三极值点三变量解题技巧（用帕德逼近解决）讲义-2026届高三数学二轮复习

高考导数二轮复习专项培优讲义：三极值点三变量解题技巧(用帕德逼近解决)

通常，我们遇到的极值点或极值点偏移问题多以二元为主，但是在最近的模考卷中出现了三

元极值点问题或三变量问题。解决这些三变量导数题的核心思想就是消元，但是如何做到快

速又合理地消元，需要我们了解一些关于高观点的导致背景——帕德逼近。

【知识精讲】

一、帕德逼近

【帕德逼近】给定两个正整数m,n,函数/(x)在x=0处的［m,n］阶帕德逼近定义为：

、_ao+aix+-+amxm

n

(X)14-^x4--+bnx

且满足：/(0)=R(0)；ff(0)=R，(0)；…；f(m+n)(0)=R(m+n)(o)。

实际上，由定义可知，若令n=0,即f(x)的［m,0］阶帕德逼近便是/(x)在x=0处的泰勒逼

近。这便是两个展开之间的基本关系，换句话说，帕德逼近是比泰勒逼近使用范围更广的一

种逼近。下图是两个常用函数：指数函数丫=。*与对

/(x)=e'在x=。的［m,n］阶帕德逼近

012

n

\

mx2

01R(x)=x+1R(x)=y+X+1

2+x6+4x4-x2

1R(x)=R(X)=R(X)=6-2x

1-X2-X

22x+6x2+6x4-12

2R(x)=——-----R(x)=----------R(x)=——----

—2x+2x2—4x+6-x2-6x+12

数函数y=ln(l+x)的低阶帕德逼近

/(x)=ln(l+x)在x=0的［m,n］阶帕德逼近

012

n

\

m2

0—R(x)=xX

R(x)=X--

乙

2x6x+x2

1—R(x)=----R(x)=....-

-x+2-x+2

2

—12x3x+6x

2R(X)=_X2+6X+12R(x)=—=------

、“x24-6x+6

【帕德不等式】

从上表可以推出一些更要的帕德不等式：区等〈笑言<lnx,x£(1,十”)

XiLX1T'X•X

3(x2-1)2(x-l)

Inx<———-----<-----<x-1,xW(0,1)

x2+4x+1x+1')

二、三变量命题中常用的两个函数

三变量命题中常用的两个函数f(x)=x---alnx,g(x)=(x+l)lnx—a(x—1).

X

(1)要特别注意这两个函数的零点，首先，、2=1一定是一个零点，其次，当a满足一定条

件时，还会再有两个零点X1，X3出现，并且，这两个函数有一个很重要的特点，若/(x)=

0,则有/(3=0,这就意味着剩下的两个零点会有隐含关系：X1X3=1,这个关系在解决相

关多极值点问题时至关重要！

(2)要注意特殊的零点，比如上面两个函数中的特殊点X2=1,换句话说，有的多元极值点

问题就是个纸老虎，会有个别极值点(零点足可求)。(3)注意一些可能的极值点偏移情

y4-1

形：如果上述g(x)=(x+l)lnx-a(x-1)可得：—­Inx=a,当a>2时，会有两个零点

JL

x15X2且XI+X2>2,下面典例中会证明。

【典例精讲】

【例1(湖北七市州一调)】(12分)已知函数f(x)=alnx——.

(1)当a=l时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若g(x)=a(x2—l)lnx-(x-l)2(aW0)有3个零点Xi,x2,x3,其中x】Vx2VX3。

(i)求实数a的取值范围；

(ii)求证：(3a-l)(Xi+x3+2)<2O

【解析】⑴当'=1时，/(x)=Ex—M，/(刈=:高=寿，(1分)

则f’(x)>0在(0,+8)恒成立，所以f(x)在(0,+8)单调递增，

故f(x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间。(2分)

(2)(i)g(x)=a(x2—l)lnx—(x—I)2=(x2—1)(alnx—=(x2-l)/(x),

g(l)=O,/(l)=0,则/(x)除1外还有两个零点，(3分)

U(X)=令h(x)=ax2+(2a-2)x+a(x>0),

当aVO时，h(x)V0在(0,+8)恒成立，则f'(x)VO,

所以/(x)在(0,+8)单调递减，不满足，舍去；

当a>0时，要是/(x)除1外还有两个零点，则f(x)不单调，

所以h(x)存在两个零点，所以△=(2a-2)2-4a2>0,解得0<aV/(5分)

当0<a<；时，设h(x)的两个零点为m,n(m<n),

2

则m+n=——2>0,mn=1,所以0VmV1Vn。

a

当x€(0,m)时，h(x)>0,f，(x)>0,则f(x)单调递增;

当x€(m,n)时，h(x)<0,ff(x)<0,则/(x)单调递减；

当xW(n,+8)时,h(x)>0,f(x)>0,则f(x)单调递增;

又f(l)=0,所以〃m)>0,/(n)<0,

11

2e"a八r一二.

