导数与数列的综合性压轴-2026高考数学一轮常考题

20.导数与数列综合问题研究

一.基本原理

1.将看g(〃)作为新数列｛&｝的前〃项和S“，求出对应的项％,则不等式即可看成是

的形式，可以通过证明项的大小关系(即〃>4)来得到和的大小关系

1=11=1

2.由函数不等式生成数列不等式

(1)In工,X-1,当且仅当x=1时取等号；ln(l+X),,x,当且仅当x=()时取等号.设an=-f

n

则lnjl+L]〈L,即姑四<,，进一步可得1。(〃+1)-11)〃<，.对111巴巴<,从〃=1

VnJnnnnnn

到〃进行累加，有In2—In1+In3—In2+…+ln(〃+1)—In〃<14----F…-i—,即

2n

In(z?+1)<1+—+…H—

2n

in(1A1i

(2)若=—7，则1+万■卜Zyy•因为皿1+x)<x,当x=时，

n~*=i\k)A=Ikk~

+对2从1到〃求和即得该不等式.

Ik-k-

(3)令贝!]ln(〃+1)>2

yjn五十耳十…

2x1“—

ln(l+x)>——,x>0,令x=—?=,可得ln|1+—-,进而

2+x\JnIA+2

In—>一一.通过累加可得\n(n+1)>

nJn+2

(4)设〃“二」■了则£lnJ.因为1【1(1+幻>；^,/>(),令x=!，

n+\«=ik«=]2(Z+1)2+xk

]_

则In1+->-^-=——>-----------，对k从1到〃求和可得一>£J—

Ik)2+12k+l2(Z+1)tTk±2(Z+1)

k

3.迭代放缩

(1).如果</(%),那么。用<尸«%)...广(%),这样的话，经过了迭代，我们

1

就能得到一个通项凡的估计.

所以，使用迭代放缩的关键是找到相邻两项之间的一个不等关系，而这也是这类题目的难

点，题干可能往往需要通过函数关系来生成迭代.

(2).在下面的例1与例2中，我们看到了这样的一个放缩模式：

考虑函数/(x)="zlnx+V+^x+cSzwO),通过选择合适的系数，做到如下递推关系：

4AlM=/(%)=〃,川="-1+4+她+'①,并且让%>1或者让%取到一个明显

的下界.(凌晨讲数学)

然后为了构造出迭代关系，我们选择放缩lnx<g"),放缩的依据就是为了让①式中的常

数项c被抵消，这样就可得到：

々用"《用一。<《为一〃)的迭代不等式.比如绵阳一

诊是lnxWx-l(x>l),之前的福建质检是当l>1时，

lnv<-(x-l),都是这个目的.

二.典例分析

例1.(2022年新高考2卷)已知函数

(1)当a=l时，讨论了。)的单调性；

(2)当x>0时，/(x)<-l,求”的取值范围；

(3)设〃eN",证明：,I+/I+...+/I=>历(〃+1)・

xT+1V22+2Ji

解析：(3)设q,="=：,设"的前〃项和为S.,贝”“=/〃(〃+1),当〃22时，

V1+〃

b=S-S.—/〃(〃+1)-Inn—,要想证明y-!——十----十…+/I>/〃(〃+1),

〃Vl2+1V22+2yjn2+n

即证明一7d=>ln—t即证明:+"〃>/〃"'即证明叵1耳>/〃”1

7n2+n〃“(〃+l)〃VnV〃+ln

令f=构造函数伊(f)="；-21n/(f>1),

..”(/)=]+J_：=f_；+1=('])尹'(/)>()在/€(1,一)上恒成立，六夕(/)>9(1)=()，

2

/.r-->21nr(r>l)/.^――->/在〃eM恒成立，

/1>1〃竺e/V*)恒成立，〃=|时，J>/〃2①，〃=2时，/1>ln-@f

〃=3时，!——>In-®,〃=〃-l(〃22,〃e时，/]------>,

v7

7^733而_])2+5一])H-1

_^=>Zn2±l(ne^),把所有不等式都相加，

/.J—+/1+...+/1>ln(n+1)成立.

