吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试题（含答案）

长春市2026届高三质量监测(二)

数学

本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确

粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹

的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书

写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正

带、刮纸刀。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-2,0,1,3},集合B={x|x²<4},则A∩B=

A.{-2,0,1}B.{0,1}C.{0}D.{-2,3}

2.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-2),若a⊥b,则x的值为

A.-4B.-1C.1D.4

3.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若S₅=35,S₁₀=120,则a₈=

A.13B.15C.17D.19

4.双曲线(a>0)的两个焦点分别是F、F₂,焦距为8,M是双曲线上的

一点，且|MF₁|=5,则|MF₂|=

A.1B.3C.7D.9

5.(1+ax)⁶的展开式中x³的系数为160,则a=

A.-2B.D.2

频率

6.某精密仪器厂生产一种标准长度为52mm组距

的金属垫片.现随机抽取200个垫片测量

6a

其实际长度(单位：mm),按长度分组并0.20

绘制出如图所示的频率分布直方图.若规定0.18

长度在区间(51,53)内的垫片为合格品，用0.07

样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片5051长度/mm

为合格品的概率为

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

数学试题第1页(共4页)

7.已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,球O与圆台的两个底面和侧面都相切，

则球O的表面积为

A.6πB.8πC.9πD.12π

8.已知实数m>n>1,若且m"=n",则m²+n²=

A.9B.21C.27D.30

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知复数,则下列结论正确的有

A.z的虚部是iB.z在复平面内对应的点在第二象限

C.z=1+iD.|z|=√2

10.已知函数f(x)=Asin(wx+4)(A>0,w>0,0<φ<π)的图象满足以下特征：图

象经过点(0,√3),并且在y轴右侧的第一个零点为,第一个最低点为则

下列有关函数f(x)及其性质的描述正确的是

A.

B.为函数f(x)图象的一条对称轴

C.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象

D.函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)

11.景区在春节期间推出A,B两种游玩套餐，已知某游客第一次选择A,B两种游玩套餐的

概率分别为和,若该游客第一次选择A套餐，则第二次选择A套餐的概率为

若该游客第一次选择B套餐，则第二次选择A套餐的概率为,则下列说法正确的是

A.该游客第一次选择B套餐，第二次也选择B套餐的概率为

B.该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小

C.若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为

D.若该游客第二次选择B套餐，则他第一次选择A套餐的概率为

(长春二模)数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=2*-2×,若f(2°)+f(-4)>0,则a的取值范围是

13.在△ABC中，已知a=2,A=120°,则△ABC的面积为_

14.已知椭圆C:1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F₂.P为椭圆C

上一点，|PF₁|=3|PF₂|.圆I与线段PF的延长线和线段PF₂的延长线分别相切于点

A和点B,与线段FF₂相切于点M,且F₁M=λFF₂,,则椭圆C离心率

的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50

名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理

各组人数如下列联表(单位：人).

身高

性别低于170cm不低于170cm合计

男82432

女12618

合计203050

(1)依据α=0.005的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有

关联?

(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率.

附：(a+bxc+axc+0x₆+d,其中n=a+b+c+d.

α0.10.050.010.005

xa2.7063.8416.6357.879

16.(15分)

在数列{an}中，a₁=2,an+1=3an-2.

(1)求证：数列{an-1}为等比数列；

17.(15分)

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2,且

(1)证明：AB⊥A₁C;

(2)若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3,求平面A₁CC

与平面A₁CB₁所成角的余弦值.

18.(17分)

已知抛物线E:x²=2py(p>0)上的点Q到焦点F距离的最小值为

(1)求E的方程；

(2)若点A,B在E上，且线段AB的中点在直线V=x上，点i,求△PAB面

积的最大值.

19.(17分)

在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=f(x)(单位：

千只)与时间x(单位：月),满足函数f(x)=e⁻cosx(x>0),其波动呈现“往复波

动，逐渐稳定”的特征.

定义：若函数g(x)在(a,+∞)上满足：

1.震荡性：g'(x)在(a,+∞)上无限次正负交替；

2.衰减性：任意给定正实数m,存在实数n,使得当x>n时，|g(x)km.