而M)=-1一定——<0,且eaV1,

e~a+l

1

ffea)=1—笄二=一一>0,且函>1,所以存在Xi6(e-a,m),x3€(n,e』),

'7ei+le5+lK7

22

使得f(xi)=/(x3)=0,即g(x)=a(x-l)lnx-(x-l)(a*0)有3个零点x1,x2=1,

综上，实数a的取值范围为(0,3。(7分)

(ii)因为f(；)=-alnx-g=—alnx-W=—alnx+3=—f(x),

所以若/(x)=0,则f(3=°，所以X］二］。

当x>l时，先证明不等式lnx>*=恒成立,

X।T"X•L

3G2-1)

设？(x)=Inx-

X2+4X+1

(x-1)

M(x)T一黑器—-)2>0,

所以函数中(x)在(1,+8)上单调递增，于是中(X)>中(1)=0,

即当x>l时，不等式Inx>[X-7恒成立。(1()分)

X^+4X+1

由f(X3)=0,可得9=alnx3>那送T)

因为X3>1,所以二—>斐3+1)

13'IX3+lX1+4X3+I

2

即蝎+4X3+1>3a(x3+I),两边同除以X3,

得X3+4++>3a(X3+2+已)=Xi+X3+4>3a(Xi+X3+2),

所以(3a—1)(X1+x3+2)<2O(12分)

【例2(金华十校联考)】已知函数f(x)=gx2+ax-(ax+l)lnx(aWR),记/(x)=g(x).

(1)当a=l时，求函数/(x)的最小值；

(2)若函数g(X)有三个零点Xi，X2,X3,且Xi〈X2<X3.

(i)求a的取值范围；

(ii)1正明：Xi+X3+4x1X3>3a.

【解析】注意到X]X3=1,故只需证明Xi+X3>3a—4,

依题0VXiVX2=1VX3.

>3aX

于是，由Inx>-1)x>l可得：x3--=alnx33

'X2+4X+1?'JX33

同除X3,且注意到Xi=L,可得：xx+x3>3a-4.

下面【例3】其实质同【例2(金华十校联考)】一样，如下

【例31已知函数f(x)=x-1—alnx,aER.

(1)若/(x)有三个零点，求a的取值范围；

(2)设f(x)的三个零点分别为Xi,x2,x3(xt<x2<x3),求证Xi+X3>2(a—1);

(3)设f(x)的三个零点分别为Xi,x2,x3(Xi<x2<x3),求证：Xi+x3>3a-4.

【解析】(1)若/(X)有三个零点，则a>2.

(2)依题0VX]VX2=1VX3，同时，需注意

2<>(<3

于是，由Inx>“XD,x>l可得：x3——=alnx3>=>X34-14-2x3>2ax3,

X+1X3X3+I

同除X3,且注意到Xi=Z,可得：Xi+x3>2(a-1).

x3

(3)依题0VX]VX2=1VX3.

于是，由Inxx>l可得：X3-^=alnx3>^^77=J>x1+14-4x3>3ax3,同除

x3;且注意到

xA=—,可得：Xj+x3>3a-4.

x3

我们把【例3】函数包装一下，让它做导函数，这样可以命制一点看起来难度更大的题目：

2

[例4]设函数f(x)=(ax+l)lnx—y-ax+a+1(aGR).

(1)当a=2时，证明：/(x)<0；

(2)已知f(x)恰好有3个极值点x「x2,x3(Xi<x2<x3).

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明：E+±+0>a2—4a+7.

