广东省广州市天河区2025-2026学年高二年级上册期末调研考试数学试题

广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知点，0,3),6(2,3),则直线的倾斜角a-()

A.0°B.45°C.90°D.135°

2.已知数列｛4｝是等比数列，若七号"=2,则公比夕二()

A.~B.yC.-1D.1

3.已知直线/平分圆*-2)2+(歹-1)2=16,且与直线3x-2y+l=0垂直，则直线/的方程为

()

A.3x-2y-4=0B.2x-3.y-l=0

C.2x+3y+7=0D.2x+3y-7=0

4.如图，在三棱锥力-灰?。中，上是C。的中点，点尸在花上，且即=2*4.设前=3，

AC=b而=-则直线8户的一个方向向量为()

B.a--b--c

33

D.a-h--c

66

5.已知数列｛q｝的首项q=l,且点(〃,。”)(〃61<)都在一条斜率为2的直线上，则数列

------的前50项和为()

4。"+1,

49「98「50、100

A.—B.—C.—D.

9999101101

6.如图，正方形48C。和正方形月5月/的边长都是2,且二面角。-48-/的大小是60。,

试卷第1页，共4页

则DE=()

E

A.2V2B.屈C.V14D.4

5v2v2

7.直线y=与双曲线4—土=1(。>0)相交于4,8两点，且48两点的横坐标之积为

3。-6

-9,则双曲线的离心率为()

A.§B.§C.量3D.辿

5353

8.已知实数X,y满足(x+3)2+/=4,则|3x+4y-2］的最大值为()

A.1B.11C.21D.31

二、多选题

22

9.已知圆G：./+/=1,|slC2:x+y-2x+2>/3y+m=0,贝U()

A.tn<4

B.直线4x-3y-6=0与圆G相切

C.当机=3时，圆£与圆G外切

D.当机=1时，圆G与圆有公共弦，且弦长为打

10.设O为坐标原点，直线》=石(..1)过抛物线。：/=2〃武〃>0)的焦点尸，且与C交于

A,B两点(其中力在第一象限)，则()

A.p=2B.

C.\AF\^\BF\D.△048为直角三角形

11.在空间直角坐标系。一个2中，已知点。(2,1,3),向量〉=(1,2,-2),直线/过点。巨以m

为方向向量，平面。过点。且以方为法向量，则()

A.当动点”(x,y,z)在直线/上时，有x-2=9=三3

B.当动点M(x,y,z)在平面a上时，有x+2y-2z+2=0

试卷第2页，共4页

C.当动点M(x,y,z)在直线/上时，|0M|的最小值为芈

7

D.当动点"(x,y,z)在平面a上时，|OM|的最小值为:

三、填空题

12.已知椭圆江+广=1的两个焦点为尸一6，点夕是椭圆上一点，且归用尸周=2,则

1612

/Pg=.

13.过点(-1,0)作直线/，若/与圆(x-l)2+/=3有公共点，则直线/的斜率〃的取值范围

是.

14.某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可

达到50%,每年年底扣除下一年的消费基金250万元后.剩余资金投入再生产作为第二年

的年初资金.设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为/，%，/，…(单位：万

元)，则数列｛为｝的通项公式为%=.

四、解答题

15.如图，在长方体力4。-44GA中，AB=AD=4,44=2,点E,F,G分别在楂力/,

44,4。上，点P,分别在棱CG，CD,C8上，/1,£=A｝F=Afi=CP=CQ=CR=\.

/a

(1)求和Eb所成角的会弦值；

(2)求证：平面EFG〃平面PQ?.

16.已知数列｛q｝的前〃项和为S.,且首项q=2,凡.|=2S“+2(〃WN).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

试卷第3页，共4页

(2)若b0=；,令&=《也，求数列｛qj的前八项和9.

17.已知椭圆。:1+5=1伍＞人＞())的右焦点为厂(2,0),斜率为-1的直线/与。交于/,

a~b~

B两点、,且线段的中点为知(2,1).

(I)求椭圆C的方程；

(2)若点P满足丽+成+丽=0，求证：|短|+|而|=6|而

18.如图，在四棱锥中，底面48CD是正方形，侧棱尸。_L底面488,PD=DC,

E是尸。的中点，作EF工PB交PB于点、F.

⑴求证：P8上平面EFD；

(2)求平面尸8C与平面PBD的夹角的大小；

(3)若点M为三棱锥B-EFD的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值.

19.在平面直角坐标系xOy中，点E到点(0,1)的距离等于点E到直线y=-i的距离，记动

点E的轨迹为C.

(1)求。的方程；

(2)若点尸是x轴下方(不含x轴)一点，C上存在不同的两点48满足以,P8的中点均

在。上.

(i)设48中点为"，求证：轴；

(ii)若尸是半圆/+)/=](八0)上的动点，求△产力8面积的取值范围.