则称g(x)为震荡衰减函数.

(1)求f(x)在(0,2π)内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率

是否为0(不必证明).

(2)根据定义判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明；

如果不是，说明理由.

(3)设h(x)=|f(x)|+|f'(x)|(x>0).求证：h(x)无最大值.

(长春二模)数学试题第4页(共4页)

17.【详细解答】

2026年长春市高二毕业班质量监测(二)

(1)证明：取AB中点M,连结MC,M4

数学参考答案与评分细则

题号12345678

答案BACDDCBD

题号91011(2)由三棱柱ABC-ABC的体积为3.可知三棱锥4-ABC的体积为1.

答案BDACBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

即sinZA,MC=1,即,即AM⊥平面ABC.

12.a>214.

以M为原点，以M4方向为x轴，以CM方向为y轴，

以M方向为z轴，建立如图所示坐标系

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A(1,0,0),4(0,0.√3),C(0,√3,0),B(-2,0√3)

15.【详细解答】

AC=(-1,-√3,0),A4=(-1,0.√3),n=(√3,-1,1)

4C=(0.-√3,-√3),本E-(-2,0,0),n₂=(0,1.-1)

依据α=0.005的独立性检验，可以认为该学校高二年级学生的性别与身高有关联.

(2)从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率

即平面ACC₁与平面4CB,所成角的余弦值为

16.【详细解答】

(1)由题意即数列{a。-是公比为3的等比数列

(2)由(1)可得a。-1=(4,-1)×3”¹,即a=3”⁻¹+1,

b,=na,=n·3⁻¹+双

采用分组求和方式，设P为数列{#·3⁻¹的前n项和，Q为数列(n的前#项和，

则P,=1×3°+2×3+…n×3①

3P,=1×3³+……+(n-1)×3”¹+n×3”②

①-②可得：

数学答案第1页1共4页

18.【详细解答】19.【详细解答】

(1)由函数f(x)=e*cosx(x>0),

(1)抛物线E:x²=2py(p>0)的焦点,准线为

抛物线上的动点Q到焦点1F(o距离的最小值即为动点Q到准线的最小值，

在(0,2π)上，令f(x)-0,则为极小值点，为极大值点，

即,即2p=1,即E的方程为x²=y.

f(x)在(0,2π)内的所有极值点皆为使得f(x)-0的点，

即在这些极值点处，波动量的增长率为0.

(2)设AB的方程为y=kx+b,

(2)由(1》可知

与抛物线E:x³=y联立箔去9可得

则

x²-kx-b=0,x+x₂=k,xx₂=-b,√2e°<0,)在(0,+x)上无限次正负交替，则满足震荡性；

则y+y₂=k(x±x₂)+2b=k²+2h,

又|f(x)=e*cosx=e*|cosxe⁻,

即AB的中点在直线y=x上，

令e*<m,则x>-Inm,令n=max{-Inm,0},

即即2b-k-k²,当x>n时，|f(x)≤e³<丽，则f(x)满足衰减性，

综上，f(x)满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数

由弦长公式可知|AB|=√1+k²√(x₁+x₂)²-4x,x₂=√1+k²√k²+4b=√1+k²√2k-k²,(3)f(x)=e⁻*cosx,f'(x)=-e⁻(cosx+sinx),

(x)=f(x)|+|f'(x)=e(cosx+|cosx+sinx)(x>0),

点P到直线AB的距离为

不难看出A(x)>0恒成立，

h(x+)=e-+(cos(x+共)+1cos(x+π)+sin(x+π)),

即△PAB的面积

=c"c*(cosx+|cosx+sinx()=c"h(x)<h(x)

令√2k-k²=ue[0.1],即若(x)存在最大值点x,则x₀∈[0,π].

现研究f(x)在(0,π)上的单调性

①当x时，h(x)=e⁻(sinx+2cosx),H(x)=-e(3sinx+Cosx)<0;

令S'=0可得

②当x∈时，h(x)=e·sinx,(x)=-e(cosx-sinx)<0:

即S的最大值为