五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)04：一元（二元）一次方程及应用（教师版）

专题04一元（二元）一次方程及应用考情概览考点1方程实际应用考点1方程实际应用1．（2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．【答案】2∶3【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，∵加工时间相同，∴，解得：，∴；故答案为，．【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．2．（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案（写出要装运包裹的编号）．【答案】ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）ACE【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．【详解】解：（1）根据题意，选择ABC时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择ABE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择AD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择ACD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择BCD时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；选择DCE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；选择BDE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），不符合要求；选择ACE时，装运的I号产品重量为：（吨），总重（吨），符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ABE时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：（吨）；选择ACE时，装运的II号产品重量为：（吨）.故答案为：ACE．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．3．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键．设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可．【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，由，可得：，解得：；所以这只风筝的骨架的总高．答：这只风筝的骨架的总高．4．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.【答案】符合，理由见详解【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可．【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，由题意得：，解得：，∵，∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”．5．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）

【答案】边的宽为，天头长为【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可．【详解】解：设天头长为，由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为，装裱后的长为，装裱后的宽为，由题意可得：解得，∴，答：边的宽为，天头长为．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系．1．（2025·北京密云·一模）某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、B两种型号展板共100块，其中A型展板至少50块．已知购进2块A型展板和3块B型展板共需210元，购进3块A型展板和1块B型展板共需140元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由．【答案】该校计划投入的资金够用，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键．设购进1块A型展板需要元，1块B型展板需要元，根据题意列出方程组，解方程组可得，设购进A型展板块，则购进B型展板块，根据题意列出不等式，求出的范围，即可得出结论．【详解】解：该校计划投入的资金够用，理由如下：设购进1块A型展板需要元，1块B型展板需要元，由题意得，，解得：，设购进A型展板块，则购进B型展板块，由题意得，，解得：，投入的资金购进A型展板至少50块，该校计划投入的资金够用．2．（2025·北京东城·一模）编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个．【答案】编织大号中国结4个，编织小号中国结8个【分析】本题考查实际问题与二元一次方程，设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个，根据题意列出方程组，找准数量关系，列方程是解题的关键．【详解】解：设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个．依题意得解得答：编织大号中国结4个，编织小号中国结8个．3．（2025·北京门头沟·一模）随着农业技术的高速发展，新农机新农技的大量运用让中国的“饭碗”越端越牢．装有北斗导航的无人驾驶插秧机大幅度提高了插秧速度．现有种型号的无人驾驶插秧机若干台，农田若干亩．若插秧机的速度为每天45亩，则工作5天后还剩400亩农田未插秧；若插秧机的速度为每天50亩，则工作6天后还剩100亩农田未插秧，问有几台插秧机和多少亩农田？【答案】有4台插秧机，1300亩农田．【分析】本题考查了一元一次方程，设有台插秧机，可利用速度不同的为插秧的农田相差亩，列方程，即可解答，熟练找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设有台插秧机，则可得，解得，则农田为（亩），答：有4台插秧机，1300亩农田．4．（2025·北京顺义·一模）2016年1月1日，我国开始实行《环境空气质量标准》，首次将（颗粒物：粒径小于等于）纳入监测范围．2024年某科研团队根据研究成果，建议今后将限值标准（最大允许浓度）继续降低．具体数据如表：年份201620252035限值标准（单位：）3525a2035年比2025年的限值标准的降低率是2025年比2016年的限值标准的降低率的倍，求2035年限值标准a．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．根据2035年比2025年的限值标准的降低率是2025年比2016年的限值标准的降低率的倍，列出方程，解方程即可．【详解】解：由题意可知，解得：．5．（2025·北京石景山·一模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下：营养成分食品种类一盒牛奶一盒豆浆能量蛋白质脂肪碳水化合物钠钙某天，初中生小石从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．(1)小石喝了牛奶和豆浆各多少盒？(2)初中生每日脂肪摄入量约为．若小石这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由．【答案】(1)小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆(2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则运算的实际应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．（1）设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．”列方程组求解即可；（2）由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可．【详解】（1）解：设小石喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意：，解得：，答：小石喝了2盒牛奶和1盒豆浆；（2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下：由（1）知小石这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为，则这天小石这天共摄入脂肪，，∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标．6．（2025·北京西城·一模）为设计一类推理型模型，某公司计划投入2200万元购进A、B两种型号的芯片共1000片，其中A型芯片至少800片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元．为了满足基本需求，请判断该公司计划投入的资金是否够用，并说明理由．