2024-2025学年广东广州奥林匹克中学高一下学期3月月考数学试题含答案

高中2024-2025学年广州奥林匹克中学高一第二学期3月月考数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．做非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁和平整．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列叙述中正确的是（

）A.已知向量，，且，则与的方向相同或相反B.若，则C.若，，则D.对任一非零向量，是一个单位向量2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.3.在中，已知，则等于（）A. B. C. D.4.已知单位向量，夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A B. C. D.5.如图，已知，，，，则（）A. B. C. D.6.若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（）A. B. C. D.7.如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（）A. B.4 C. D.88.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则（）A. B.与向量共线的单位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（）A.a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C.，，A＝60°，无解D.a＝6，b＝9，A＝45°，有两解11.下列命题中，正确的是（）A.在中，若，则B.在锐角中，不等式恒成立C.在中，若，则必等腰直角三角形D.在中，若，，则必是等边三角形第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分；共15分．12.已知空间向量和的夹角为，，，则______________.13.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为__________.用表示14.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，．（1）若与向量垂直，求实数值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．16.已知向量与的夹角为，且.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值；（3）若与夹角为钝角，求实数k的取值范围.17.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.18.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.19.在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则（1）如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．（2）如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，．①利用（1）结论，用，表示；②设，，求的最小值．

2024-2025学年广州奥林匹克中学高一第二学期3月月考数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．做非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁和平整．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列叙述中正确的是（

）A.已知向量，，且，则与的方向相同或相反B.若，则C.若，，则D.对任一非零向量，是一个单位向量【答案】D【解析】【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；对C，当时，若，，与任意向量，故C错误；对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.故选：D2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的规则求出x，再根据向量的坐标运算规则求解.【详解】，；故选：A.3.在中，已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求角，再利用正弦定理可得.【详解】因为，所以；因为，所以.故选：D.4.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.5.如图，已知，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．【详解】由，得，而，所以.故选：B6.若，是夹角为两个单位向量，且与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，所以，故，，，故，由于，故.故选：B.7.如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，其中，则，因为，所以，又，所以，当且仅当时等号成立.故选：A.8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形【答案】D【解析】【分析】由射影定理解出，得到或，即可判定其形状.【详解】因为，则，又因为射影定理：，所以原式等价于则，则或，的形状为直角三角形或等腰三角形.故选：D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则（）A. B.与向量共线的单位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是【答案】AC【解析】【分析】根据向量的坐标运算分别判断各选项.【详解】A选项，，，，，A选项正确；B选项，设与向量共线的单位向量，则，解得，或，故或，B选项错误；C选项，，，则，故，C选项正确；D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；故选：AC.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（）A.a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C.，，A＝60°，无解D.a＝6，b＝9，A＝45°，有两解【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理，逐一对各个选项进行分析判断即可判断出正误.【详解】选项A，由正弦定理，得，又，故，则三角形有一解，故选项A错误；选项B，因为，所以，则三角形有一解，故选项B正确；选项C，因为，所以，则三角形无解，故选项C正确；选项D，因为，所以，则三角形无解，故选项D错误.故选：BC11.下列命题中，正确的是（）A.在中，若，则B.在锐角中，不等式恒成立C.在中，若，则必是等腰直角三角形D.在中，若，，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D.【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；对于B，锐角中，，则，故，B正确；对于C，在中，若，则，即得，故或，故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D，，，则，故，，结合，可知是等边三角形，D正确，故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分；共15分．12.已知空间向量和的夹角为，，，则______________.【答案】【解析】【分析】利用平方的方法来求得正确答案.【详解】.故答案为：13.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为__________.用表示【答案】##【解析】【分析】先计算向量与向量的数量积，再代入投影向量公式中，即可得答案.【详解】∵夹角为，，∴，∴所以向量在向量方向上的投影向量为.故答案为：.14.已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为______．【答案】【解析】分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.【详解】在中，由及余弦定理，得，整理得，由，得为锐角，而，解得，由及余弦定理，得，解得，当且仅当时取等号，因此，所以面积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，．（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直列方程，化简求得的值.（2）根据向量平行列方程，化简求得的值.【小问1详解】向量，，．，，与向量垂直，，解得．【小问2详解】向量，，与向量平行，，解得．16.已知向量与的夹角为，且.（1）求；（2）求与的夹角的余弦值；（3）若与夹角为钝角，求实数k的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据定义得出内积的值，并根据展开得到；（2）利用直接计算即可得到结果；（3）将条件转化为且，然后计算，解不等式即可得到结果.【小问1详解】由题目条件知，.【小问2详解】.【小问3详解】由于，，，而与夹角为钝角，这等价于且.从而且，即且.将方程变形为，整理得到，即.这在时一定不成立，故可直接去除该条件.从而的取值范围是.17.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解即可；（2）由三角形面积公式可得，代入余弦定理即可求解.【小问1详解】由又及正弦定理，得，因为中，所以，由于，所以，即，又，故.【小问2详解】由题意可知，解得，根据余弦定理可得，即，解得.18.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.【答案】【解析】【分析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.【详解】设，因为，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因为，所以①②两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.19.在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则（1）如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．（2）如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，．①利用（1）的结论，用，表示；②设，，求的最小值．【答案】（1），证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出