VI2+1"+2J〃2+〃

所以原不等式,1+/1+...+/।>/〃(〃+1)

VI2+1V22+2J"+〃

例2.(江苏省南通市2025届高三二模)已知函数/(x)=ei-力〃cN*.

(1)证明：“力有唯一零点；

(2)记了(”的零点为明.

(i)数列｛q｝中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；

小)证明：2(内一1)〈£，《皆竺.

/=lai2

解析：(1)当“<0时，/W>0,所以/(*)在(TO,0)上无零点，因为r(,v)=ei+S>0,

X

所以“X)在(0,+8)上单调递增，所以“X)在(0,+。)上至多一个零点，当，7=1时，“X)有

唯一零点1.当〃之2时，因为/⑴=1一〃vO,/(/0=ev-'-l>e-l>O,所以函数/(“有

唯一零点，得证，

(2)(i)由(1)知，e^-'=—,且“”>(),两边取自然对数，得4+ln4=hw+l,①

所以4+i+lnq向=ln(〃+l)+l,两式相减，得⑸”一。“+lnq,+1—Inq=心上匚>。，所以

n

“T+IM句>4+1叫.因为函数y=x+lnx在(0,+8)上单调递增,所以见+1>%,所以数列

｛%｝单调递增.假设数列｛q｝中存在%，J，%+2成等比数列，则%，

所以21n—=1呻“+ln4M.由①式得,\nam=\nrn+\-amt代入上式，得

2hi(/w+1)-2a“川=In///-a,„+In(〃?+2)-an,t

3

2ag।-+4+2)=5.②因为〃”>°，所以(4+4+2)《2a”M-2M，嗫=0,

m(in+2)

又In'里穴=皿吗匚誓>lnl=0,所以方程②无解,所以数列｛%｝中不存在连续三项

in(/n+2)nr+2/n

按某顺序构成等比数列.

(ii)先证明：x>0时,x-lNlnx,③设g(x)=x-1-lnx,则='~~-,

所以当xe(O.l)时，g'(X)〈O,g(x)单调递减:当X£(l,+a)时，/(X)>O,g(x)单调递增，

所以g(x)Ng(l)=O,当且仅当x=l时，等号成立.由③式知，lnn=aH+ln^f-i>21n,7,1,

所以3KB尹,所吟>77^77=2(附-肛

所以［(而二?)+…+(&—I)］=2(VJTR_I).在③式中，令

x=%,得殳-121n生=1叫-ln〃，当且仅当。“=〃，即〃=1时等号成立，

〃nn

所以0=%+lna“-ln〃-14勺+4-2,所以小芸，+当且仅当〃=1时等

nH+｝421nJ

号成立.当〃22时，在③式中，^x=-t得,<ln〃-ln(〃-1),所以〃22时，

nn

V1_1,V1/1_1_"一1上1(1〃+11「八n11\/..(,\\~]«+1+ln/7

2--=1+L—<1+^-+7Z-T〈丁+5L(ln2-lnl)-..+(ln,Lln(〃-l))」=---.

<=lakr=2at//i=2《22」」2

,£1/7+1+\nn.、、~"/---rA1〃+1+ln〃,

当〃=1时，-2一成立.所以2("lT)<W——，得证.

例3.已知函数/(x)=co$x+?x2-1,aeR.

(1)若x=0是函数/(“唯一的极小值点，求实数。的取值范围;

(2)证明:

解析：(1)综上：从而实数〃的取值范围为［1,内).

(2)由(1)证明可知，当"=1且x>()时，-sinx+x>0即x>0,x>sinx,当.r>。时,

sin3x<lxS即"sin'vx，

ML/-31/.a2]-3I.320231232023

故可得：^sin-+^sin-+^sin--+...+^sin^-

22023

4.123202311232023卬1-田

令5=5+7+^+…+产r，5s=1+§+而+…+济T，两式相减可得:

4

23

1c11112023.IIY°20231,

2S=2+4+8+,"+2^"I5557,化简可得：5=2[\2)-^2O2T2-

例4.(绵阳市2025届高三一模)已知函数/(x)=hxr+x2-3x+〃，/(x)在(0』上的

最大值为』-ln2.