X2X3X]

【解析】(i)由于/'(x)=x—-alnx,故a>2。

(ii)证明：此时有生+包+幺=+2,设h(x)=x2+4则只需证明

X2X3X1X3X

2

h(x3)>a-4a+7,求导得h'(x)=2x-9，所以h(x)在(1,+8)上单调递增，

注意得到X3=W：>a+"a：)(a-2)=a—1>1,所以hQ?)>(a—1产+六，

所以只需证明(a-l)2+3>a2-4a+7,实际上，上式等价于(a-2尸>0成立，所以原

不等式得证。

【例5】已知函数/(x)=(x-a)lnx-xlna,其中a>0。

(1)求/(x)的极值；

(2)设函数g(x)=/(x)+/(：)有三个不同的极值点X],x2,x3o

(i)求实数a的取值范围；

22

证明++3

X2X3>

【解析】(1)由题可得f'(x)=Inx+q——Ina=Inx--+1—Ina,

・•・/'(X)在(0,+8)单调递增,

*•tfz(a)=0,.%xe(0,a)时，f(x)<0,x6(a,+8)的f'(x)>0,

••・/(x)在(0,a)单调递减，在(a,+叫单调递增，

•••/(x)极小值=/(a)=-alna,无极大值；

(2)(i)g'(x)=/‘(x)-妥f'G)=(l+妥)龌+(1皿-1)(专一1),

2

由题可知g'(x)=0有三个不同的正实根Xi、x2>x3,=xG(0,+oo),

则g(x)=°Q+g)Int+(Ina-1)Q—=0<=>Int—_0,令h(t)=Int—

2(lna-l)(t-l)^h(t)=0有三个

不同的正实根X久x1>x1,

h/x._1_4(lna-l)_(t+l)2Tt(lna-l)_t2+(6-41na)t+l

()-t(t+1)2-t(t+l)2-t(t+l)2'

・・.V(t)=0有两个不同的正实根，.・・{△=(3]41呷2；4>0=a>£,

设h'(t)=0的两个不同的正实根为m、n,且OVmVn,此时h(t)在(0,m)和(n,+8)单调递

增，(m,n)单调递减，又・・・h(l)=O,

h(t)->-8(tT0+),且h(t)T+8(tT+8),

••.h(t)有三个不同的正实根，满足题意，a的取值范围是(2,+今；

一27

由

to<t<<t且t

X13=^=131

11X2nt

膂户的正实根，

h(t)=0=2(lna-1)=鱼皿(t1),

t-1

令?(。二支空，则中(匕)=啖t3),二中⑴在(0」)单调递减，在(1,+2单调递增,

令F(t)=(p(t)-啖2-t),tW(0,l),则

21nt2-t--21n(2-t)

F'(t)=/(t)+.(2-+———

_2(1^^7巾(2旬

(t-1)2

VtG(0,1),0<t(2-t)<1,令H(x)=l—?—lnx(0VxV1),H'(x)=^-^>0,

■.H(x)在(0,1)单调递增，・•・F(t)<0,AF(t)在(0,1)单调递减,

7r

0W(0,1))F(ti)>F(l)=0=>(p(ti)><p(2—ti),vy(ti)=^(t3),•••qj(t3)>中(2—t]),

92

^+X+>

••“(t)在(1,+8)单调递增，•••t3>2—ti=ti+t3>2,123.

【提升训练】

例1.已知函数f(x)=牛之(其中a为常数)。

111/\

(1)当a=l时，对于任意大于1的实数x,恒有/(x)Nk成立，求实数k的取值范围；

(2)当0<aVl时，设函数f(x)的3个极值点为Xi、X2Nx3,且Xi<X2〈X3,求证：x1+

、2

X3>场。

【解析】

(1)当a=l且X>1时，/(x)>k,即(XT)-klnxNO成立,

111A

令g(x)=(x-l)2-klnx,则g'(x)=2x—2—：=2x~^X-k,

vx>1,则2x2-2x=2x(x-1)>Oo

①当kWO,gz(x)>0,・•・g(x)在(1,+8)上是增函数,

即当x>l时，g(x)>g(l)=0,满足题意;

②当k>0时，令g'(x)=0,解得x1=上/V0,*2=上/>1,

当lVx<Xz时，g(x)<0,函数g(x)在(l,Xz)上是减函数，此时g(x)Vg(l)=0,不合乎题

意。

综上所述，k<0o

(2)证明：因为/•(x)=7T,其中x>0且xrl,

11Izk

2(x-a)lnx-^x^(x-a)(21nx+~l)

