2026年高考数学复习（全国）导数的概念及其意义与运算（讲义）解析版

专题3.1导数的概念及其意义与运算（举一反三复习讲义）

【全国通用】

内容导航

导数的概念及

其意义与运算

1、导数的概念及其意义与运算

导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考

命题规律常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空题

的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；导数

分析

的儿何意义也可能会作为解答题中导数大题的一问进行考查，重点考查切线

方程求解，复习时要加强这方面的训练。

考点2023年2024年2025年

高考真题

全国甲卷（文数）：第新课标I卷：第13题，全国一卷：第12题，5

导数的概

8题，5分5分分

统计念及其意

全国乙卷（文数）：第新课标II卷：第16题，北京卷：第20题，15

义与运算

20题，12分15分分

全国乙卷（理数）：第全国甲卷（文数）：第天津卷：第20题，16

21题，12分7题，5分分

全国甲卷（理数）：第

6题，5分

预测在2026年全国卷高考数学中，对导数的几何意义的考查不会有大

的变化。导数的几何意义大概率依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为

年

20265分，主要考查切线方程的求解、切线的参数问题等，切线问题聚焦“再一

点的切线方程”与“过一点的切线方程”，难度不大；也有可能会在解答题

命题预测中与函数的单调性、极值、最值以及零点等内容结合考查，此时综合性强，

试题难度较大。

平均速度、瞬时速度、平均变化率

r导数的概念-f导函数的定义

导

切线的定义

数导数的概念及

曲线“在..某点的切线方程、曲线•'过喋点的切线方程

的

导数的几何意

一与切线有关的参数问题

概义

公切线问题

念

及两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数

的和（或差）

其

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第

意导数的运算法二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数

r则

义两个函数的商的导数，等于分子的导数来分母，减

去分子乘分母的导数，再除以分母的平方

与

抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思

运

想求解

算

＜导数的运算的复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进

方法技巧行换元

.

复合函数的求导法则

一复合函数的导求复合函数导数的步骤：第一步：分层；第二步:

数分别求导；第三步：相乘；第四步：变量回代

知识梳理

知识点1导数的运算的方法技巧

1.导数的运算的方法技巧

（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

2.复合函数的求导法则

复合函数y=/(g(x))的导数和函数产/(〃),"=g(x)的导数间的关系为必'=»“'•〃」，即y对x的导数等于y对“

的导数与〃对x的导数的乘积.

3.求复合函数导数的步骤

第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；

第二步：分别求导:分别求各层函数对相应变量的导数；

第二步：相乘：把上述求导的结果相乘：

第四步：变量回代:把中间变量代回.

知识点2切线问题及其解题策略

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

(I)求出函数产y(x)在x=xo处的导数，即曲线jq/(x)在点(犯/5)))处切线的斜率；

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为^=yoWo)(x-.ro).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

(I)设出切点坐标7(丫。1Ax。))(不出现词:

(2)利用切点坐标写出切线方程：月(xo)t/'(xo)(x-xo);

(3)洛已知条件代入②中的切线方程求解.

3.与切线有关的参数问题的解题策略：

(I)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率;

②切点在切线上，故满足切线方程：

③切点在曲线上，故满足曲线方程.

(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.

4.公切线问题的解题思路

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把

两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切

可用判别式法.

举一反三

【题型1导数的定义及其应用】

【例1】(2025・甘肃白银•三模)如果质点按规律s(t)=2t2-t(距离单位：m,时间单位：s)运动，则质

点在2s末的瞬时速度为()

A.8m/sB.7m/sC.6m/sD.5m/s

【答案】B

【解题思路】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度.

2(2+At)2-(2+At)-(2x4-2)

【解答过程】lim=lim=lim(72At)=7,

At-»OAtAJO+

则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.

故选：B.

【变式皿】（2。25•江苏盐城•三模）若则典y产=（）

A.0B.2C.一2D.-4

【答案】C

【解题思路】根据更合函数导数及极限求解导数的定义即可求解.