4

(1)求实数〃的值；

(2)若数列｛q｝满足2凡。向=/(。〃)+%“―1,且％=：・

(i)当〃N2,〃eZ时，比较。“与1的大小，并说明理由;

(ii)求证：3^|1-67,.|<2.

/=1

解析：(l)Qr(x)」+2x_3=(xT)(2xT),XG(o,l],当0<xv1时，x-l<0,

xx2

2x-l<0,r(x)>0,则/(力在[o,；]上单调递增，当，WxWl时，x-l<0,

2x-l>0,：.f\x)<Ot则/(x)在pl上单调递减，

(1\1।33

•・/(”)max=/T=1n~+T_~+d!=T-^n2,解得”=2.所以实数〃值为2.

12,2424

(2)(i)由⑴知，〃x)=lnx+f-3x+2,

]na+a2+]

所以2《闩田=Ina”+a；-3a”+2+3a”-1,即an+i=,

,、Ina”，

24

4

下面用数学归纳法证明>1,(〃22,〃eZ),当〃=2时，

]In"

a.>^-+1=-^3-+1>1,假设〃=攵(〃22/EZ)时，命题成立，则4>1,

2%£

3

5

、Ina.„,

当〃=Z+1时，有%+R「+1>1成立，所以上述命题对〃之2,〃EZ,均有。”>1成立.

(ii)当〃=1时，3|1-q|=1<2成立，当〃N2时，令。(4)二电土以，则“(x)=吁

XX

当Ovxcl时，。(力>0,当x>l时，d(x)<0,所以e(x)在(0,1)上单调递增，在

(1,+0。)上单调递减,则0(x)<°⑴=1,所以

In。〃+。；+1_11+lnan1//\\1+tz„-11

4Hu=5m/)+，)〈亍,即<］，又由

2

⑴知。〃>1,则「・3力|1-4|=3[(%-1)+3-1)+1+(4-1)]

2/■]

<3(q-1)(1H----1—y+LH-------।=3x—x—^—=21------|,Q—>0,.,.1-------<1,

LV1\2222”T)\31I丫2"T

2

即3?1一句<2,得证.

例5.(福建省2024届高三质检)对于函数/(x),若实数・%满足/(.%)=%,则称。为/⑺的

不动点.已知a20,且/(1)=51nx+0^+1-。的不动点的集合为A.以minM和maxM分别

表示集合用中的最小元素和最大元素.

(1)若a=0,求A的元素个数及maxA；

(2)当A恰有一个元素时，〃的取值集合记为山

(i)求B；

(ii)若。=1而118,数列q｝满足q=2,a“.i=""")集合。〃=归4一*｝，〃wN”.

4

求证：V/zeN",maxQ="•

解析：(1)当。=0时，/(x)=llnA+l,其定义域为(0.+8).由f(x)=x得fnx-x+l=O.

设g(x)=*—x+l,则/(力=毕,当小,时,/(x)>0当.Ec(；,+8)时,

2Lx\乙)

/(A)<0;所以g(”在卜单调递增；在(J，+8)单调递减，注意到g(l)=O,所以g(力

6

在；,引恰有一个零点h=1,且g(}g⑴=0,又g(e-2)=—e-2<0,所以

g(e-2)g］£)<0,所以g(㈤在(0，；)恰有一个零点小，即/(%)在；，+8)恰有一个不动点

x=l,在(0,；)恰有一个不动点x=x。，所以A={.q,1},所以A的元素个数为2,又因为7<1,

所以maxA=1.

