湖南省常德市澧县2025年中考二模数学试题（含答案）

湖南省常德市澧县2025年中考二模数学试题

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分,在下列各题的四个选项中，只有一项是

符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项)

1.下面算式错误的是()

A.2+(-3)=-2+3B.2-3=2+(-3)

C.(-2)x(-3)=2x3D.2+(—3)=2X(T)

2.由5个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是()

主视正面

3.如图，把一块含45。角的直角三角板放置于两条平行线间，若乙1=25。，则乙2=()

4.如具单项式-3/匕3与单项式20纺2+”是同类项，那么在平面直角坐标系中的点(zn,n)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.《数书九章》中有一个问题：今有田一顷，分为三乡，中乡田三十亩，乙乡田四十亩，丙乡田三十亩.今

从甲乡抽田三亩，验得其中一亩产谷十石；从乙乡抽田四亩，验得其中一亩产谷八石；从丙乡抽田三亩，验

得其中一亩产谷九石.问三乡田总产谷多少？其意思是：有一块田，总面积为100亩，分给三个乡，甲乡分

出30亩，乙乡分出40亩，丙乡分日30亩.现从甲乡中抽取3亩田，测得平均每亩产谷10石；从乙乡中抽

取4亩田，测得平均每亩产谷8石；从丙乡抽取3亩田，测得平均每亩产谷9石.则这100亩田共产谷大约

()

A.800石B.890石C.900石D.1000石

第1页

6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()

,。人乙八IO

A.—J-1—1—1~~1-1~~1~~1~B.—I~~1―1-1~~1―1―1-1-<!>-►

-2-10123456-2-10123456

C.-1—1—1—1~1—1—1-1-D.-1—1—1~1―1~~1■―1-1-

-2-10123456-2-10123456

7.如图，四边形4C8D是。。的内接四边形，48是。。的直径，48与OC相交于点E.若=50。，Z2=

55°,则乙3=()

A.40°B.35°C.25°D.15°

8.若。二或+遍，b=1+V6,c=V5»则关于a,b,c的大小，以下说法正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

9.如图，在菱形4BC0中，点尸是8D与AC的交点，AE1BC,垂足为E,若4B=10,80=16，则E尸的长

为()

A.4B.5C.6D.7

10.对于实数a,b，规定一种新的运算O：a0b=a2-b,则下面说法错误的是()

A.202=2B.(-3)@(-5)=14

C.若4g)%=0,则x=16D.若(x+1)③1=2③%,则x=1,或％=4

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

11.若dr=2,则》=.

12.函数y=GT中自变量x的取值范围是.

13.杭州“六小龙''是指六家在杭州创办、具有较强科技创新能力和影响力的企业.这六家企业分别是：深度

求索(DeepSeek)、游戏科学、宇树科技、强脑科技、群核科技和云深处科技.某科技活动小组的同学准备

第2页

利用“五一”假期到杭州参观科技企业，他们想从杭州"六小龙''企业中随机的选择1家参观，则哈好选到宇树科

技的概率足.

14.某反比例函数y=［具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而增大.写出一个满足条件的k的值

是.

oA

15.若％+±=3,则％2+-7=.

XX”---------

16.如图，在a4BCD中，48=4,作0E1CO交BC的延长线于点E,若CD是ABDE的中线，CE=5,则四边

形4BED的周长为.

17.如图，一艘海轮位于灯塔户的北偏东32。方向、距离灯塔60海里的4处，它沿正南方向航行一段时间后，

到达位于灯塔P的东南方向上的8处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从A处航行到达8处大约要

小时.（参考数据：V2«1.41,sin320«0.53,cos320«0.85,tan32°«0.62）

18.将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形4CEF中，已知48=13,则图中阴影部分

的面积为.

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题

每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

19.计算：（_i）3+|_2g|_4cos300+6））

20.先化简（言-急）+喘苧，再选择合适的Q,b的值代入求值.

第3页

21.新年到来之际，学校开展了丰富多彩的元旦文艺演出活动.为提高学生的参与度，学校成立了4（专业

老师评委组），B（学生评委组），C（家长评委组）二个评委组.在独唱比赛中，甲、乙两名同学表现优异,

A,B,C三个评委组对他们的评分统计结果及6名8组评委对他们的评分统计情况如下：（单位：分）

三个评委组给甲、乙两名同学评分的平均分统计表

组

ABC

别

甲84a80

乙83b85

B组评委给甲、乙两名同学评分的统计图

评分/分

甲

乙

50

123456评委编号

根据以上信息，回答下列问题.