【解答过程】因为/（%）=ln^,所以f'（x）=（£）'x£=x£=^,

所以/''⑴=岩=-2,

则］im小…⑴=/'(1)=-2.

Ar->0Ax

故选：C.

【变式1-2］（2025・天津•一模）已知A%>0,若函数y="2在不到&+A无之间的平均变化率为也，在&一A%

到%o的平均变化为心，则自与心的大小关系是.（填自>6，的V&或不确定）

【答案】k1>k2

【解题思路】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到的水2,然后作差，即可得到其大小关系.

【解答过程】因为占="*'；：仆）=（丫。，72T=2与十△》,

k-［（xo）-f（xo-Ax）_xA（xo-AX）2=2%_必

2AxAxJ0，

且及-k2=2Ax>0,则"］>k2.

故答案为：/ci>k2.

【变式1-31（2025•上海虹口一模）2024年10月30日“神舟十九号”我人匕船发射成功，标志着中国空间站

建设进入新阶段.在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知“神

舟十九号''飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为6,比较两张照片，相对于照片中的同一周

定参照物飞船上升了假设该记者连按拍照键间的反应时间为/，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估

算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为.（用含有〃、h、m、/的式子表示）

【答案】产

nt

【解题思路】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反

应时间为/,即可求出拍照时飞船的瞬时速度.

【解答过程】设第二次拍照飞船的实际上升了”,

所以?=工解得：”哈

hmh

所以拍照时飞船的瞬时速度为：粤.

IM

故答案为：吟

nt

【题型2导数的运算】

【例2】(2025•河北•模拟预测)若函数f(x)=3x与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，则/(I)=()

A.-B.1

3

C.In3D.」

In3

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，求出函数g(x)及导数，进而求出导数值.

【解答过程】由函数f(x)=3丫与函数g(x)的图象关于直线y=%对称，得g(x)=log3x,

求导得/(%)=熹,所以。'(1)='

故选：D.

【变式2-1】(2025・陕西安康・三模)已知函数/(%)及其导函数/'(4的定义域均为R,若/6)为奇函数，/(x+

1)+%为偶函数，则/'(101)=()

A.-101B.101C.0D.-1

【答案】A

【解题思路】由已知可得人(-%)=-/'(%),/(-X4-1)-x=/(%+1)+X,求导得/''(-%+1)1),

进而可得尸。)-/8-2)=-2,累加可求得尸(101).

【解答过程】因为函数f(x)及其导函数/''(幻为奇函数，所以尸(-幻=-尸(幻，

又函数+1)+》为偶函数，所以/(一%+l)-x=/(x+l)+r,

对西边求导，得一/'(一X+1)-1=+1)+1,所以—/•'(一汇+1)-/6+1)=2,

又/'(一切=一3),所以/'(一万+1)=—/'(%一1),

所以/(%—1)-/(%+1)=2,所以/(无)—/(%—2)=—2>

所以/''(101)-/'(99)=-2,/'(99)一/'(97)=-2,…，/(3)-/'(1)=-2,

所以/—2x50—100,又/''(1)一/'(-I)—2,以f以/''(1)十/'(1)-2,用f以/11)—1,

所以/''(lOl)=-101.

故选：A.

【变式2-2](2025・四川巴中•模拟预测)已知/'CO是定义在R上的偶函数，且函数/'CO+er也是偶函数，

其中7•'(%)表示函数/•(%)的导函数，则/'(%)=()

xx

ex-e-xe+e-

A•D•

22

C.ex-e~xD.ex+e~x

【答案】A

【解题思路】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解.

【解答过程】设g(x)=/(%)+e-\

对于A,g(x)=匕户+€-”=史=，函数。(%)=二二的定义域为R，关于原点对称，且。(-%)=g(x)，

ZLZ

所以g(x)是偶函数，

若/'(%)=子，则/Q)=F+C,c,是常数，外幻的定义域为R,且/(一切二八幻，所以/(幻也是偶函

数,故A正确；

对于B,若/'(')二二二则/(%)==二+c,c是常数，所以f(一%)=f(%)不成立，故B错误；

对于C,g(x)=e*-er+e1x=眇是非奇非偶函数，故C错误；

对于D,若f'(X)=e"+e—£,则/'[x)=e*-。一“+c,c是常数，所以f(-x)=/(%)不成立，故D错误.