则广(X)=

ln2xln2x

对于函数h(x)=21nx+^-1,有h'(x)=2—白=

XXXX

因为OVaVl,当OVxvj时，h(x)<0,函数h(x)单调递减,

当x>］时，hz(x)>0,此时函数h(x)单调递增，

因为函数f(x)有3个极值点Xi、x2>x3,且X]<x2<x3,

所以,h(x)min=h(》=21n|+lVO,解得ovaV专，

当OVaVl时，h(a)=21na<0,h(l)=a—1<0,所以，Xj<a<1<x3,

当OVxVXi时，x-a<0,h(x)>0,则/(x)<0,函数/(x)单调递减，

当XiVxVa时，x-a<0,h(x)<0,则/'(x)>0,函数/'(x)单调递增，

当aVxVl时，x-a>0,h(x)<0,则f(x)<0,函数f(x)单调递减，

当IVXVX3时，x-a>0,h(x)<0,则/(x)<0,函数/'(x)单调递减，

当x>X3时，x-a>0,h(x)>0,则/'(x)>0,函薮f(x)单调递增，

所以，函数/(x)的单调递增区间有：(Xi，a)、。3，+8),单调递减区间有：(0,XI)、(a,l)、

(l,x3),故X2=a。

・••当OVaVl时，Xi、X3是函数h(x)=21nx+W-1的两个零点,

X

21nXiH----1=0

W

21nx3+|-l=0消去a有2xilnxi-xx=2x3lnx3—x3,

令m(x)=2xlnx-x,其中x>0,则m'(x)=21nx+1,令m'(x)=0可得x=总

当Ovxv京时，mz(x)<0,此时函数m(x)单调递减，

当x>?时,mz(x)>0,此时函数m(x)单调递增，且01(2)=一专<0,且x】v2Vx?,

构造函数/(x)=m(x)—m得一x),其中OVx<总则

所以，函数/'(x)在(0噌)上单调递减,

因为0<乂1〈2，则f(Xi)>f(+)=0,即m(xi)-m信_xj>0,

即mM)=m(xD>m(专一xj,因为0〈Xi<熹Vx?,则专一Xi>白,

函数m(x)在(+,+8)上单调递增,故X2>^-X1,即X1+X2>奈。

例2.已知函数/(x)=-e2x—(e+l)ex+ex+-

22o

(:)求/'(X)的极值。

(2)若f(X1)=/(x2)=/(x3),Xi<x2<x3,证明：x2+x3<2o

【解析】(1)(1)由题意可得/'(x)=e2x-(e+i)ex+e=(ex-l)(ex-e)。

当xVO或x>l时，(x)>0;当OVxVl时，f(x)<0o

所以/(X)在(-8,0)与(l,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减。

故f(x)的极大值为/(0)=-e,/(x)的极小值为/(I)=T—：e2。

(2)证明：由(1)可知0ex2<1<X3。

设g(x)=/(x)—/(2—x),0<x<1,

则g(x)=f(x)+f'(2—x)=(ex—l)(ex-e)+(e2-x—l)(e2-x-e)

e2x(ex-1)+ex+l-e

=(ex—e)•

2xxx+1x3x2xx+1x2xx

设h(x)=e(e-1)4-e-e,贝［h'(x)=3e—2e+e=e(3e-2e+e)o

因为4-12e<0,所以h'(x)>0在(0,1)上恒成立，即h(x)在(0,1)上单调递增,

因为h(x)vh(l)=O,所以g'(x)>0在(0,1)上恒成立，即g(x)在(0,1)上单调递增,

因为g(x)<g(l)=0,所以/(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立。

因为X2W(0,l),所以/。2)</(2—X2),

因为f(X2)=/。3),所以f(X3)<f(2-X2)°

由(1)可知f(x)在(1,+8)上单调递增，且X3,2-x2G(1,4-00),

则X3<2-x2,即X2+X3<2。

例3.已知函数f(x)=(x-2)lnx+x-lo

(1)求曲线y=f(x)在点P(l,f(l))处的切线方程；

(2)已知x=X。是函数y=/(x)的极值点，若/(X。=/(X2),X1HX2,xpx2eR,求证:

XI+X2>2X。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)。

【解析】(1)由f(x)=(x-2)lnx+x-1,有/''(x)=Inx+平+1

(1)=0,而/•⑴=0,可知曲线y=f(x)在点P(l,f(l))处的切线方程为y=0

(2)由(1)得/'(x)=Inx+4+1=Ex+2—三，令g(x)=Inx+2—；x>0,

XXX

则g(x)=；+爰〉。在(0,+8)上恒成立，即g(x)=lnx+2一=在(0,+8)上单调递增，而

g(l)=0,知当0<x<l时，f(x)<0;

当x>1时，f(x)>0,

••・当函数/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，即f(x)在x=1处取得极大值.