（Da=»b=；

（2）B组评委给甲、乙两名同学打分的中位数分别是多少分？

（3）如果规定独唱的综合得分为：专业老师评委评分的平均分x50%+学生评委评分的平均分x30%+

家长评委评分的平均分x20%,且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，判断甲、乙两名同学谁的

表现更好.

22.如图，在四边形48CD中，已知NZM8=90。,4。=AC=48,点M在08上，且乙4cM=45。.

（1）求证：AAMC三ZkAMB：

（2）当/©==60。时，求的长.

23.如图1是A,三个城市的位.置图（三个城市在同一直线上），小华由4市驾车驶向B市，小明由B市驾车

第4页

驶向C市，两车同时出发，行驶过桂中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小

时.图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），y2（千米）与行驶时间无（小时）之间的函数关系图

（1）小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？

（2）若出发时间是上午8:00,则小华什么时间到达B市？

（3）求点S的横坐标，并说明点S的横坐标的实际意义.

24.如图，四边形48co是圆。的内接四边形，AC为圆。的直径.以点A为圆心，以小于力。的长为半径画弧,

分别交AB,4c于点M,N;以点C为圆心、4M长为半径画弧，与射线CB交于点P；以点P为圆心、MN长为

半径画弧，交以点C为圆心且AM长为半径的弧于点Q,射线CQ与射线A8交于点E.

（1）求证：CE是圆。的切线；

（2）若BC=V3,CD=2M/BAD=60。，求圆。的半径及EC的长.

25.如图，已知抛物线的顶点坐标为A（4,0）,且与y轴交于点点8的坐标为（4,3）,点C为抛物线上一动

点，以点C为圆心，C8长为半径的圆交x轴于M,N两点（点M在点N的左侧）.

（2）当点「在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求山

弦MN的长.

第5页

(3)如图2,若直线8c过点(1,0),求证：三角形C8N是等边三角形.

26.【问题背景】

已知矩形力BCD与矩形CEFG共顶点C,AB=CG,BC=CE，连接4F交BE的延长线于点M.

图2

(1)如图【，当点E在CD上时，试判断乙口4尸与4ETM的大小，并说明理由;

【拓展探究】

(2)如图2,当点E不在CD上时，求证：

@LDAF=乙EFM+乙DCE；

②AM=MF.

第6页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、2+(-3)=2-3装一2+3,错误，符合题意；

2-3=24-(-3),正确，不符合题意；

C、(-2)x(-3)=2x3,正确，不符合题意；

D、2+(—3)=2x(―!)，正确，不符合题意；

故选A.

【分析】本题主要对有理数的运算进行考杳，根据有理数的加减乘除法则，2+(-3)=2-3^-2+3,A

错误，其他三项经计算均正确.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是，

故选：B.

【分析】

本题主要对三视图进行考查，左视图为两正方形叠放。

3.【答案】C

【解析］【解答】解：如图，

vADIIBE,

z.2=Z-ABE,

•••乙ABC=45°,Z1=25°,

...42=4ABE=4ABC+Z1=45°+25°=70°,

故选：C.

【分析】本题主要对考查了平行线的性质进行考查，根据平行线的性质内错角相等，所以有/2=448£,进

一步得至I」42=Z,ABE=乙ABC+zl=450+25。=70%

4.【答案】A

第7页

【解析】【解答】解：•.•单项式-3Q〃％3与单项式2a4b2+n是同类项，

m=4,2+n=3,

n=1,

•••点（m,n）的坐标为（4,1）,

二点（m，九）在第一，象限.

故选：A.

【分析】本题土要对同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征等知识点进行考查.

根据同类项的定义有m=4,2+几=3,经过计算得到点（m,九）的坐标为（4,1），所以点（加，八）在第一象限.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：抽取的10亩田中每亩平均产谷为3xl°+：；8+3x9=89（石），

这100亩田共产谷大约89X100=890（石）.

故选B.