故选：A.

【变式2・3】(2025•山东泰安・模拟预测)已知函数/■(>)是定义在R上的可导函数，且/■(%)满足/'Q—x)=f(x),

f(x+2)=-/(%),当％W[0,1)时，/(X)=2^则/'(等)=()

A.V2B.一&C.yD.-y

【答案】B

【解题思路】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求/'(等).

【解答过程】由/(%+2)=-f(x)可得/Tx+4)=-/(%+2)=/(x),

所以函数/(%)周期是4,且/&)的周期也是4.

因为/(2-0=/(%),故一八2-%)=尸(%),

故/'(X)的图象关于直线(1,0)对称.

对/a)=2y求导得fGo=9,/G)=V2.

则八等)=〃¥)=/(4x126+1)=/®.呜〜V2

故选：B.

【题型3求曲线切线的斜率(倾斜角)】

【例3】(2025•福建厦门•--模)已知直线呜曲线y=%3一%在原点处相切，则，的倾斜角为()

A.B.£C.D.

6446

【答案】C

【解题思路】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.

【解答过程】由/=3必一1,则田1=0=-1,即直线，的斜率为一1,

根据倾斜角与斜率关系及其范围知：，的倾斜角为斗.

4

故选：C.

【变式3-1】(2025高二上•全国•专题练习)已知函数/■(%)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()

A.0<尸(2)〈/•'(3)</(3)一八2)

B.0</(3)-/(2)<//(2)<//(3)

C.0<//(3)<//(2)</(3)-/(2)

D.OV/'(3)<f(3)-f(2)〈/"(2)

【答案】D

【解题思路】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解.

【解答过程】/'(2)和/''(3)分别表示函数/(幻的图象在％=2和x=3处的切线斜率.，结合图象可得0V/(3)<

人(2)，

而/(3)-/(2)=4；⑵,表示过x=2和x=3两点的直线斜率，则0V/''(3)<”3)-/(2)<八2),

3—2

故选：D.

【变式3-2](2025•上海浦东新•三模)曲线/(%)二!炉一d的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的

取值范围为.

【答案】[-1,+8)

【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解.

【解答过程】/-，(X)=X2-2X=(X-1)2-1>-1,根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为

[-1,+O0).

故答案为：[-1,+8).

【变式3-3](25-26高三上•湖南长沙•月考)函数/"(%)=(：3%+6”的图象在工=11处的切线的倾斜角

为•

【答案

【解题思路】根据导数的几何意义以及斜率和倾斜角的关系即可求解.

【解答过程】因为/''a)=-sin%+e,所以/•'5)=75,即切线的斜率为百，所以切线的倾斜角为/

故答案为：2

【题型4求曲线的切线方程】

【例4】(2025•四川成都一模)函数/(x)=x+sinx的图象在点停/0)处的切线方程为()

A.x+y—71—1=0B.x+y—1=0

C.x-y+1=0D.x-y=0

【答案】C

【解题思路】对函数求导，然后根据切点坐标求出切线的斜率和切线方程.

【解答过程】因为/(x)=x+sinx,所以/'(无)=1+cosx.

所以，e)=1+cos^=1,而/g)=]+s呜=5+1.

所以切线方程为丫一5-1=%-5.即x-y+l=0.

故选：C.

【变式4-1](2025•江西景德镇•一模)过点力(0,1)且与曲线/'(乃二炉+2%一1相切的直线方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y=x+1D.y=-2x+1

【答案】A

【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.

