五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)13：函数的基本性质（教师版）

专题13函数的基本性质考情概览考点1列函数解析式考点2函数基本性质考点1列函数解析式1．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系【答案】A【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：，整理得：，，∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．考点2函数基本性质2．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：x0123456789时y的值07810121620232526时y的值0263743m4850515253时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．(1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．【答案】(1)6(2)；画图见解析(3)①7；②1【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值；（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，：时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35故答案为：6（2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个∴相差（个），把5分成两个接近的数，，∴第4日增加3个，第5日增加2个，∴，画出时的曲线：（3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与，：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，∴；：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，∴，∵，故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；故答案为：7；②当模拟练习日时，4日内的试制时间日，4日的合格产品分别是7，8，10，12，∴合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，3日的合格产品分别是12，19，26，∴合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，2日的合格产品分别是20，30，∴合格产品共有；当模拟练习日时，4日内的试制时间日，1日的合格产品是26；∵，∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．故答案为：1．【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．3．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．【答案】(1)1.0(2)见详解(3)1.2，8.5【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解；（2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可；（3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为．【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，解得：，∴，∴当时，，∴；（2）解：如图所示，即为所画图像，（3）解：①当时，，由图象可知高度差，故答案为：1.2；②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为，故答案为：．4．（2023·北京·中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式．记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【详解】（Ⅰ）表格如下：11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.00.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19-7.7=11.3，即可节水约11.3个单位质量；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：<．【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．5．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】(1)23.20m；(2)【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，∴函数关系关系式为：．（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键．1．（2025·北京通州·一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表：05101520242523.52014.5702520151051(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律：①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；②直接写出与之间的函数表达式是_____；(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）；②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）．【答案】(1)①见解析；②(2)①4.5；②22.5【分析】本题考查一次函数的应用．（1）①描点并连线即可；②利用待定系数法解答即可；（2）①根据图象，计算当时对应两函数值之差即可；②根据图象，当时对应x的值即为所求．【详解】（1）解：①描点并连线如图所示：②∵与x之间的函数图象是一条直线，∴与x之间是一次函数的关系，设与x之间的函数表达式是（k、b为常数，且），将坐标和分别代入，得，解得，∴与x之间的函数表达式是；（2）解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为克，故答案为：5.0；②随着实验的进行，当时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟．故答案为：22.5．2．（2025·北京东城·一模）对于纯电动汽车而言，在行驶过程中，实际剩余里程和仪表盘显示的剩余里程之间往往会存在一些差异．某团队对一款纯电动汽车的实际剩余里程和仪表盘显示的剩余里程进行了一次测试，从充满电的状态出发，直到电量耗尽，实际总行驶里程为280，在这个过程中，记录了已行驶里程x（单位：）与仪表盘显示的剩余里程（单位：）之间的对应关系，部分数据如下表所示：0408012016020024030126522217613810926在这次测试中，记实际剩余里程为（单位：）．（注：实际剩余里程＝实际总行驶里程－已行驶里程）根据以上信息，回答下列问题：(1)写出实际剩余里程与已行驶里程x之间的关系式：________．(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．与x的函数图象如下所示．在同一平面直角坐标系中，画出的图象．(3)结合图象解决下列问题：①当已行驶里程为200时，实际剩余里程是________，仪表盘显示的剩余里程约为________；②当已行驶里程约为________时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等；③当仪表盘显示的剩余里程为120时，实际剩余里程约为________．