【分析】本题主要对求平均数，利用样本估计总体进行考查，优先求出样本的平均亩产8.9石，再利用样本

估计总体8.9x100=890（石）.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：｛算

由2x—1>3得：x>2,

由3%<2%+6得：%<6,

.•・原不等式组的解集为2WxV6.

故选C.

【分析】本题主要对解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示等知识点进行考查，优先对不等式组进

行求解24%<6,再正确的用数轴进行表示二高力一代二一』。

41I/JU

7.【答案】D

【解析】【解答】解：・.21=50。

，乙BEC=50°,

•••乙ABC=180°-50°-55。=75°.

•••48是。。的直径，

：.Z-BCA=90°

zBAC=90°-z/l/?r=90。-76。=1S°,

Z3=Z,BAC=15°.

第8页

故选D.

【分析】此题主要对圆周先定理进行考查.根据对顶角可见UI=zlBEC=50。，因为乙为圆周角，所以

Z-BCA=90°,进一步得到43=乙BAC=15°.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：・％2=(企+6)2=5+2后川=(1+痣)2=7+2瓜c2=(V5)2=

:.b2>a2>c2,

二b>Q>c,

故选：B.

【分析】本题主要对比较二次根式的大小进行考查，因为a,b,c均>0,所以先对/、户、c2进行大小排序,

进而得到a,b,c的大小关系b>a>c.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：•••在菱形A8C0中，点F是8。与AC的交点，，48=10,BD=16,

BF1AF,BF=^BD=1x16=8,/lF=CF,

AF=V102—82=6，点尸为力。的中点，

:.AC=2AF=12»

vAE1BC,

••・△4CE是直角三角形，

EF=^AC=AF=6,

故选：C.

【分析】本题主要对菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质进行考查，因为AC,为菱形对角

线，所以有8尸=8,4/=CF,在/?必4打8中根据勾股定理可得AF==6.在RCA4CE中，EF=

^AC=AF=6.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：A、202=22-2=2,故A正确；

B、(-3)0(-5)=(-3)2-(-5)=14,故B正确；

C>v40x=42—x=16—%=0,Ax=16,故C正确；

D、v(%+1)01=20%,

(%4-1)2-1=22-x,

整理得好+3%-4=0,

解得x=l或％=-4,故D错误.

第9页

故选：D.

【分析】本题主要对新定义，有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点进行考查，根据题意对四个

选项的式子进行计算其中48,C正确，D错误。

11.【答案】3

【解析】【解答】•~=2

X—1

•••2（x-1）=4,

解得x=3,

检验：将x=3代入无—1=3—1=2。0,符合题意

・•・原方程的解为x=3.

故答案为：3.

【分析】本题主要对如何解分式方程进行考查，首先将分式方程通分化为整式方程，在计算求解x=3。

12.【答案】x>l

【解析】【解答】根据题意得:x-l>0,

解得：x>l.

故答案为：x>l.

【分析】因为当函数表达式是二次杈式时，被开方数为非负数，所以x-lK）,解不等式可求x的范围.

13.【答案】1

6

【解析】【解答】解：・.•总共有6家企业,

••・从6家中任选1家，恰好选到宇树科技的概率是3

O

故答案为：1

【分析】利用概率公式求概率即可.

14.【答案】一1

【解析】【解答】解：•・•当”>0时，y随x的增大而增大.

；・k<0,

故答案为：一1（答案不唯一，只要kVO）

【分析】本题主要对是反比例函数的性质进行考查。反比例函数的图象是双曲线，当k>0,当k<0,在第

四象限有y随x增大而增大.

15.【答案】5

【解析】【解答】解：•."+2=3，

X

/八24

（X+-）=9,即/o+4+-2=9,

第10页

.*./+白=5.

故答案为：5.

2

【分析】本题对分式的化简求值，完全平方公式的应用进行考查，首先根据完全平方公式计算得值+|)=

9=4+壹+4,进一步对等式进行整理可得到%2+壹=5。

16.【答案】22

【解析】【解答】解：:四边形48CD是平行四边形，

：.AB=CD=4,AD=BC,

♦.•CD是△BOE的中线，

:.BC-CE-5,

：.AD=5,

•••DE1CD,

:.“DE=90。，

•­DE=y/CE2-CD2=V52-42=3»

・•・四边形A8E0的周长48+BC+CE+CE+AD=4+5+5+3+5=22,

故答案为：22.

