必刷小卷1 解答题第18、19题34分练 专攻练(1) 三角函数与解三角形（原卷版及解析）

高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！必刷小卷1解答题第18、19题专攻练[1]必刷小卷1解答题第18、19题专攻练[1]三角函数与解三角形🎯题型一教材情境下双曲函数性质的深度探究1.（2026·安徽六安2月高三学业水平检测，17分）双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数,其定义基于指数函数的线性组合:双曲正弦函数定义为sinhx=e（1）求双曲余弦函数coshx在x（2）令fx=coshx−cosx规范答题（3）证明:2tan规范答题🎯题型二三角形的费马点2.（2026·湖南长沙阶段检测，17分）正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若．（1）求A；（2）若，求的面积；（3）设点P为的费马点，求．规范规范答题🎯题型三三角函数、不等式恒成立与参数最值问题3．（2026·山西西安第八十五中学一模，17分）已知函数．(1)求在上的最大值；(2)求证：恒成立；(3)若都有恒成立，求的最大值．规范规范答题🎯题型四三角函数性质与累加型数列不等式4.（2026·广东东莞3月模拟测试，17分）已知函数（1）判断是否为周期函数，并说明理由；（2）求的最大值和最小值；规范答题（3）设证明：规范答题🎯题型五三角函数性质、恒成立与正切型数列不等式证明5.（2026·黑龙江齐齐哈尔一模，17分）已知函数.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）证明：.规范规范答题🎯题型六指数三角复合函数与周期区间根的大小比较6.（2026·江苏南京栖霞区名校联盟一模，17分）已知函数，．（1）求在内的单调性；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围；（3）设方程在区间内根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．规范规范答题🎯题型七三角幂指函数与数列放缩不等式深度探究7.（2026·山东德州一模，17分）已知函数.（1）证明：在上单调递增；（2）记的最小值为，数列的前项积为.（i）求的通项公式；（ii）证明：对任意的成立.规范答题规范答题🎯题型八正切函数导数应用与正切型数列不等式证明8.（2026·重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分）设函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求的最大值；（3）已知数列满足：①；②且．设，求证：．规范答题注：．规范答题

必刷小卷1解答题第18、19题专攻练[1]三角函数与解三角形必刷小卷1解答题第18、19题专攻练[1]三角函数与解三角形🎯题型一教材情境下双曲函数性质的深度探究1.（2026·安徽六安2月高三学业水平检测，17分）双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数,其定义基于指数函数的线性组合:双曲正弦函数定义为sinhx=e（1）求双曲余弦函数coshx在x（2）令fx=coshx−cosx（3）证明:2tan1【解析】已知coshx=ex+e−x2,即函数在x=0处的切点为0,1,斜率为0.因此,coshx（2）由fx=coshx−cosx令Fx=f由基本不等式得ex+e−x2≥ex⋅e−x=1因此f'x>f'（3）证明辅助不等式:当x∈0,1时，令gx=sinx再令ℎx=g令φx=ℎ故φx=ℎ'x即ℎ'x>0,故gx在0,1上单调递增,g由(2)知，当x∈0,1时，fx又x∈0,1时,结合辅助不等式得tanx令x=1n并进一步裂项放缩，令又1n2<当n≥2，n∈N...n将以上各式相加得2因此,2tan🎯题型二三角形的费马点2.（2026·湖南长沙阶段检测，17分）正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若．（1）求A；（2）若，求的面积；（3）设点P为的费马点，求．【解析】（1）由正弦定理得，即，所以，又，所以.（2）因为，若，则的面积为：.（3）易知的三个角都小于，由费马点定义可知：，设，由得：，整理得，则.🎯题型三三角函数、不等式恒成立与参数最值问题3．（2026·山西西安第八十五中学一模，17分）已知函数．(1)求在上的最大值；(2)求证：恒成立；(3)若都有恒成立，求的最大值．【解析】（1）由题知，当时，，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以当时，取最大值.（2）先证：，令，则，所以函数在上单调递增，故，即在上恒成立．又，由知，，所以，即，得证.（3）当时，，即，令，则，其中，令，则且，令，则，其中.令，，则，故在上单调递减，其中.①若，则，令，在上单调递增，，所以恒成立.故在上单调递增，且.所以在上也单调递增，且，所以，故恒成立.②若，则，且，使得当时，，所以函数在上单调递减，故时，，所以函数在上单调递减，所以时，，所以时，，与恒成立矛盾．综上所述：的最大值为.🎯题型四三角函数性质与累加型数列不等式4.（2026·广东东莞3月模拟测试，17分）已知函数（1）判断是否为周期函数，并说明理由；（2）求的最大值和最小值；（3）设证明：【解析】（1）是周期函数，理由如下：由三角函数周期性知：，，因此：