【解答过程】/G)=3%2+2,点A不在曲线上，

2

设切点为(羯焉+2x0-l),则八%o)=3x0+2=+2册-1-1,

xo

解得：“0=—1，得切点(-1,-4),则/：=/•'(-1)=5

切线方程为：y=5%4-1,

故选：A.

【变式4-2](2025・陕西西安•三模)已知函数/•(x)=(ax+l)ex.

(1)当a=1时，求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)若当％N0时，/(x)>1恒成立，求a的取值范围.

【答案】(l)2x—y+l=0.

(2)[0,+oo).

【解题思路】(1)结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而比求切线方程；

(2)先对函数求导，结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，然后结合恒成立与最值关系转化即可求解.

【解答过程】(1)当Q=1时，f\x)=(x+2)e^,则/•'(())=2.

又/(。)=1，所以切线方程为y=2X+1,即2%-y+1=0.

(2)f(x)=(ax+1+a)ex.

当aZ0时，/(%)>0在[0,+8)上恒成立，则/(%)在[0,+8)上单调递增，

又"0)=1,所以/恒成立，满足题意：

当a<0时，一：>0,/(-i)=0<1,不符合题意.

综上，Q的取值范围为[0,+8).

【变式4-3](2025•北京大兴•三模)已知函数/•a)=ln(l+x)+2cosx.

(I)求曲线y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)若36(-1,1),求曲线y=/(%)与曲线y=磊的交点个数.

【答案】(l)y=x+2

(2)交点个数为1

【解题思路】(1)借助导数的结合意义计算即可得；

(2)原问题可转化为函数。(幻=1M1+幻+2cosx-普在xc上的零点个数问题，借助导数研究函

数的单调性后结合零点的存在性定理即可判断.

【解答过程】(1)由/(%)=ln(l-％)+2cosx,则/(0)=ln(l+0)+2cos0=2,

/(x)=击—2sinx,则f(0)=高—2sin0=1,

所以切线方程为y-2=1•(无一0),即y=x+2；

(2)令ln(l+%)+2cosx=故ln(l+x)+2cosx-而第=0,

令g(x)=ln(l+%)+2cosx--j=,g\x)=上一2sinx+1(1+x)-2,

令力(无)=gM=-^-2sinx+1(l+x)~2,

♦(%)=-^7^7-2cosx一式1+%)-5.

当无£(-1,1)时，cosx>0,(1+x)>0,(14-x)~2>o,

.•"(x)<0,.•・，(£)在(T,l)上为减函数，即g'(x)在(-1,1)上为减函数，

3

又0(0)=1+1>0,g(1)=1-2sinl+12-z<1-2sinl+1<l-2x1=0,

・••gG)在(0,1)上有唯一的零点，设为通，即g'(%)=0(0〈劭VI),

.•.g(x)在(-l,%o)上为增函数，在(.5,1)上为减函数,

又❷(一9=也(1-：)+2cos(9一忘=141-；)+&一右<鱼一2<0,

g(0)=2—1>0,

g(l)-ln2+2cosl—\=>ln2+2cosm—^2=In2+1—?>0,

・•・g(x)在(一1,与)上有且只有一个零点，在(质,1)上无零点，

所以曲线7二/(x)与曲线y=焉的交点个数为1.

【题型5与切线有关的参数问题】

【例5】(2025・安徽•一模)若直线y=：+a与曲线y=Inx+1相切，则实数Q的值为()

A.0B.1C.-D.e

e

【答案】B

【解题思路】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标,

最后把切点坐标代入直线方程求出a.

【解答过程】曲线方程y=lnx+l求导得/=%

,••直线y=5+a与曲线y=Inx+1相切，设切点为(/，丫。)，则上=L解得x()=e,

eXQe

二代入曲线方程得yo=Ine+1=2,故切点坐标为(e,2),

・•・切点同时位于直线上，

解得

-e+a=2,a=1.

故选：B.