【分析】本题主要对平行四边形的性质，勾股定理进行考查，根据平行四边形和中线的性质有4B=CO=

4,AD=BC=5,进一步证明4COE=90。，所以在RtACOE中，根据勾股定理有。E=V?尹=乔=3，所

以四边形4BE0的周长C=48+8C+CE+CE+4。=4+5+5+3+5=22.

17.【答案】2.76

【解析】【解答】解：如图，过点P作PH148于点H,

由题意知乙4=32。,28=45°

AH=PAcos32°,PH=PAsin320,PH=BH

AB=AH+BH=AH+PH=PAcos320+P4si"32°,

则海轮从4处航行到达B处需要的时间

ABPAcos320+PAsin32°

t=—=----------------------------

vv

第ii页

60（0.85+0.53）

♦30

=2.76（小时）.

故答案为：2.76

【分析】此题主要对直角三角形的应用，方向角进行考查.过点P作于点H,根据体脸有48=4H+

BH=AH+PH=PAcos32°+PAsin32°,航行时间二路程：速度，计算得£=半=2.'（小时）.

18.【答案】等

【解析】【解答】如图，

：.Z-BDC+乙EDF=乙DFE+Z.EDF=90°

，乙BDC=^DFE

；・△BCDs&DEF,

..B£_CD_BD_1

''DE~'EF~DF~4,

设BC=x,CD=y»

贝ijDE=4x,EF=4y,可得

(13+x=4y

(y+4x=4y

解得

:.BD=5,AC=16,

S&DEF=96.

•・•乙G=Z-DEF=乙GFD=Z-AFE=90°

：.^GFH+Z.AFD=Z.DFE+^AFD=90°

：.Z.GFH=LDFE

・•・△/GH-AFED,

..GF_BD_5

*-16

第12页

5275

•••S^GH=96x2=仔,

c八「275725

•••S阴影=4x5--Q=--

故答案为：争

O

【分析】

此题主要对相似三角形的判定和性质、二元一次方程组的应用、正方形的性质等知识进行考查.根据题意计

算角关系可以得到上=咕，所以可以证明△BC。-△/)£「，进一步得出器=器=黑=；.根据题

意设BC=x,CD=y,所以有0E=4x,EF=4y,列方程组株:；二加得;进而可得80=

5,AC=16,则S“EF=96.计算角的关系得到乙GFH="FE,再AFGH~AFED,根据相似三角形面积

比等于边长比的平方，再进行面积计算得S阴影=4x5?-爷=等.

19•【答案】解：原式=—1+2x2、"-4x字+2

乙

=1+2^3-

【解析】【分析】本题主要对二次根式的运算，特殊角的三角函数值的运算进行考查。先对各个特殊项进行化

简整理，再进行基本运算得到结果原式=1+28。

2(a+b)—(a—b).Q+3b

20.【答案】解：原式=

(a-b)(a+b)a-b

—_a_+_3_b_____ax—__b__

(a—b)(a+b)a+3b

1

=壬

•••a+bH0,Q-bH0,a+3bH0,

取Q=2,b=3,原式=旻

【解析】【分析】本题主要对分式的化简求值，分式有意义的条件进行考查.

首先对括号里的分式进行通分化简得到原式=泊带二X晨，再进行约分计算得到原式=上，取。=

[a—D)[a+u)Q+。。a+b

2,b=3,所以原式=忐='.

乙IDKJ

21.【答案】(1)解：/=76+85+8”90+9°+92—87,

6

,70+80+86+90+92+92_

b=---------7---------=85o,

故答案为：87,85

(2)解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76,85,89,90,90,92,

则分数的中位数为理界=89.5(分);

第13页

B组评委给乙同学打分从小到大依次为70,8（）,86,90,92,92,

分数的中位数为喀2=88（分）.

（3）解：甲的综合得分为84X0.5+87x0.3+80X0.2=84.1（分）,

乙的综合得分为83x0.5+85X0.34-85x0.2=84（分）,

按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更

【解析】【分析】本题主要对平均数、中位数以及加权平均数进行考杳.

⑴根据平均数的定义：平均数=*，完成计算"76+85+8誓。+9。+92=87,小

70+80+86+90+92+92

=85;

6

（2）根据中位数的定义：按顺序排列一组数，位于中间位置的数；根据题意有甲同学：中位数为"罗=89.5

（分）乙同学中位数为将却=88（分）.