【答案】(1)(2)见解析(3)①80，109；②232；③100【分析】本题考查一次函数的应用，掌握根据函数关系式画出其图象的方法是解题的关键．（1）根据实际剩余里程实际总行驶里程已行驶里程解答即可；（2）根据两点确定一条直线画出图象即可；（3）①②③根据图象作答即可．【详解】（1）解：剩余里程与已行驶里程之间的关系式为．故答案为：；（2）当时，，当时，，的图象如图所示：（3）①当已行驶里程为时，实际剩余里程是，仪表盘显示的剩余里程约为．故答案为：80，109．②当已行驶里程约为时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等．故答案为：232．③当仪表盘显示的剩余里程为时，实际剩余里程约为．故答案为：100．3．（2025·北京丰台·一模）某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间为（单位：）时，小组成员分别记录了下的发酵速率下的发酵速率，部分数据如下：15910111417192326293236(1)当时，下的发酵速率每小时增加的值为___________；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出了函数的图象，描出了与各对对应值为坐标的点，补全函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当发酵时间为___________h时，下的发酵速率等于下的发酵速率；②若发酵速率不低于，葡萄酒的发酵效果较好，下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），则的值为___________，的值约为___________（结果保留小数点后一位）．【答案】(1)(2)见解析(3)①25；②【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，画函数图象，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）根据表格中的数据求出a的值即可；（2）根据描出的点，连线即可；（3）①根据图象得出时，下的发酵速率等于下的发酵速率；②根据表格中的数据求出的值，根据函数图象求出函数解析式，然后分别求出时，的值，然后求出的值，最后求出结果即可．【详解】（1）解：当时，下的发酵速率每小时增加：．（2）解：如图所示：（3）解：①根据图象得出时，下的发酵速率等于下的发酵速率；②下的发酵速率不低于的持续时间为，根据函数图象可知：当时或时，下的发酵速率是时间的一次函数，∴设当时，下的发酵速率的函数解析式为：，把，代入得：，解得：，∴，把代入得：，解得：，设当时，下的发酵速率的函数解析式为：，把，代入得：，解得：，∴，把代入得：，解得：，下的发酵速率不低于的持续时间为：，∴．4．（2025·北京海淀·一模）科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下：010203040506070809010000.61.21.8m3.03.64.24.85.46.002.43.84.65.05.35.55.75.85.66.0通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题：(1)①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______；②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；(2)结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）；②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）．【答案】(1)①；②见解析(2)见解析(3)①；②31【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键．（1）①设，利用待定系数法求出，再将代入计算即可得；②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得；（2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得；（3）①根据表格和函数图象求出当时，，的值，由此即可得；②根据表格和函数图象求出当时，，的值，再根据都是随的增大而增大即可得．【详解】（1）解：①由题意，设，将点代入得：，解得，则，当时，，故答案为：．②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”如下：010203040506070809010000.61.21.83.03.64.24.85.46.002.43.84.65.05.35.55.75.85.66.0（2）解：在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象如下：．（3）解：①当时，，由表格和函数图象可知，当时，，则，即当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为，故答案为：．②由表格数据可知，当时，，当时，，，∴当时，，∵都是随的增大而增大，∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到，故答案为：31．5．（2025·北京大兴·一模）【思维激活】在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？【思维引导】由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）．如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下：AB…1.001.502.003.003.504.005.006.00……7.005.505.005.005.215.506.207.00…【思维呈现】（1）矩形的面积为__________；（2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接；（3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）；【思维拓展】（4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”）【答案】（1）6（2）见详解（3）小，．（4）【分析】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，画函数图像，从函数图像上获取信息是解题的关键．（1）根据反比例函数k值的几何意义求解即可．（2）描点连线即可．（3）根据函数图像可知存在最小值，的最小值约为．根据矩形的周长求解即可．（4）求出圆的周长比较大小即可．【详解】解：（1）∵在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形，∴矩形的面积为∶．故答案为：6．（2）以的长为横坐标，的和为纵坐标的函数图如下：（3）图2中描出的点所形成的图象趋势可以发现随着长度的变化，的值先减小后增大，所以存在最小值．从表格数据中可以看出的最小值约为．因为矩形的周长，当约为时，矩形的周长C约为，故答案为：小，．（4）面积为6的圆的半径为r，则，则则，∵，∴，故答案为：6．（2025·北京顺义·一模）某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试．下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：学习次习时的正确率0.5300.6700.7500.8000.8500.8700.8900.905学习后评估测试的正确率0.6050.7100.7550.7800.7950.8000.8000.800(1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势；(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保留小数点后三位）；②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别．