【变式5-1](2025•山东聊城•模拟预测)若曲线丫=%2+5在3=2处的切线与曲线、=111%+3%+£(t为常

数)相切,则”()

A.3B.0C.2D.1

【答案】C

【解题思路】根据导数的几何意义，求得切线方程为y=4尤+1,设切线与曲线y=lnx+3尤十t相切的切点

为(M/nxo+30+t),得到2+3=4,求得与的值，进而得到答案.

X。

【解答过程】由函数、=必+5,可得y'=2x,所以y'lx=2=4且训42=9,

所以曲线y=X2+5在点(2,9)处的切线方程为y=4x4-1,

又由y=lnx+3x+3可得y=§+3,

设切线与曲线y=Inx+3x+亡相切的切点为Oo/nxo+3初+t),则工+3-4,

解得曲=1,所以3+t=4+1,解得t=2.

故选：C.

【变式5-2](2025•福建厦门•三模)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=%2一2%-。相切，则

【答案】-3

【解题思路】先求出y=%+lnx的导函数y‘，将切点(1,1)的横坐标％=1代入:/求出的是切线的斜率，利用点

斜式得到y=x+Inx的切线方程，这个切线方程就是曲线y=2%-a的切线方程，求y=7-2x-a

的导函数则这个/等于切线的斜率，从中求出曲线、=%2一2%-Q的切线的切点的横坐标，将其代入切

线方程，从而得到曲线y=/-2x-。的切线的切点，将这个切点代入、=%2一2%-。得到。值.

【解答过程】由y=x+lnx,求导可得y'=l+%将切点(1,1)的横坐标％=1代入y'=1+%

得到切线的斜率k=l11=2,则切线方程为y1=2(*1),即y=2x1,

由)，=%2一2%—Q,求导可得y'=2x—2,

由曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线与曲线y=x2-2%-a相切，

则曲线y=x2-2%-a的切线为y=2x-l,

令拉一2=2,解得x=2,

将x=2代入y=2x—l,可得y=3,得到曲线y=好一2%-a上切线的切点为(2,3),

将(2,3)代入y=%?—2%—a,可得3=4—4-Q,解得a=—3.

故答案为:一3.

【变式5-3](2025•吉林长春•三模)已知函数/(%)=xlnx,g(x)=ax2-x.若经过点4(1,0)存在一条直线/

与曲线y=/(%)和y=g(x)都相切，则。=.

【答案】1

【解题思路】首先求函数/(%)过点4(1,0)处的切线方程，再让切线与函数g(x)联立，根据A=0,即可求解•.

【解答过程】/(x)=lux+1,没直线，与/(x)相切],点(xo，x()lnxo)

所以切线方程为y-xolnxo=(lnx0+l)(x-x0),切线过点(1,0),

则一xolnxo=(lnx0+1)(1一Xo)，整理为lnx0=x0-1,

设力(工)=In%-x+1,h(x)=^-1=x>0,

当Ovx<l时，h(x)>0,h(x)单调递增，当时，h(x)<0,h(x)单调递减，

所以当％=1时，h(x)取得最大值，h(l)=0,

所以方程lnx0=x0-l的根为%o=1，

所以切线方程为y=x—l,

X

联立1,?1,得。入2一2%+1=0,△=4—4a=0>得a=1.

(y=ax£-x

故答案为：L

【题型6切线的条数问题】

【例6】(2025,全国,一模)函数/'")=4%sinxcosx过原点的切线条数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为(xoJGo))，利用导数的意义得到切线方程，再对解的

情况进行讨论可得.

【解答过程】f(x)=4xsinxcosx=2xsin(2x),

fG)=2sin(2x)+4xcos(2x),

设切点为(&，/(&))，切线方程为y=fGo)。-*0)+/Go)，

将原点代入切线方程可得o=/'(%)(0-Xo)+/'(%)，

所以[2sin(2%0)+4x0cos(2x0)](-Xo)+2x0sin(2x0)=0,

化简可得一4说cos(2%o)=0,解得劭=0或cos(2x0)=0,

当欠o=0时，/(0)=0»/(0)=0»切线方程为y=0：

当cos(2x0)=0时，，解得出=：+eZ,当k为偶数时，x0=+EZ对应的切线方程为y=2x；

当A为奇数时，&=£+k6Z对应的切线方程为y=-2x；

*T4

所以共有3条不同的切线.