（3）根据加权平均数的定义：每个数乘以对应权值，再除以所有权重总和.根据题意甲的综合得分为84x0.5+

87x03+80x0.2=84.1（分）：乙的综合得分为83x0.5+85x0.3+85x0.2=84（分）。

76+85+89+90+90+92

（1）解：a==87,

6

70+80+86+90+92+92

b==85,

6

故答案为:87,85

（2）解：B组评委给甲同学打分从小到大依次为76,85,89,90,90,92,

则分数的中位数为翌岁=89.6（分）:

B组评委给乙同学打分从小到大依次为70,80,86,90,92,92,

86+90

分数的中位数为=88（分）.

2

（3）解：甲的综合得分为84x0.5+87x0.3+80x0.2=84.1（分）,

乙的综合得分为83x0.5+85x0.3+85x0.2=84（分）,

按此评价方法，甲、乙两名同学相比较，甲表现更好.

22.【答案】（1）证明：•.•在四边形48co中，^DAB=90%AD=AC=AB,A^ABD=^ADB=45°,

Z-ACB=Z.ABC,

:△ACM=45°=Z-ABD,

乙MCB=^ACB-45°=/.ABC-45°=乙MBC,

MC=MB.

在△4MC与A/IMB中,

第14页

AC=AB

MC=MB,

(AM=AM

・••△AMC=^AMB(SSS).

1

当。时，由(知三△：

(2)4C/8=601)A4MCAM8,.z.CAM=/-BAM=^乙BAC=30%

过点M作M"J.AB于点”，如图.

设则

AM=2x,MH=乙=x,AH=WMH=Wx,

■:乙ABM=45°,

：.MH=HB=x,

AB=AH+BH=x+V3x=3,

:.AM=2x=2x31-3=3百一3,

乙

【解析】【分析】本题主要对等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的

判定和性质等知识点进行考查。

(1)根据等边对等角有248。=2LADB=45。24。8="BC,进一步得到/MC8=乙MBC,所以有MC=MB,

根据SSS定理，可证△AMC三4AMBx

(2)根据(1)可推出NOM=/-BAM=^BAC=30。，过点时作M"148于点H,设4M=2x,则MH=^AM=

x,AH=CMH=Wx，MH=HB=x,因为4=45°,所以有48=AH+BH=x+V3x=3^求解」.x=

8-3g3,进一步得出...AM=2x=2X3,-3=3^3—3.

(1)证明：•••在四边形A8C0中，乙648=90。，AD=AC=AB,

•••匕ABD=(ADB=45°,乙ACB=乙ABC,

'：LACM=45°=乙ABD,

乙MCB=/-ACB-45°=乙ABC-45°=乙MBC,

•••MC=MB.

在△AMC与△4MB中，

第15页

AC=AB

MC=MB,

(AM=AM

・••△AMC=LAMB(SSS).

(2)当乙C4B=60°时，由(1)知三A/IMB,

1

•••々CAM=乙BAM=^BAC=30。，

乙

过点M作MH于点〃，如图.

设4M=2x,则MH=\AM=x,AH=WMH=V5x,

■:乙ABM=45°,

,MH=HB=x,

AB=AH+BH=x+V3x=3,

AM=2%=2x3可3-30_3.

23.【答案】（1）解：由题意，折线D—E—F—G—H为小华与C市的距离为（•千米）与行驶时间x（小时）

之间的函数关系图象.

线段MN是小明与C市的距离丫2（千米）与行驶时间不（小时）之间的函数关系图象.

由题图2知，小明驾车到达C市时用了7.5小时•，

小华驾车到达C市时用了2小时.

（2）解：A市与B市之间的距离为75X2+100X7.5=900（千米）.

由题图2可知小华由C市到B市中间休息了1小时，

900+75=12（小时），1+12=13（小时）.

若出发时间是上午8:00,则小华到达8市的时间为晚上9:00.

（3）解:由图可知:M,N的坐标分别为（0,750）,（7.5,0）,

设力=kx+b,

则｛/需工

第16页

解得忆谭,

•••y2=—100%+750.

由图可知：E的坐标为（2,0）,

当％=6时，小华与C市的距离为75x（6-2）=300（千米）,

•••尸的坐标为（6,300）.