试卷第4页，共4页

《广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABDDCACCACDABC

题号11

答案BCD

1.A

【分析】先根据两点求出斜率.再应用倾斜角和斜率关系求解.

【详解】因为点4L3),B(2,3),所以直线14的斜率为善=0,

2-1

所以直线48的倾斜角a=0°.

故选：A.

2.B

【分析】根据等比数列的通项公式计算即可.

【详解】设等比数列｛%｝的首项为外,公比为夕，

mil《+%=%+a闻2=1+/=L=

Will3/n\/

%+4/q+aqq

所以夕=g.

故选:B.

3.D

【分析】由直线/经过圆心且与直线3x-2y+l=0垂直计算可得.

【详解】因为圆*—2)2+5—1)2=16,

所以圆心为(2,1),

因为直线/平分圆，所以直线/必须经过该圆心，

又因为直线/与直线3x-2y+l=0垂直，

直线3x-2y+l=O的斜率为T，

2

由两条垂直直线的斜率乘积为-1,得直线/的斜率为-(

2

代入圆心(2,1)和斜率可得2x+3y—7=0.

故选：D.

4.D

答案第1页，共13页

【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可.

【详解】根据题意可得，

~BF=~BA+JF=^AB+^AE=^AB+-\^4C+U+*.

33(22厂66

1-i

所以直线8户的一个方向向量为2-丁乙

66

故选：D.

5.C

【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项和公差，再利用裂项相消法求和计算作答.

【详解】因为点(〃,a,J(〃eN)都在一条斜率为2的直线上，所以设该直线为y=2x+6,所

以%=2〃+b,因为4=1,所以％=2+6=1,

解得6二一1,所以%=2〃-l(〃wN)所以设所以

。二(2-1)；2〃+1)=电—?)设匕｝的前〃项和为弘

故选：C.

6.A

【分析】先判断二面角力-/产的平面角为N£?C=60°,然后根据向量的模的公式以及

向量数量积的定义进行计算即可.

【详解】因为正方形48CZ)和正方形力此人所以

因为平面/IBCDc平面ABEF=AB,二面角D-AB-F为大小是60°,

所以N£8C=60'，因为砺=反+屈+诟，

所以|国=，(觉+次+碉2=7DC+CB+BE42DC'CB^.DCBE-Q.CBBh

因为正方形力88和正方形ABEF的边长都是2,所以诙，赤？=诙2=4，

因为。C_LC8,QCJ.8E,所以2反G=2成瓦=0，

而C45后=,司|瓦^cosl20°=-2,

所以|瓦卜ylDC2+CB2+BE2+2DCCB+IDC^E+2而麻=74+4+4-2x2=2及.

故选：A.

答案第2页，共13页

7.C

【分析】联立直线与双曲线方程，然后根据韦达定理求出“，进而得到双曲线的离心率.

【详解】因为直线y=与双曲线工-二=1(〃>0)相交于48两点，

3a'6

所以联立该直线与双曲线方程得x2_.

化简得(50-3/)/-18/=0.

设题内,必),46,必)，因为43两点的横坐标之积为-9,

所以根据韦达定理得4q=备》解得〃=JiTi或〃=—(舍去),

所以双曲线的离心率为e=£=

a

故选：C.

8.C

【分析】应用三角换元，结合辅助角公式及三角函数值域计算求解.

x+3=2cos0

【详解】因为(X+3)2+JJ=4,则设

y=2sin夕

则3x+4y-2=3(2cose-3)+4x2sine-2=6cose+8siii0-ll=10sin(6+8)-ll,其中

3

tan(p=—,

4

则|3x+4y_2]=|10sin(<7+p)-l1|,

当sin(e+e)=-l时，13x+4尸-21取最大值为21.

故选：C.

9.ACD

【分析】根据圆的定义、点到直线的距离公式、圆与圆之间的位置关系、公共弦等知识逐项

计算判断即可.

【详解】将圆G的方程化为标准方程为(x-l『+(y+6『=f?+4.

贝+解得机<4,A正确；

圆G的圆心为G(o,o),半径为4=1，

答案第3页，共13页

由于圆心G(0，0)到直线4X-3)，-6=0的距离为/尸,=1>1,

1平+3~5

所以直线4x-3y-6=0与圆G相离，B错误；

当机=3时，圆G：(x-i)2+(y+6『=i，所以圆G(L-石)，半径为4=1.

那么圆GC的圆心距为|GC|=«^=2=4+G，

所以当〃?=3时，圆G与圆G外切，C正确;

当〃7=1时，圆G：(x—iy+(y+6)=3，所以此时圆c?(1,一行)，半径为4=6.

那么圆C],。2的圆心距为IGC?1=\ll+3=2<t\+r2,所以圆£与圆G相交，

设圆G与圆G的公共弦长为九则|CC卜

化简得两边平方得而二尸二3,

解得"=百或d=-G(舍去)，所以D正确.