故选:C.

【变式6-1](2025・全国•模拟预测)若曲线y=(1-％)即有两条过点4(Q,0)的切线，贝心的取值范围是()

A.(—8,-1)u(3,+8)B.(—3,1)

C.(-co,-3)D.(-co,-3)U(1,+co)

【答案】D

【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.

【解答过程】设切点为(q,(1—与加⑼)，由已知得y'=—沅"，则切线斜率k=一比0》。，

xXo

切线方程为y—(1—x0)e°=—xoe(r—x0).

xeX

直线过点力(a,0),/.-(1-x0)e°=-xo°(«-%o)，

化简得就一3+l)/+l=0.切线有2条，

・•"=(Q+I)?—4>0,则a的取值范围是(一8,-3)U(1,+oo),

故选：D.

【变式6-2](24-25高三上•河北承德•开学考试)过点(2,0)可作曲线/(%)=%3-3%-2的切线条数为()

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨沦进行求解即可.

【解答过程】由f(x)=x3-3x-2=>f\x)=3x2-3,

当点(2,0)是切点时，此时切线的斜率为/'(2)=3x22—3=9,此时有一条切线；

当点(2,0)不是切点时，设切点为(/Jo),则切线的斜率为/'(&)=3就一3,

切线方程为:y-(XQ-3x0-2)=(3xJ-3)(x-x0),该切线过点(2,0),

于是有0—(%o—3x0—2)=(3xg—3)(2—x0)=就-3XQ+4=0=温+1-3xJ4-3=0

2

=(x0+l)(^o-x0+1)-3ao+l)(^o-1)=0=>(x0+1)(*0-2)=0=>x0=-1或％=2(舍去),

综上所述：过点(2,0)可作曲线/'(x)=x3-3x-2的切线条数为2,

故选：B.

【变式6-3]（2025•全国•模拟预测）若过点（m,n）可作函数旷=2%+[0>0）图象的两条切线，则必有（）

A.0<2m+—<nB.0<n<2m

m

C.2m<n<2m+—

mD.n<2m

【答案】c

【解题思路】设切点为（a,2a+3,a>0,求导，根据导数的几何意义可得（2m-九）。2+2a-m=0有两

个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.

【解答过程】设切点为（a,2Q+?,a>0.

又》」=2-&所以切线斜率2=2-十,

所以切线方程为y-（2a+；）=（2-^）（x-a）,

又切线过点（7九,n）,

则?I-(2a+})=(2-(771—a),a>0»

即(2zn-n)a2+2a-m=0,

由过点（m,〃）可作两条切线,

所以(2m-n)a2+2cz-m=0有两个正根,

2m一九H0

△=22-4(2zn—n)•(-771)>0

整理得2m<n<2m+—,

即m

0

2m-n

故选：C.

【题型7两条切线平行、垂直、公切线问题】

【例7】（2025•陕西汉中•一模）若直线y=tx-2（teR）是曲线y=In%与曲线y=e"-b（bWR）的公切线,

则E=（）

A.1B.2C.eD.

【答案】B

【解题思路】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列

等式，依次求解参数亡与b.

【解答过程】设直线y=tx-2与曲线y=In"勺切点为(Xi，ln%D，

由，'=x,得卜=9即*1=7

切线方程为y-吊打二t(x-/)，代入与=1、In/=-Int,得了二£工一1一吊£.

因该切线为y=£x—2,故-l—lnt=-2,解得t=e.

设直线y=ex-2与曲线y=眇-b的切点为(^^八一b),

由)'=ex,得e*2=e,即不=L

切线方程为y-(e1-b)=e(x-1),化简得y=ex-b.

因该切线为y=ex-2,故一力=一2,解得匕=2.

故选:B.