【答案】(1)见解析(2)①0.100；②6；③80【分析】本题考查了由函数图象获取信息，描点法画函数图象，正确理解题意，读懂函数图象是解题的关键．（1）利用描点法即可作图；（2）①由图象找出大致所对应的点，再作差即可；②由图象即可求解；③由图象可得当学习后评估测试的正确率达到稳定时，正确率约为0.800，再由100乘以0.800即可求解．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：①由图象可得：差值约为，故答案为：0.100；②由图象可得，至少经过6次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率，故答案为：6；③由图象可得，，∴当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计80幅能被正确识别，故答案为：80．7．（2025·北京平谷·一模）脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据：运动强度（）455055606570758085脂肪氧化率0.010.360.520.590.600.500.390.22(1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象：(2)结合函数图象，解决问题：①的值约为___________（精确到小数点后两位）；②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）；③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）．【答案】(1)见详解(2)①②③8【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先逐个描点，再依次连接，即可作答．（2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答．②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答．③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：结合函数图象，①的值约为，故答案为：；②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）；故答案为：；③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即跑步的速度应控制在千米/小时左右．故答案为：88．（2025·北京石景山·一模）沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具，某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径．探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位：）与时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下：306090120150探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下：根据以上探究的实验数据，解决下列问题：(1)在探究一中，时漏下沙子的质量约为______（结果保留小数点后一位）；(2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为______；(3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为______（结果保留小数点后一位）．【答案】(1)(2)(3)①见解析；②【分析】本题主要考查了求平均数，统计表，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．（1）求出每秒平均漏出的沙子质量，再用60秒漏出的沙子质量加上15秒一共漏出的沙子质量即可得到答案；（2）根据探究一和探究二中表格的数据即可得到答案；（3）①先描点，再连线画出函数图象即可；②根据函数图象找到当时，的值即可得到答案．【详解】（1）解：，∴在探究一中，时漏下沙子的质量约为；（2）解：∵探究一中，漏完沙子所用的时间为，∴由探究二可知，探究一中所用沙漏的孔径为；（3）解：①如图所示，即为所求；②由函数图象可知制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为．9．（2025·北京朝阳·一模）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下：01234567891030.0015.3610.0015.3630.0050.0070.0084.6490.0084.6470.00请解决以下问题：(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为___________，转盘的半径约为___________；②此摩天轮转一圈所用时间为___________；③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过___________（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．【答案】(1)见解析(2)①90，40；②12；③1.5或4.5【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息．（1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可；（2）①根据函数图象发现当时有最高点，当时有最低点，最高和最底差距即为直径，据此求解即可；②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间；③这两个座舱的高度相同时应该刚好在最高点或最低点两边，据此求解即可．【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示：（2）解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为，最低高度为，∴转盘的直径约为，∴转盘的半径约为，故答案为：90，40；②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时为，∴从最高点到最低点用时也为，∴此摩天轮转一圈所用时间为，故答案为：12；③根据函数图象可得，当时，距离地面的高度为，当时，距离地面的高度是，则两个座舱距离分钟的路程，∵这两个座舱的高度相同，从最低点到最高点用时为，∴若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边，则至少经过，这两个座舱的高度相同．若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边，则至少经过，这两个座舱的高度相同．故答案为：1.5或4.5．10．（2025·北京西城·一模）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）．已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下：00.40.81.21.61.82.000.601.201.802.403.0001.602.202.422.512.522.53(1)补全表格（结果保留小数点后两位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）；②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）．【答案】(1)补全表格见解析(2)图见解析(3)①0.7；②．