当〃=0时，由(1)知，A有两个元素，不符合题意:当心0时，仆)=如+八］一〃，

其定义域为(0,+oo),由/㈤=工得』lnx+ax2T+［_a=0.设力⑴=-lar+ar2-x+1-a,

22

xe(O,+a>),则〃(x)=/+2s-l=4以二'"，设F(x)=4a-—2x+l,贝！)△=4-16a,

①当a*时，△W0/(x)20”(x)20,所以/?(x)在(0,”)单调递增，又〃(l)=0,所以才⑴

在(0，+e)恰有一个零点x=l,即人月在(。,+8)恰有一个不动点x=l,符合题意；

②当。故F(x)恰有两个零点内,王(百<七).又因为

F(0)=l>0,F(l)=4a-l<0,所以()<%<1，当］£(。,芭)时，F(x)>0,/f(x)>0；当

%€(芭,&)时，F(x)<0,/i,(x)<0；当xe(w，+8)时，/(1)>0,〃(工)>0；所以〃(x)在(0,可)

单调递增，在(小天)单调递减，在伍,也)单调递增；注意到网1)=0,所以/?(%)在(不乙)

恰有一个零点X=l，且力(菁)>〃⑴=0,"(电)〈〃⑴=。，又x->0时，力(x)—y,所以力(x)

在(。出)恰有一个零点/,从而/(“至少有两个不动点，不符合题意；所以〃的取值范围

为；，y),即集合3=：，+8).(凌晨讲数学)

(ii)由⑴知，8=!，+8］，所以a=min8=!，此时，/(1)='山+1/+。，

|_4J4'244

11q

h(x)=-\n.x+-x2-x+-,由⑴知,/?(x)在(0,+e)单调递增,

所以，当x>l时，〃(x)>〃(l)=O,所以/(x)>x,即旦。>1,

X

故若。>1,则a向>1,因此，若存在正整数N使得对m1,则叫41,从而。22«1，

重复这一过程有限次后可得q力，与4=2矛盾，从而，VneN\^>i,下面我们先证明

当x>］时,iar<-|(x-l),SG(x)=lnx-1x+1,二41,y),所以G(x),_'=

乙乙乙/-A

7

所以G(x)在(1,+8)单调递减，所以G(x)<G⑴=0,即当X>1时，1DA<^(A-1),

I］)3

从而当X>1时，++］一x<一。X,从而一改+^丫+4.1/»即

24444---------------1<7VX-1/

x4

“：)-1v；(x-l)，故‘口"_1<；(%_】)，即。”+1-1〈；(。"一1)，由于q+1>1，

所以4-1〉()，故以「1|<；1%7,故〃22时，

以7<加-「1|</1&「归一<击何-1|=击,

11"［1-~An"1、4zl

所以V〃WN',£|4—1K£^=-—=-1--<-,故maxC,,=Q,

hlE-1_2。I一，。J

4

(ii)解法二：同解法一可得，或”m心广匕下面我们先证明当不当时，hucx-1.

,

设G(x)=hu-x+l,则当汇>1时，G(x)=--\=—<0t所以G(x)在(1,+8)单调递减，

XX

I13

所以G(x)<G⑴=0,即liuvx-1,从而当x>l时,llnA<i(x-l)<^(x-l),

于是、01+工/+-;x,从而一""J+4］」n，即^

24444------X-------X小

故小/一］<：(/一］),即％+「1<：(勺一］),由于4)］%讨所以%一1>0,为「］)(),

故凡一1|，故此2时，*［〈加_1-1|<#“_2-1|〈一〈上|4一1|=击，

,±

»”［l/“I、44

所以7〃6<5何-1区£/=--=-1-而卜针故maxCLQ.

4

例6.(2017年浙江汨知数列何〃｝满足：再=1.凡,=兀句+ln(l+3)(〃tV),证明，当〃仁”

时，

(1)o〈w,；

YX

(2)2xn+1-A；<-^；

(3〉2«-i-Xn~2n~2,

8

解析：(1)用数学归纳法证明：人>。.当〃=1时，^=1>0.假设〃=攵时，占>0,那么

n=k+\时，若/+1WO,贝1)0<%=七+]+ln(l+/+JW0,矛盾，故天十|>0.因此4>0(weV*),

所以/二Xz+ln(l+x“+])>Z+],因此。<.r"("eN").