"/(X1)=/(x2),x1HX2，XpX2GR,不妨设0<Xi<1<x2,

令h(x)=/(x)-f(2-x),0<x<1,则h'(x)=f'(x)+f'(2-x)=Inx+2-j+

ln(2_x)+2-白=lnx(2-x)+4--^-

Nz\AIAJ

A

因为0<xVl,所以0Vx(2—x)V1,即有lnx(2-x)<0,4———-<0,

•••h(x)<0,即函数11。)=/。)一/(2-*)在(0,1)上单调递减，而11(1)=/(1)一/(1)=0,

所以h(x)>h⑴=。在(0,1)上恒成立，即/'(x)>f(2-x)在(0,1)上恒成立，有f(xi)>f(2-

X。在(0,1)上恒成立，又

/(Xl)=/(X2),所以)(X2)>)(2—X1),

因为0VX1V1VX2且2-X1>1,而函数f(x)在(L+8)上单调递增，所以X2>2-X1,即

xt4-x2>2,而X。=1,所以Xi4-x2>2x0

得证.

例4.已知函数f(x)=手.

(1)当m>0时，求函数/(x)的极值点的个数；

(2)当a,b,cE(0,+8)时，©c-b-c+e・a-c+eC-b-cv1-2me-a-b-c恒成立，求m的取值范

国.

【解析】(1)/'(x)=^^,XH0,令/'(x)=0,得eX(x-l)-m=0.

当x<0时，因为m>0,所以e、(x—1)—mV0,f(x)<0,

即函数/(x)在(-8,0)上单调递减.当x>0时，令h(x)=e、(x-1)-m,hz(x)=exx>0,所

以h(x)是增函数.

h(0)=-1—m<0,h(m+1)=em+1-m-m=m(em+1—1),

因为m>0,所以h(m+l)>0,

所以存在唯一XoE(0,m+1),使得h(Xo)=O,所以/''(Xo)=0.

即OVxVXo,f(x)<0;当x>Xo,f'(x)>0,

故函数/(x)在(O,Xo)上单调递减，在(Xo,+8)上单调递增，所以Xo是/(x)的极小值点、.

综上所述，函数/(x)的极值点个数为1.

(2)当mW—1时，ex(x—1)—m>ex(x-1)+1>0,所以(x)>0,

所以函数/(x)在(0,+“>)上单调递增.

-A-「a+b+c4^^

因为a,b,cW(0,+8),所以a<a+b+c,即/(a)V/(a+b+c),----<--------.

a3iDic

所以(a+b+c)(ea4-m)<a(ea+b+c+m).

同理可得(a+b+c)(eb4-m)<b(ea+b+c+m),(a4-b+c)(ec+m)<c(ea+b+c+m)

所以(a+b+c)(ea+m+eb4-m+ec+m)<(a+b+c)(ea+b+c+m).

a-b-c

所以e"b-c_|_ec-a-c_|_ec-b-c<1_2me-.

当m>-l时，由(1)可知，/'(x)在(0,+8)上存在唯一的零点xo,

且函数/(x)在(0,x0)上单调递减，在(X。,+叫上单调递增，

取a=b=c=三，则f(a)>/(x0)=/(a+b+c),

即(a+b+c)(ea+m)>a(ea+b+c+m).同理可得(a+b+c)(eb+m)>b(ea+b+c+m),(a+

b+c)(ec4-m)>c(ea+b+c4-m).

所以e-c+ec-a-c+ec-b-c>1_2me-a-b-c,与已知矛盾.

所以m的取值范围是(一8,-1].

例5.已知函数/(x)=ax-alnx-不

(1)若不等式/(x)<0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数y=f(x)有三个不同的极值点X],x2,x3,且/'(Xi)+f(X2)+f(X3)43e2-e,

求实数a的取值范围.