，即是的一个周期，故是周期函数；（2）由（1）可知求在上的最值即可.对求导得：

，令，得​或，在一个周期内，当时，，当时，，当时，，故在，单调递增，在单调递减，又，，，，所以的最大值为​​​，最小值为；（3）记，由（2）知对任意实数，都有，对，令，得：

，​​将上述个不等式累加，左边整理得：右边为​​，因此：，整理得：，由，，得，因此：，得证.🎯题型五三角函数性质、恒成立与正切型数列不等式证明5.（2026·黑龙江齐齐哈尔一模，17分）已知函数.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）证明：.【解析】（1）当时，，则，令，则，即；令，则，即.所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以值域为.（2）由，得，设，则，，设，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以.①当时，在上单调递减，则，不满足题意；②当时，，使得，当时，在上单调递减，则，不满足题意；③当时，在上单调递增，则，满足题意.综上可得，即实数的取值范围是.（3）证明：由（2）得，当时，任意恒成立，即，所以，所以.令，则，存在，使得.则当时，；当时，，于是在上单调递增，在上单调递减，而，所以，即当时，.所以，所以.综上所述，.🎯题型六指数三角复合函数与周期区间根的大小比较6.（2026·江苏南京栖霞区名校联盟一模，17分）已知函数，．（1）求在内的单调性；（2）若存在，使得，求实数a的取值范围；（3）设方程在区间内根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．【解析】（1）．当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；所以，在上单调递增，在上单调递减．（2）由题可知存在，使得成立，∵时，，故存在，使得．令，其中，，且不恒为零，故函数在上单调递减，则，故．（3）．证明：由可得，令，则．因，则，所以，所以函数在上单调递减，因为，，所以，存在唯一的，使得，所以，，，同理可得，且，因为，所以，因为，所以，所以，因为函数在上单调递减，故，即,取，则.🎯题型七三角幂指函数与数列放缩不等式深度探究7.（2026·山东德州一模，17分）已知函数.（1）证明：在上单调递增；（2）记的最小值为，数列的前项积为.（i）求的通项公式；（ii）证明：对任意的成立.【解析】（1）因为当时，则，所以，可得，且，则，即，可得，所以函数在上单调递增，（2）（i）若，则，即；若，由（1）可知：在上单调递增，且，可知是一个周期为的周期函数，又因为可知关于对称，则在，处取到最大值，在，处取到最小值，可得，综上所述：（ii）方法一：数学归纳法证明不等式成立，当时，左边，右边，因为，所以不等式成立，假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边所以当时，不等式也成立，综上所述：可证得不等式恒成立；方法二：构造新数列方法证明不等式.令，所以，即，综上所述：可证得不等式恒成立.方法三：，🎯题型八正切函数导数应用与正切型数列不等式证明8.（2026·重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分）设函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求的最大值；（3）已知数列满足：①；②且．设，求证：．注：．【解析】（1）故，又，故曲线在处的切线方程为；（2）由题意，对任意恒成立，则，令，则，令，则，其中，令，即，解得，下面证明时，在上恒成立，令，注意到，则，注意到，令，则，其中在上恒成立，令，故，故在上单调递减，其中，故在上恒成立，故在上恒成立，