设直线EF的表达式为为=mx+n,

rnijf0=2m+?i

AJ1300=6m+n

解得察:3

:.=75%—150.

当为二丫2时，-100x4-750=75%-150,

解得“手=5：（小时），

故点S的横坐标为其表示的实际意义是行驶5：小时后，小明与小华相遇.

【解析】【分析】本题主要对一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息进行考查：

（1）根据图2的信息可知线段例N是小明与C市的距离力（千米）与行驶时间工（小时）之间的函数关系图象，

所以小华驾车到达C市时用了2小时；

（2）优先求出A市与8市的距离二时间乘以速度=75x2+100x7.5=900km,有图2,时间二路程除以速度,

再加上休息时间得到所用时间13小时，所以若出发时间是上午8:00,则小华到达8市的时间为晚上9:00.；

⑶设力的解析式为=以十，根据图像信息有｛。二；募解得解析式、2=-10°无十750,设线段.的

解析式%=加工+71,根据图像信息有｛3&黑解得解析式二月=75%-150,所以S横坐标的意义:

行驶5$小时后，小明与小华相遇.

（1）解：由题意，折线O—E—尸-G—H为小华与C市的距离力（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数

关系图象.

线段MN是小明与C市的距离及（千米）与行驶时间工（小时）之间的函数关系图象.

由题图2知，小明驾车到达C市时用了7.5小时，

小华驾车到达C市时用了2小时.

（2）A市与B市之间的距离为75X2+100X7.5=900（千米）.

由题图2可知小华由C市到8市中间休息了1小时，

900+75=12（小时），1+12=13（小时）.

若出发时间是上午8:00,则小华到达8市的时间为晚上9:00.

第17页

(3)由图可知：M,N的坐标分别为(0,750),(7.5,0),

设为=kx+b,

］豁，'

解得忆谭

y2=-100x4-750.

由图可知：E的坐标为(2,0),

当为=6时，小华与C市的距离为75X(6-2)=300(千米)，

”的坐标为(6,300).

设直线EF的表达式为为=mx+凡

则［0=2m+n

AJl300=6m4-n

解得｛加=?

5=-150

y±=75x-150.

当丫1=丫2时，-100x+750=75%-150,

解得%=乎=54(小时)»

故点S的横坐标为5：其表示的实际意义是行驶5：小时后，小明与小华相遇.

24.【答案】(1)证明：由作图可知/BAC=/BCE.AC是圆。的直径，

乙ABC=90°,

乙BAC+Z-BCA=90°,

•••乙BCE+乙BCA=90°,

艮I〕4ECA=90°,

：.AC1CE,

♦••AC是圆。的直径，

CE是圆。的切线.

(2)如图，延长BC交于点K.

•••4C是圆。的直径，

乙ADC=乙ABC=90°.

第18页

A

\O

R

EV

•••BC=y/3,CD=2遍，^BAD=60°,

Z.CKD=30°,

•••CK=2CD=4V3，

•••BK=BC+CK=5百，

：•AB=BK-tan300=50x坐=5,

：.AC=卜+(⑹2=277，

・•・圆。的半径为=

|tl(1)知N/CE=Z-ABC=90%

又・.・4BAC=/-CAE,

.0.△ABCACE,

BCEC川酒EC

♦..丽L|JT=577-

,rr2&I

-£C=-,

【解析】【分析】本题主要对尺规作图一作一个角等于己知角，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相

似三角形的判定和性质等知识点进行考查.(1)由作图可知NB4C=乙BCE,圆周角定理可得々1BC=90。进

一步计算得到乙EC4=90°,AC1CE进一步可证CE是圆。的切线；

(2)延长AO,8C交于点K,根据圆周角定理有乙40C=/A8C=90。，结合RSCDK,RtAABK,可计算出48=5,

在RtA/IBC中根据勾股定理，4c=值+(⑹2=2®因为乙BAC=4C4E,所以可证△4BC〜△4CE,进而

得到EC=卒.

(1)证明：由作图可知484c=乙BCE.

•••AC是圆。的直径，

...乙ABC=90°,

.•・ABAC+LBCA=90°,

乙BCE+乙BCA=90°,

即“CA=90°,

：.AC1CE,

第19页

••,AC是圆。的宜径，

•••CE是圆。的切线.