【详解】（1）解：观察表格可知：为定值，∴当时，；补全表格如下：00.40.81.21.61.82.000.601.201.802.402.703.0001.602.202.422.512.522.53故答案为：2.70（2）根据表格数据描点，连线，画图如下：（3）①由图象可知：当时，，当时，，∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为；故答案为：；②由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢，∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大，∵，且，∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差；故答案为：．11．（2025·北京房山·一模）如图，为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C作于点D．已知，设弦的长为x，的面积为y（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x011.522.533.453.53.83.94y00.120.390.871.522.232.602.592.131.62mm的值为________；(2)建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为2时，的长度约为________（精确到0.01）【答案】(1)0(2)图见解析(3)或【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，正确的画出函数图象是解题的关键：（1）当时，点与点重合，即可得出的值；（2）描点，连线画出函数图象即可；（3）根据函数图象进行估算即可．【详解】（1）解：当时，点与点重合，∴；故答案为：0；（2）描点，连线，画出函数图象，如图：（3）由图可知：当的面积为2时，则或的长度约为或．故答案为：或．12．（2025·北京·一模）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下：x01020304050y10.6a2.23.03.84.6y20.81.72.32.83.13.3(1)补全表格中．（结果保留小数点后一位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①该种材料在温度为时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为（结果保留小数点后一位）；②当温度达到时（结果保留整数），室内外的导电性相差．【答案】(1)(2)见解析(3)①23，2.4；②10或28【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．（1）根据温度每增加，导电性能增加求解即可；（2）用描点法画出图象即可；（3）①先求出与x，与x之间的函数解析式，由可求解；②分两种情况进行计算即可．【详解】（1）解：由题意得：温度每增加，导电性能增加，∴，故答案为：；（2）如图，（3）由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系，设，由题意，得，解得，∴．设，由题意，得，解得，∴，①由题意，得，整理，得，解得（舍去）把代入，得．∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为，故答案为：23，2.4；②当室内导电性比室外导电性高时，由题意，得，整理，得，解得（舍去），当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为，故答案为：10或28．13．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，点到的距离为，以为直径在上方作半圆，点是上的动点，过点作的垂线，设，直线截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为（单位：），（单位：），部分数据如下：(1)当时，与与对应关系的部分数据如下表：00.511.522.533.5400.451.232.15a4.135.055.836.2800.25b2.254.005.757.007.758.00根据以上信息，回答下列问题：①___________，___________（结果保留小数点后两位）；②通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数图象；③根据以上数据和函数图象，若，则___________时，（结果保留小数点后一位）；(2)当时，对于___________（填“>”“=”或“<”）．【答案】(1)①3.14，1.00；②见详解；③1.4(2)【分析】本题主要考查了画函数图像，扇形面积公式以及二次函数的其他应用，等知识得出和的面积公式是解题的关键．（1）①利用扇形面积公式以及相似三角形的性质分别表示出和，然后分别代入x，即可求出a，b的值．②描点，连线，画出函数图像即可．③根据函数图像即可得出答案．（2）当时，保持不变，变为原来的一半，根据图像比较即可得出答案．【详解】（1）解：①∵，O为的中点，∴，，当时，点O和点P重合，则，当时，∵，，∴，即，∴，∴，∵，∴，即，则；描点，连线，画出函数图像如下：③根据函数图像可知，若，则时，；（2）解：当时，可知保持不变，为时面积的一半，根据（1）②图像可知故当时，对于，故答案为：．14．（2025·北京西城·二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据：0%10%20%40%60%80%100%037152331390249152230(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象；(2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题：①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）；②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）．【答案】(1)见解析(2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题．（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有，等点；对于与，有，等点．（2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值．②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小．③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解．【详解】（1）解：如图，（2）解：①从表格数据或图象估算，当时，，，∴．②从表格数据或图象估算，当时，的值约为，∵，∴不能将小明送到幼儿园．③观察的数据，当时，，观察的数据，当时，∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为．15．（2025·北京海淀·二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表：102030405060708090合金M的硬度5560657580859095合金的硬度626872747573716659根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系．(1)补全表格；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；(3)第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）；②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）．【答案】(1)见解析