=l-2x,

Q。尸〃48,尸。为边长为l-2x的等边三角形，DE1DF,

IUDCUTUJD、UJDULUUJLT，

/.(2BE+DF)2=4BE~+4BE♦DF+DF~=4x2+4x(1-2x)xcos0°+(l-2x)2=1，

UAJUULAJ

:]2BE+DF|=1,

ULUULUIUDULULUILUIULULUI,HITULD

Q(DE+DF)・DA=(DE+DF)•(DE+EA)=DE-+DF•EA

3)

=(GY+(1-2x)x(1-x)=5x2-3x+1=511

x------H-------9

ioj20

所以当x4时，（浣+济）总的最小值为日.

故答案为：1；—.

H

典例14.（2022・浙江•统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形44L4的边44上，则

ILU）IUJULD，

PAx-PA；?+4；的取值范围是

【答案】[12+2&J6]

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，44所在直线为X轴，44所在直线为y轴建立平面

直角坐标系，即可求山各顶点的坐标，设尸（x,y）,再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到

UU，ILU>LLU，/、

PA；-PA1+L+PJ；=8（X2+/）+8,然后利用cos22.5”|O尸KI即可解出.

【详解】以圆心为原点，44所在直线为X轴，44所在直线为了轴建立平面直角坐标系，如图所示:

，4（0,-1），4一孝，一孝，4（-1，。）、4一年，*

设尸（工,），）,于

\//

1X0、ILD，IU12/\

是产乂；+尸力；+1_+PAl=8（x2+r）+8,

因为cos22.5YOP|G,所以"8加=2+/41,故尚+坡+|_+炭的取值范围是[12+2&/6].

故答案为：[12+2夜,16].

【总结提升】

1.平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，

从不同角度对数量积进行转化.

2.数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比

如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立FI标函数的解析式，转化为求函数（二次函数、三

角函数）等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思珞是数形结合,

应用图形的几何性质.

3.求向量模的最值（范|制）的方法

①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解.

②几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

考向五平面向量与三角交汇问题

【核心知识】

1,正弦定理、余弦定理

2,三角恒等变换

3.三角函数图象和性质

【典例分析】

典例15.（2022春•广东•高三校联考阶段练习）已知向量。=（-l,3）»=（cosasin0）,若。_L力，则cos2e+sin28=

()

1八2-3-7

A.-B.-C.-D.一

3555

【答案】D

【分析】根据向量垂直得出cos9=3sin。,根据sin加+8/夕=1,以及正弦、余弦倍角公式即可求解.

【详解】因为。J_力，

所以-cos6+3sin6=0,

所以cos6=3sine,

结合sin?。+cos?0=\>

得sin6=,，

10

cos2^=—,

10

cos28+sin2e=1-2sin2^+2sin^cos^,

又cos8=3sin8,

所以sin夕vos夕=3sin?6=正,

所以原式cos2〃+sin29=l-2x±+2x±=养=(.

故选:D.

典例16.（2020•江苏・统考高考真题）在△力8c中，JB=4,JC=3,N8/C=90。,。在边上，延长力0到P,使

anILIJiini

得4P=9,^PA=mPB+(--m)PC(〃为常数)，则CO的长度是

【分析】根据题设条件可设由=2筋（又＞0），结合阳="阳+6-〃”器与丛。，。三点共线，可求得4,再根据勾

股定理求出8C,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】•・・4DP三点共线，

，可殳尸力=幺尸。（无＞0）,

ILDULD3

•/PA=mPB+—m

2

LUIIW(X\iui[2_wI

/.APD=mP5+--mPC,即甥”甥32隈,

V7~AA

若〃?w0且机工g,则C三点共线，

VJP=9,・・・/O=3,

•・•J^=4,JC=3,Z^C=90°,

:.8C=5,

设CO=x,Z.CDA=0,则8O=5-x,ZBDA=L6.

・山山FlnAD-+CD,-AC2x/AD2+BD'-AB'(5-x)：-7

.•根据余弦定理可得8S，=2AD.CD一=7'c°s(—)=2mB厂=三百~,

•；cos。+COS(4-0)=0,

o,解得x=?

••6•6("5-xH)5

1Q

・・・C7)的长度为

当加=0时，用=g吃，C,。重合，此时CO的长度为0,

当〃?=g时，/"泓，氏。重合，此时4=12,不合题意，舍去.

1Q

故答案为：o或不■.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关铤是设出

W<JVLU

PA=kPD（A>Q）.

典例17.（2022春•云南昆明•高三云南师大附中校考阶段练习）在中，角儿B,C的对边分别是a,b,

七.sinBsinC,

c,若----------+-----------=1.

sinJ+sinCsin>4+sinB

（1）求角小

iuriiua?UH

（2）若点。是边8c上的一点，且=+求VMC的面积的最大值.

【答案】（呜

⑵学

4

【分析】（1）正弦定理角化边，再用余弦定理求角4

（2）利用向量数量积的运算，把等式转化为边，再利用基本不等式求解最小值.

【详解】（1）由-二=1及正弦定理知:—+-^-=1,即/+°2一/=从，

sinJ+sincsinJ+sin£?a+ca+b

由余弦定理有cosx=g==4，由力€（0,加），所以/=W，

2bc23

IUT1UL1D2"ULM'门业23、2「4,4

（2）由力C,所以（40）2=/力8+W4。，可得4=3,2+6/+3儿85%，即36=02+4/+2庆，

由36=c?+4力2+2儿24儿+2从*=6左，所以灰”6,当且仅当c=26=