【变式7-1](2025•福建•模拟预测)已知直线丫=kx+b既是曲线y=In无的切线，也是曲线y=-In(-无)的

切线，则()

A.k=-,b=0B.k=1,b=0

e

C.k=-,b=-1D.k=1,b=-1

e

【答案】A

【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.

【解答过程】设直线与曲线y=】nx的切点为(看，厄打)且勺＞0,

与曲线y=-ln(-x)的切点为(无2,-In(-小))且不＜0，

又、'=Qnx)=py=[-ln(-x}]=-\

则直线y=kx+6与曲线y=Inx的切线方程为y-In/=；(%-/)，即y=:无+也巧一1,

直线y=kx+b与曲线y=-ln(-％)的切线方程为y+ln(一小)=--(x-x),即丫=一工x+1-ln(-x)»

x22X22

1__J_

xixz,解得[，__e故攵=工==MM-1=0,

In%1-1=1-ln(-x)IM-ex,e

{2

故选:A.

【变式7-2](2025・山东•一模)已知/(%)=e，(e为自然对数的底数)，g{x}=Inx+2,请写出/(x)与g(x)

的一条公切线方程.

【答案】丫=%+1或'=观(写出其中一个即可)

【解题思路】首先设出切点，再分别求切线方程，公切线的性质，列式求解.

【解答过程】设切线与函数f(%)=9的图象切于点P(xi，ex。，f'(%i)=e3

所以切线方程为y-ex,=eX1(x-Xj),即y=eY1x-必产+ex,

设切线与函数g(x)=Inx+2的图象切于点Q(%2，lnM+2),无2＞。，/(%2)=—»

x2

则切线方程为y-ln%2-2=^(x-x2)»即y=9+1+lnx2»

若两条切线是一条直线，则[，得勺=-In无2，

A1

I—/那1+e=14-\nx2

得(1-=1-%i，解得：=1或=0,

当勺=0时，切线方程为y=x+l,当与=1时，切线方程为y=ex,

故答案为：丫二无+1或、=0%(写出其中一个即可).

【变式7-3](2025•河北秦皇岛•模拟预测)设。,0,若曲线/(幻二aln。-1)在点(2,/(2))处的切线也是曲

线。(x)=eax~2的切线，则a=.

【答案】|

【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对g(x)求导，根据斜率值和切点的函数值求出G的值.

【解答过程】因为/'(%)=合，

所以/'(2)=a,f(2)=alnl=0.

所以曲线f(x)在点(2,/⑵)的切线方程为：y=a(x-2).

因为0(%)=ae^T,

设曲线g(x)与该切线的切点为(xo，a(&-2)).

所以g(&)=ae。％一2=。，所以。飞-2=0,即a%。=2.

ax2

又0(&)=e0~=a(x0—2)=2—2a=e°,

所以

故答案为:I-

4

【题型8与切线有关的最值问题】

【例8】（2025•河南驻马店•模拟预测）已知点P为曲线y=%+：上的动点，则点P到直线X+y=0的距离的

最小值为（）

A.3V2B.6C.苧D.9

【答案】B

【解题思路】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的

距离公式计算最小距离即可.

【解答过程】设曲线y=%+：在点P处的切线与直线x+y=0平行，

由外1_髀一1,得“土苧,则P（苧，竽）或P（一黑一竽）,

则动点P到直线“+y=O的距离的最小值为d=手于=虚=%=6.

所以点P到直线％+y=0的距离的最小值为6.

故选:B.

【变式8-1]（2025•陕西汉中•模拟预测）已知4（必,丫1）,8（%2，、2）为曲线y=e，上两个不同的点,曲线y=e”

在点48处的切线相交于点（7（%,%）,且这两条切线的斜率之积为1,则殛口-标的最小值为（）

yo4

.In242万c坨2

A-TBn-TC.eD--

【答案】B

【解题思路】根据题意设4（修,月）,8（%2，，2），表示出切线方程，由两条切线的斜率之积为1，得到小=-勺，

联立求出〜，y。，对彳9-干化简，利用基本不等式可求其最小直.