【答案】该公司计划投入的资金够用，理由见解析．【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．设该公司购进1片A型芯片需x万元，购进1片B型芯片需y万元，根据“购进2片A型芯片和1片B型芯片共需6万元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需6.5万元”，可得二元一次方程组，即可解得A型芯片单价为2.3万元，B型芯片单价为1.4万元，设购进A型芯片m片，则购进B型芯片片，知，可解得投入的资金最多购进A型芯片888片，故该公司计划投入的资金够用．【详解】解：该公司计划投入的资金够用，理由如下：设该公司购进1片A型芯片需x万元，购进1片B型芯片需y万元．由题意可知，，解得，设购进A型芯片m片，则购进B型芯片片，∴，解得，∴投入的资金最多购进A型芯片888片，∵，∴该公司计划投入的资金够用．7．（2025·北京丰台·一模）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：∵，，可设，，，由图可得，，∴，解得，∴，，，∴这个面的面积．8．（2025·北京大兴·一模）列方程解应用题小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程．【答案】所走高速公路的路程为550公里【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算．【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意得：，解得，∴所走高速公路的路程为550公里．9．（2025·北京通州·一模）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由．【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可．【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意得：，解得：，所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务．10．（2025·北京房山·一模）列方程解应用题：学校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，每次搞活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题，由于各次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距；若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少？【答案】字距为【分析】设字距为，则字宽为，边空宽为，根据标题字数为17个字可知，字数为17，边空为2，字空为，据此列方程求解即可得到答案．【详解】解：设字距为，则字宽为，边空宽为，依题意得：，解得，答：字距为．【点睛】本题考查了一元一次方程的\实际应用，根据题意，找准数量关系列方程是解题关键．11．（2025·北京海淀·一模）3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由．【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可．【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品．理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．依题意，得解得∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分．∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分．∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分．答：小明可以获得校园文创奖品．12．（2025·北京东城·二模）某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过．今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷；其中乔木的面积比今年减少，灌木的面积比今年增加．判断经过今明两年种植后该地区乔木面积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由．【答案】符合要求，理由见解析．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意得到等量关系式解题的关键．设今年种植乔木的面积为公顷，根据“计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷”列方程求出今年种植乔木的面积，进而求出今明两年种植乔木的面积，即可求解．【详解】解：符合要求，理由如下：设今年种植乔木的面积为公顷，则今年种植灌木的面积为公顷，由题意可得：，解得：，则今明两年种植乔木的面积为：，按照防风林工程要求种植面积不超过：，，今明两年终止后该地区乔木面积占比符合防风林工程要求．13．（2025·北京房山·二模）为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生．【答案】11名【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键．设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．然后列二元一次方程组求得x、y的值，进而完成解答．【详解】解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．依题意得：，解得，∴．答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生．14．（2025·北京朝阳·二模）根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积．某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由．【答案】绿地率可以合格，理由见解析【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目数量关系正确列式求解是关键．设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，由此列二元一次方程组求解即可．【详解】解：设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为，由题意可知，，解得，按照该方案改造后的绿地面积为，根据规定，该小区的绿地面积不得低于，∵，∴按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格．15．（2025·北京大兴·二模）列方程（组）解应用题：五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？【答案】购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元，再根据题意建立方程求出，再计算节省的费用．【详解】解：设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元，由题意可知，．解得：，，所以，答：购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元．16．（2025·北京顺义·二模）《中国居民膳食指南（2022）》推荐每人烹调油摄入量为克/天，烹调盐摄入量低于5克/天．2000年该地区居民的烹调油和盐人均摄入总量为65克/天，2025年的人均摄入总量为50.5克/天．2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了．请判断2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量是否符合标准，并说明理由．【答案】2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准，理由见解析【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设2000年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为x克/天，烹调盐摄入量为克/天，根据2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了，建立方程组求解即可．【详解】解：2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准，理由如下：设2000年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为x克/天，烹调盐摄入量为克/天，根据题意：，解得：，则2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为（克/天），烹调盐摄入量为（克/天），∵，∴2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准．17．（2025·北京丰台·二模）2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动