(2)如图，延长4D,BC交于点、K.

•••4C是圆。的直径，

vBC=V3,CD=2百，/-BAD=60°,

Z.CKD=30°,

CK=2CD=46，

BK=BC+CK=5百，

AB=BK-tan30°=5百X*=5,

•••AC=Js2+(V3)2=2位，

.•・圆。的半径为义4。=夕.

乙

由(1)知乙ACE=乙ABC=90°,

又・・・乙84。=乙CAE,

ABC—△ACE»

BCEC日|［总EC

辛二旅’即亏二酝

52&T

•••EC=-p-

J

25•【答案】(1)解：•・•抛物线的顶点坐标为4(4,0),・••设抛物线的函数表达式为ya(x—4产.

将点(0,给代入，得16。=岁

解得Q=\>

O

.•・抛物线的函数表达式为y=1(x-4)2.

(2)解：弦MN的长度是定值.理由如下：

如图I所示，过点C作轴，垂足为H,连接BC,CN,则：CB=CN,

第20页

VCH1MN,

:.MH=HN.

•••HN2=CN2-CH2=CB2-CH2,

:.HN2=(a-4)2+[3—3(a—4)2]—(a-4)2]=9-

•••HN=3,

MN=6,

・••弦MN的长度为定值.

(3)证明：设直线8。的解析式为、=/d+从・.・直线8。过点(4,3),(1,0),

k=l

I昼口解得:(b=—1

••y=x-1：

设则X)=—1旦y0=-4)2,

1(%0-4)2=/一1，

XQ-14x0+22=0,

XQ=7+3V3,XQ=7—3vs.

①当沏=7-3b时，点C在对称轴左侧，如图2,

y0=6—3V3-

•・•MN=6,

第21页

•••/7的坐标为(孙+3,0),

BC2=(7-3V3-4)2+(6-3/3-3)2=36(2-<3),

BN2=(々+3-4)2+32=(6-3x/3)"+32=36(2-V3),

•••BC=BN,又BC=CN,

.••三角形CBN是等边三角形.

•・•MN=6,

••.N的坐标为(孙+3,0),

•••BC2=(7+3V3-4)2+(6+36-3『=36(2+⑹，

BN2=(%+3-4)2+32=(6+3百)+32=36(2+百)，

；.BC=BN,又BC=CN,

.••三角形CBN是等边三角形.

【解析】【分析】本题主要对待定系数法求二次函数解析式，二次函数-特殊三角形存在性问题，垂径定理，

二次函数-线段周长问题进行考查：

2

(1)根据待定系数法设抛物线解析式为y=a(x-4尸带入点(0,|)得到Q="所以表达式为y=1(x-4);

(2)过点C作CH_Lx轴，垂足为H,连接BC,CN,设点C的坐标为[a](Q-4/],则H(a,0),根据垂径定理

有MH=HN,根据勾股定理计算得“N=3,所以MN=6,因此弦MN的长度为定值；

(3)根据待定系数法设直线BC解析式为y=kx+b,带入两点坐标解得解析式为y=x-l,设以勺,出),

2

带入直线BC解析式有为=不-1且y0=*0-4),进一步解得孙=7+3V3,X0=7-3百，分两种情况

进行讨论：

①当沏=7-3百时，点C在对称轴左侧，所以

222

2222

BC=(7-3V3-4)十(6-3V3-3)=36(2一8)，BN=(x0+3-4)+3=(6-3V3)十

第22页

32=36(2-75),所以有BC=BN=CN,故三角形CBN是等边三角形.

②当与=7+3百时，C在对称轴右侧，所以8〃=(7+3次一4)2+(6+3b一3)2=36(2+同，

2222

BN=(x0+3-4)+32=(6+3V3)+3=36(2+b)，所以有BC=BN=CN,故三角形CBN是等边

三角形.

(1)解：:抛物线的顶点坐标为4(4,0),

・•・设抛物线的函数表达式为y=。(无一4产.

将点(0,郭弋入,得16Q=|，

解得a=1

O

•••抛物线的函数表达式为y=g(x-4)2.

(2)弦MN的长度是定值.理由如下：

如图1所示，过点C作CH1%轴，垂足为H,连接BC,CN,贝I」：CB=CN,

vCH1MN,

：.MH=HN.

•••HN2=CN2-CH2