【解答过程】设4（孙、1）,8（%2，%），

y-e',，在处的切线方程，：y=（x-xj+eXx,

X2

在8（%2，及）处的切线方程，2：'=e*2（xx2）Ie,

•••这两条切线的斜率之积为1,・・・64・眇2=二-4=1=&=-xP

•・•切线相交于点CQoJo)，

・••联立解得，制二吟等xie2xi+xi

e^i-l

孙/孙+修

-1-修)+白二貂

为“隈e2xi-l

当?二高二手时取等，

故选：B.

【变式8-2](2025・山东济南•模拟预测)若曲线y=e》-a(a>0)在％=0处的切线也是曲线y=ln(x+

b)(b>0)的切线，贝6+，的最小值为.

【答案】2

【解题思路】根据导数的几何意义可得曲线y=寸-a(a>0)在x=0处的切线方程，再根据导数的几何意义

求出前者与后者的切点坐标后可得Q+6=2,利用“1”的妙用可得最小值.

【解答过程】e-Q)'=ex，(皿％+b))'=系，

因为曲线y=ex-a(a>0)在第=0处的切线的斜率为e。=1,

故曲线y=ex—a(a>0)在％=0处的切线方程为y=x—0+e°—a=x+l—a.

设该直线与曲线y=ln(x+b)(b>0)的切点坐标为(77i,ln(m+b)),

则上=1,故m=1-b,故切点坐标为(l-b,O),

ni+o

该切点在直线y=x+1-a上，故0=l-b+l-a即a+b=2,

故工+-=；(a+b)0+")=gQ+&+：)之2,

ab2\abJ2\abJ

当且仅当Q=b=l时等号成立，故：的最小值为2,

ab

故答案为：2.

【变式8-3](2025•安徽蚌埠•二模)柯西不等式(Cauchy-SchwarzLncquality)是法国数学家柯西与德国数学

家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(层+b2)(c2+d2)>

(ac+bet)2,当且仅当ad=be时等号成立.已知Q>0,b>0,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+力)相切，则，+

【答案】10

【解题思路】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然

后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值.

【解答过程】由y=ln(x+b),所以y'=二,设切点为(%o，yo),则一三=1，故=1-爪

x-ro+。

又先=&-2a,y0=ln(x0+b)»所以y()=ln(x04-b)=O,xo-2a=0,所以2。+b=1,

所以t+HJ\+W+3+jG+苗怎+^W=V+e+§(2a+b)=y+1+

当且仅当=1?=等，

5。5b5Q5b

即。=卷/=,时等号成立,所以*+J*+3的最小值为io.

故答案为：10.

高考真题练

考点一导数的运算

一、单选题

I.(2024•上海•高考真题)现定义如下:当戈£(n,n+l)时(nw/v),若/(%+1)=/6)，则称/(%)为延展函

数.已知当工€(0,1)时,。(%)=当且九(%)=炉°,且g。),九(%)均为延展函数,则以下结论()

(1)存在y=kx+b(k,beR,k,b学0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k,beR,k,b工0)与y=九(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

【答案】D

【解题思路】由延展函数的定义分段求出水乃,/!(%)解析式，作出函数图象，数形结合可得.

【解答过程】当xw(1,2)时，x-lG(0,l),则g(X-l)=exT,

又g'(x-1)=ex-1,则由延展函数定义可得g(x)=g(x-1)=ex-1；

同理可得，当xE(2,3),g(x)=e¥-2；•••；

xn

任意九EN,当(n,n+l)时，5(x)=e-.

当(1,2)时，x-le(0,l),则hQ-1)=(%—I)】。，则h(x)=10(%—1)9：

同理可得，当xu(2,3)时，/t(x)=10x9(x2)8；…；

当％€(9,10)时，/i(x)=10!(x-9)：

当XW(10,11),九(x)=10!；当％W(11,12),h(x)=0；

则任意nWN,〃N