故选：ACD.

10.ABC

【分析】先求出P的值，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义和弦长公式求解弦长,

最后根据向量的数量积判断三角形的形状.

【详解】对于A,抛物线。:/=2〃*(〃>0)的焦点/(30),

又直线好百(1)过抛物线的焦点凡所以0=6借-1),

解得P=2,所以A正确；

对于B,C,由〃=2可知抛物线V=4x,焦点厂(1,0),准线方程为x=-l,

联立｛；2=£“一°，消去V并整理得：3--10x+3=0,解得玉=3,9=；，

则|明=%+1=4,忸曰=当+1=?\AF\=3\BF\

所以M卸=|叫+幽=字\AF\=3\BF\t所以B,CiE确；

对于D,因为力在第一象限，再=3,x2=1,

答案第4页，共13页

所以必=而（再-1）=2囱,必=店（二一1）=一述，

3

即力（3,2e）,4《,一丝），

33

则04=（3,2扬,OB=4,卷3’

33

所以科.砺=3x，+

=1-4=-3<0,

3

所以0/O8为钝角，故D错误:

故选：ABC

11.BCD

【分析】A根据两“判断；C求点。到直线/的距离即可；B根据的计算；D求点。

到平面。的距离即可.

【详解】CA7=（x-2,y-l,z-3）,丽=（2,1,3）,

当动点MCv/,z）在直线/上时，有QMiiu,则x-2=J」=j[,故A错误;

2-2

当动点M（x,y,z）在直线/上时，

而在〉上的投影向量的模为至二|2+2-6[=2

J1+4+43

则O到直线/的距离为'函-8=/4+1+9）-图:竽，

则|OM|的最小值为卓.故C正确；

当动点M（x,y,z）在平面a上时，QM±U,贝ijx-2+2（j-l）-2（z-3）=0,

则x+2y-2z+2=0,故B正确；

因为而在工上的投影向量的模为：，所以|。必的最小值为：，故D正确.

答案第5页，共13页

•o

故选：BCD

l2-f

【分析】根据椭圆定义得|P£|+|P闾=8,联立|尸耳|一|尸用=2,解出归尸居再利用勾

股定理即可得到答案.

【详解】根据椭圆方程/+乙=1,有。=4,^=716^12=2,则山闾=4,

1612

因为点尸在椭圆上,所以有|「制+|尸周=8,因为|尸制一|尸q=2,

所以|PK|=5,|P周二3,

则归闾.忻闾'I尸国2，

则/尸6月='.

故答案为：y.

13.卜石,石］

【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系来求解.

【详解】由题意可知，直线，：），=履+3圆心。,0）,半径为石，

因为直线与圆有公共点，则圆心（L0）到直线/的距离窄［K6,

得-仆WkW6,

故直线I的斜率左的取值范围是

故答案为：［-73,73］

14.100-1.5"-1+500

【分析】先根据题意列出递推式，然后对.等式进行变换，根据等比数列的定义判断{4-500}

是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果.

答案第6页，共13页

【详解】由题意可知，第一年年初资金为％=600.

第二年年初资金为%=600x(1+50%)-250.

第三年年初资金为例=[600x(1+50%)-250]x(l+50%)-250.

以此类推，可得到4=x(1+50%)-250=1.5%一-250.

则有^-500=1.5(a„_1-500),Wa,-500=100*0,

所以数列｛%-500｝是公比为1.5的等比数列，且首项为100,

所以有/-500=1001.5"-1,即％=1001+500.

故答案为：1001.51+500.

5⑴常

(2)证明见解析

【分析】(1)先建立空间直角坐标系，列出向量西，丽的坐标，然后根据向量夹角的余弦

公式求出BDX和EF所成角的余弦值.

(2)要证明面面平行，网需要证明一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，即证明

GF//平面PQR和EF"平面PQR.

【详解】(1)根据题意，以。为原点，以。4。。,。〃所在直线为》//轴建立空间直角坐

标系，如图，

则4(4,4,0),A(0,0,2)1(4,0,1),尸(4,1,2).

所以西=(-4,-4,2),而=(0,1,1).

所以8啊妙髓二—十

所以和"'所成角的余弦值为|cos(西,瓦制=骼.

(2)证明：连接取44，。。的中点分别为S.T,连接力S，G7\

因为务■=»=:，所以G///A4.

4L)y/1|I5y4

因为条=/=:，所以。火

CZ?C84

答案第7页，共13页

因为DB//D\B\,所以GFI/QR.

又QRu平面尸QR,而G尸不在平面尸。火内，所以G/〃平面尸。火.

因为=AE=A1F=FS=1,CP=PC】=CQ=QT=T,所以EF//AS,PQ/.