【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+8),不等式/(x)V0恒成立，即a(x-lnx)〈土在

X

(0,+8)上恒成立，

[己u(x)=x—Inx,贝，(x)=1--=—,

得到u(x)在区间(0,1)上u(x)<0,u(x)单调递减,

在(1,+叫上u'(x)>0,u(x)单调递增，

则U(X)min=Ml)=1,即U(X)>1在区间(0,+8)上恒成立,

分离变量知：aV三赤=g(x)在(0,+8)上恒成立，则a<g(x)min,

,ex(x2-xlnx)-ex(2x-Inx-1)ex(x2-xlnx—2x+Inx+1)

8(X)=(x2-xlnx)2=(x2-xlnx)2

_eX[(x_l)2_(x_1)lnx]_eX(x_l)(x_lTnx)

一(x2-xlnx)2-—(x2-xlnx)2-'

由前面可知，当x€(0,1)U(l,+8)时，u(x)=x-Inx〉1恒成立，即x—1—lnx>0,

所以g(x)在区间(0,1)上g(x)VO,g(x)单调递减，

在区间(1,+8)上g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)min=g(l)=e,所以ave。

小f'(V、_naex(x-l)_ax(x-l)ex(x-l)_(ax-ex)(x-l)

/，

设曲线y=e*图象上任意一点(ex)z=ex,

所以曲线y=e*在点(t,et)处的切线方程为y-=e「(x-t),

将(0,0)代入得0—3=3(0-t),t=1,故切点为(l,e),

过。0)的切线方程为y-e=e(x-1),y=ex,

所以直线y=ex和曲线y=e'相切，并且切点坐标为(l,e),

所以当且仅当a>e时，方程ax—e'=0有两个不相等的实根Xi,x3,并且0<Xi<lVX3,

X1

从而当a>e时，/(x)有三个极值点X],x2,x3,并且0<Xi<x?=1<X3,=e,

X3

ax3=e,

取对谡攵夕"：InaIlnxt=x1,InaIInx3=x3,即Ina=X]lnxt,Ina=x3lnx3,

eXieX3

则f(X1)+/(X)+f(x)=a(Xi-InxJ-—+a-a+a(x-lnx)--

23xi33X3

2

=alna—a4-a—e+alna—a=2alna—a—e<3e—e0

构造g(a)=2alna—a-e(a>e),g'(a)=2(lna+1)-1=21na+1>0在a>e时恒成立,

则g(a)在区间aG(e,+8)上单调递增，且g(e?)=2e2lne2-e2-e=3e2-e,

22

从而f(X])+/(x2)+/(x3)—2alna—a—e—g(a)<3e—e的解为a<e,

2

综上所述e<a<eo

31-x

例6.已知函数/(x)=axe-ln(ax)-l(a>0)有三个零点x-x2,x3(Xi<x2<x3)o

(1)求a的取值范围；

(2)证明：aeXs>e;

(3)记f(x)极大的极值点为x(),当巴Aa时，证明:/(xxx)+/(ax)>0

x21232o

【解析】(1)ff(X)=ael"(2^3-x4)-1,

(i)当xN2,f'(x)VO,<x)单调递减;

(ii)当xG(0,2),记g(x)=寄，g'(x)=x.臂4),

当xW(O,l),gz(x)>0;当xW(l,2),g?(x)<0,

所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)上单调递减,g(x)<g(l)=1,又g(0)=0,g(2)=0

所以0<g(x)<1

A.当aW(0,1],f'(x)>0,f(x)单调递减,至多一个零点,矛盾；

B.当a>l,/'(x)=a(g(x)-!,由(ii)知，/(x)有两个零点，记/(x)两零点为m,n,

X

且mVl<n,/(x)在(0,m)上单调递减，在(m,n)上单调递增，在(n,+叫上单调递减，

因为/(n)>/(I)>0,令p(x)=xeif,(0<x<1),10]pz(x)=(1—x)e1-x>0,(0<x<

1),

所以0V：V1,f=:1ea-1—1<^•e1-1-1=0,

于是f(n)>0,/(m)<0,且x趋近0,/'(x)趋近+8,x趋近+8,f(x)趋近-8于是函数有三

零点Xi,x2,x3,

综上a>1符合题意;