(2)由/=/+i+ln(l+/G得，x„xn+1-4x,r+1+2xn=-2xn+1+(x,r+l+2)ln(l+x„+1).记函

数/(x)=/一2x+(x+2)ln(l+x)(x>0),f\x)=+ln(l+x)>0(x>0),函数/(x)在

x+i

[0,+co)上递增，所以/⑶之/(())=。，因此七一2x»1+区+i+2)ln(l+x“+1)=/(x”+i)20,故

YY

2%7”二六四■(〃£2)

\XX

(3)因为X”=xn+i+ln(l+<+i)«x“+i+%“+i=2xn+l,所以52王丁，由六辿22xn+1-xtl,得

7-一；之2(}―；)>0,所以:一；之2(^1)>...>2,,-|(1-1)=2,,2,故白.

A/i+l一人"-八八-An-1一人i-乙

综上，击“七4击(〃wN)・

9

三.习题演练

I.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限

维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数

y=f(x),xe。，若存在与《。，使得/(%))=毛，则称是函数y=/(x)的不动点.已知

函数/(x)=31nx+or_6/+].

⑴若函数g(x)=/(x)+7x-"|只有一个不动点，求实数。的取值范围；

(2)当4=]时，数列｛凡｝满足：/“=/”+1.证明：对任意的〃eNZ

226a„

2

1《一1|+|。2-1|+…+k"T|<§.

3

【详解】(1)原题等价于g(x)-x=O,即/(x)+6x—1=0,即方程31nx+ar2+3=0有唯一

解，显然x>0,从而。=-3(叱+1)有唯一解,令心)=_3(叱+1),则

•X-X

=_3[x2x(：nx+I)]=3(2]y+l),当()</<十时,y'(x)<0,当x>+时，/(力>0,

所以U(X)在(0,6)上单调递减，在(近,+8)上单调递增，所以由=«%)=^，

注意到d』=0,当X趋于o时，y(x)趋于正无穷，当X趋于正无穷时，y(x)趋于0,从而

在平面直角坐标系中作出y=〃与)，的图象如图所示：

若a=_3(ln：+l)有唯一解,则当且仅当〃的取值范围为m=[0,+a)；

I2J

.13Ina+—a'—C)a+—hi

(2)第一步：4一1=一＞0,〃[_2""2_"2"2

2642《，

10

,12312兀异,1

AInXH—XH—-+x-Inx——

左〃2(力=-----1-2-l,(X>l)„f(x)=X2

4人2k

令叫(刈=：_?一lnx-g,(x>l),则"%(x)=x一，

O,(x>l),所以码(X)在(1,+8)单

乙乙X

调递增，从而小(X)^(l)=O,(x>l),这表明

22

—x2-Inx--

RW=---->。，(％>1)'

所以"《X)在(1,+8)单调递增,

.123

u丁\nx+—xH—

问=------------1>=0,(x>1)J

因为4>1,所以％-1>0,即/>1,依次类推可得&>1，。4>1门、

所以4f>l,〃eN*；

3,90313

3Ina+—%一6a4-——6a；+6aIna——a；+一

第二步：/"2""2"""2"2,

2%

771

i§：/z(x)=lnx--x2+—,(x>l),则〃<x)=—3x=^^•<O,(A->1),

乙乙X■A

所以〃(力在(1,+8)单调递减,

从而刀(力<刀(1)=0,

।3,3

In。”一”;+5

因为%>1,所以〃<()，即/+1<%，

u/l*la=-----------------

3

所以。用<为04=多〃6、，

始凡+；4-24+：

,12r3

第三步—小一^an+-an-2a.,+-,

4-14T2%(%-1)

2

F1IIA+-X-2X+-

3Q)=—2：(1)-2g"

2

则中)=:(1)、2|+(2x-l)lnx+-x-2x+-|

___、入JI22,

2x2(x-\y

ii

(^-l)3+(2x-l)^lnx+-^x2-2x+1^

gl)'

2-(if

设M.r)=lnx+gx2_2.r+|,(x>l),则](力