而4S7/CJ,所以EF//PQ.

又PQu平面P。/?,而不在平面PQR内，所以防〃平面P。/?.

乂EFcGF=F,ERG/7u平面EFG,所以平面EFG//平面PQR.

ff",

16.（l）aff=2x3

⑵7>>竽x3”

【分析】（1）利用4与s”的关系化简即可证得竽=3,根据等比数列的通项公式计算即可

得出结果；

（2）由（1）可得g=〃3",利用错位相减法即可求得答案.

【详解】（1）由％=2S.+2（〃cN）可得知=2S,i+2（〃N2,〃cZ）,

两式相减可得即1-氏=2/，整理得巴旦=3,〃之2,〃eN',

又q=2,a2=2S]+2=24+2=6,贝ij=3,

a\

所以数列｛““｝是首项为2.公比为3的等比数列.故凡=2X3“T（〃WN）

（2）由⑴,C“=2X3"TXX=〃.3"T,

2

0,2

.\7；1=lx3+2x3+3x3+L+（〃-1）x3""+〃x3""，①

l234

.\37；/=lx3+2x3+3x3+L+卜3"+〃x3",②

①一②得，一27；=1+3+于+…+于々一〃J=^--〃3,

1-3

答案第8页，共13页

所以7＞；+—x3”.

17•⑴呜+；

（2）证明见解析

【分析】（1）设力区,必）,8匕，为），利用点差法得到5上毕=2）+.二上孕二以=。,代

（To

入条件化简得/=2〃，结合力-〃=4联立求出a力，即得椭圆方程；

——1——

（2）由题意易得EW=］（以+E8）,结合所+或+而=。可得而=-2FM，求得点夕⑵-2）,

代入坐标化简得14（4一%）,|尸8（4-毛），利用（1）的结论计算即可证明结论.

22

X)H

—+*

--_庐=

2A

at

【详解】（1）设力（玉,必）,5仇，为），22

X2为

--+-

27信

a1

将两式相减，整理得（西十?西一七）干（乂+个乂匕）=0,

ao

因线段48的中点为M（2,l）,则有再f=：,又直线，的斜率为一1,故匕二正=7.

［必+为=2xf

42

代入上式，可得尸*。，即…①，又因E,即得—②,

故椭圆。的方程为。：?!印.

联立①②，解得〃=2=2,

（2）因线段力4的中点为，必（2,1）,则丽=g（9+而）,

故由所+或+而=0可得而=_2丽，

设点尸（〃?,〃），则（掰-2,〃）=一2（0/），解得m=2,〃=-2,即夕（2,-2）,则|所|=2,

/-2）2+4（1_1=也—3-4|=争—%）

又|£4|=J（匹一2）2+才=

同理I尸6|=争4T2）'

故|成1+1丽|=巫（4XJ+—（4x2）4J2—（X）xj4/2—42r2J2所.

答案第9页，共13页

18.(1)证明见解析

(3噜

【分析-】(1)建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可得出线面垂直；

(2)求出平面法向量，利用二面角的向量求法得解：

(3)利用向蜃证明线线垂直，得出点M的位置，设而=2万，由而.而=0求出点/的

位置，求出平面法向量，利用线面角的向量求法得解.

【详解】(1)由题意，ZMQCOP两两互相垂直，以。为原点，O4OCOP所在直线

分别为x轴、V轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设QC=1.

连接力C，交BD于点G,连接EG.

依题意得力(1,0,0),8(1JO),P(0,0,l)C(0,1,0)£(0,

则方丽

----------11

则PZT0E=O+-------=0,

22

所以P8J_QE,

由已知£F_LP4,且EFcDE=E,EF,DEu平面EFD,

所以P41平面以'Q.

(2)连接力。交4。丁G,贝i]4C_Z6。，

由于尸底面48CO,WCu底面48C。，则PO_L/C,

由于BD,PDu平面尸BD,BDC\PD=D,

则力C_L平面〃8。，

^C=(-l,l,0),PC=(0,l,-l),

设平面PBC的法向量〃=(x,y,z)，

答案第10页，共13页

万户8=0x+y-n=0

则J一，即〈

ii-PC=0y-z=0

取一组解为x=O,y=z=l,

则〃=(OJ1),

则网而讣盘=；,

则平面PBC与平面PBD的夹角为:

（3）由（1）得尸8_L平面EQ,

由于。尸u平面尸尸。，则。尸，8尸，

由于E是PC的中点，则E（0,g,；）,

贝ij一3E=(—1,一1为1)

则屁.瓦=_]x0+x卜H=0,gpBEIDE,

222

三棱锥B-EFD的外接球的球心必在DB中点,

即心触

设而=kPB=（4九一%）,则而=汾+即=（九/1,1一团，

由于。尸_L尸8,则万•方=3义一1=0，％="，

1