⑵/(x)=0,这等价于詈=必警，即黑=筌，

由(1)可得XiV2<X2<1<X3,则aexi〈e,eX2<e,aex>e,eX3>e,

a3

令t(x)=等，则/(x)=g

所以t(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

XzX3X2X3

所以t(aexi)=t(e),t(aex3)=t(e),所以aex】=e>aex3=e

Xi-InXi=Inea=m

则Xi,X3满足｛m>1,

x3—lnx3=Inea=m

要证ae'iX3>e,等价于证X1X3>2—m,

〃.,XiInXi—m,,、,,/zxx—1

易知(_m，令q(x)=x—lnx,则q(x)=—

X3-inX3—nix

该函数在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

下面证明Xi+X3>1+m,由X1VX3,即证q(xj>q(l+m—X]),

即证m>1+m—xx—ln(l+m—x]),

即证0>1—Xi-ln(l+Xi-InxI=1-xx-ln(l-Inx1),

即证_1+inxi<0,Xje(0,1),

令c(x)=e1-x-14-Inx,x6(0,1),c'(x)=”,

令y=-xe1f+l,v=(x-l)e1-x<0,(xe(0,1)),所以y=+1>0,

_yO]1

所以c'(x)=——---->0,c(x)<c(l)=0,所以e1fi-1+\nx1<0,x16(0,1),

所以X1+x3>1+m,所以x/3—1>EX1X3=x1+X3—2m>14-m—2m=1-m,

所以x〔X3>2-m,所以原命题得证；(3)记k(x)=f(x)+f(2x2-x),k'(x)=f'(x)-

7

f(2X2-x),k''(x)=f''(x)+/''(2x2-x)

1-x2

记f(x)=l(x)=X-+ae(x-4x+2)的零点为x(),

1'(x)=-三+ael—x(-x2+6x-6)在(O,Xo)为负，所以l(x)在(0,x())单调递减，

记W(x)=2；°-x+ln(-x3+4x2-2x),w，(x)=(-3无.产+①

、7-X2+4X-2、八\/X(-X2+4X-2)2，

W(X)单调递减，

令w(x)>w(l)=0,x<1,这说明X2VX0,

于是有k'(x)=l(x)+1(2X2-X)>l(x)+l(2x0-x),由对称性，即证明x>x0时y(x)=

l(x)+l(2x0-x)>0,显然成立。所以X2-X。-21nx()<0,

所以X2—X。<21nx()V2(x0-1),Pp3x0-x2>2,得证.

在(0,+期单调递增，

即J+ae2-X(X2—8X+12)>0,显然成立。

于是恒有k'(x)30,既k'(x)在(Xg+8)单调递增,kz(x)>k'(xj=0,

即k(x)>k(x2)=0,••・/XX1X2X3)+/(ax2)>/(ax2)-/(2x2-,

又,•,ax2〈X3,且f(x)在(X2，x《)单调递增，故只需证明：ax2>2x2-x1x2x3,

既X]X3>2-a,由(2)XiX3>1-Ina,故只需证InaWa-1,这是成立的。

原不等式得证。

例7.已知函数f(x)=alnx,g(x)=(x-l)ex,其中a为实数。

(1)若函数/(x),g(x)的图系在x=1处的切线重合，求a的值;

(2)若a>e,设函数h(x)=/(x)-g(x)的极值点为X。。求证：①函数h(x)有两个零点X1,

(Xi<X2);②3x()-Xi-X?>1。

【解析】(1)由题意得：/(x)=alnx,x>0,f7(x)=故/''⑴=a,

X

g(x)=(x-l)ex,g/(x)=ex-X,g(1)=e,

因为函数f(x),g(x)的图象在X=1.处的切线重合,

故/(l)=g(1)解得a=e。

(2)①h(x)=/(x)—g(x)=alnx—(x—l)ex,x>0,

则h'(x)=2—xe',其中a>e,令m(x)=h'(x)

X

又m(x)=一^一ex(x4-1)<;0,故h'(x)在(0,+*上单调递减,

据h(1)=a-e>0,hz(a)=1—aea<0,

故X。G(l,a),

且当xW(O,Xo)时，hz(x)>0,h(x)在(O,Xo)上单调递增,

当xW(x(),+8),hz(x)<0,h(x)在(x°,+8)上单调递减,

由(1)知，h(l)=0,故x1=l,

所以h(x。)>h(l)=0o

下面证明h(a+1)=aln(a+1)—aea+1=a[ln(a4-1)-ea+1]<0,

令?(x)=Inx-x+1,x>0,(x)=j—1=

当xw(0,1)时,/(x)>0,9(x)在(0,1)上单调递增，

当X€(1,+8),/(X)V0,9(x)在(1,+衿上单调递减，

故?(x)〈中(1)=0,Kplnx<x-1,当且仅当x=l时取等号，

所以ln(a4-l)<a+l—l=a,

且ln(x+l)?x,ex>x4-1,ea+1>a4-l+l=a4-2,

所以h(a+1)=a[ln(a4-1)—ea+1]<a[a—(a+2)]=-2a<0,

故存在X?G(x0,a+1),使得h(x)=O0

综上所述，h(x)在(0,+8)上存在两个零点Xi=1，x2E(x0,a+l)o

②要证3xo-xx-x2>1,即证3xo-x2>2,

X2

因为X?是函数h(x)的零点,故alnx?=(x2-l)e,

又X。是函数h(x)的极值点，故3=x()eXo,

x0

X2

所以xae'。-lnx2=(x2-l)e,=鲁

又3_〈也二=1,所以之即eX2-xo〈x汽

)：2-1X2-lXQ

例8.已知函数f(x)=x2-alnx+x(aGR).

(1)当a=3时，求函数/(x)的极值；

(2)设函数g(x)=f(x)-x,若g(x)有两个零点Xi,x2(xt<x2),且X。为g(x)的唯一极值

点，求证：x1+x2>2x0.

【解析】(1)当a=3时，/(x)=X?-31nx+x,定义域为(0,+8),

〜O3.-2X2+X-3(X-1)(2X+3),、八、

fW=2X--+1=-z-S»-=---A----(X>0),

所以/(x)在区间(0,1),f(x)<0,/(x)递减；在区间(1,+8)J(x)>0J(x)递增.

所以/(x)的极小值为f(l)=2,无极大值.(2)g(x)=x2-alnx(x>0),g(x)=2x--

X

2x2-a

当aWO时，g(x)>0在(0,+8)上恒成立，g(x)在(0,+8)上递增，不符合题意.

当a>0时，g(x)在区间(0,电)，g(x),g(x)递减；

在区间(\,+8),g'(x)>O,g(x)递增.

所以g(x)的极小值点为x=日,

g(l)=l>0,

2

则g(*)=(Jl)-axlnqVO,

要使g(x)有两个零点,

|-1ln|=|(l-ln^)<0,l-ln1<0,ln^>l=lne,a>2e,

则；,e,F>Ve>1,

对于函数G(x)=x-lnx(x>0),G(x)=1--=—,

XX

所以G(x)在区间(0,1),G(x)<0,G(x)递减；在区间(1,+8),G(x)>0,G(x)递增.

所以G(x)>G(l)=1>0,所以x—Inx>0在(0,+8)上恒成立.

则g(a)=a2—alna=a(a—Ina)>0,

所以不妨设1<X]V/|<x2<a,

n=X2

由g(Xl)=g(X2)=0,得淄al2

4^=t,t>1,即蜉-alnxi=-aln(tXi),整理得戏=专学

要证Xi+x2>2x0,即证Xi+tx1=(t+l)xi>2x=V2a,

即证(t+l)2x：>2a,即证(t+1)2含>2a(a>0,t>1),

即证(t+l)lnt>2(t—1),即证lnt>受三.

设函数h(t)=lnt-管

h⑴=工一2(t+i)—2(i)=(t+i)jt=>0

l't(t+l)2t(7+l)2t(t+l)2'

所以函数h(t)在(l,+8)上递增，所以h(t)>h(l)=0,

所以h(t)=Int—幺口>0,lnt>巴

'kJt+i't+i'

所以X]+x2>2x0.

例9.已知函数/l(x)=ax?+Mx,g(x)=2x+|lnxo

(1)若f(x)Jg(x),求a的取值范围；

(2)记/(x)的零点为Xi,x(x<x),g(x)的极值点为Xo,证明：—>4exo

2t2x20

【解析】(1)记h(x)=/(x)-g(x)=(1-；)Inx+ax2-2x>0,

①当a42时，取hG)〈O,不符条件;

2ax2-2x+l-1(2x-l)(ax-l+1)

②当a>2时，h'(x)=

XX

令h(x)vo,hz(x)>0,.・・11,)在(0，)单调递减，在G，+8)单调递增,

^^hg)=g-l)ln2+2-l>0,即aN部,

则a的取值范围为［鬻器，十8)；

(2)•Jg'(x)=2+/,

令g'(X)=o,

则X。二一:，4exo=-ea,

且f'(x)=2ax+g

X