导数与三角函数综合运用考点分析+讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026导数与三角函数综合运用考点分析基本原理导数与三角函数综合的题目往往比较复杂,可以通过以下技巧来帮助解决问题:充分利用函数或导数中的确定性信息:比如端点或者特殊点的值、某区间内的正负、某区间内的单调性等.分段讨论:既可以按定义域进行横向分段讨论，也可以按值域进行纵向分段讨论,同时综合利用函数的周期性、奇偶性、有界性等缩小讨论范围.必要性探路:取端点或特殊点代入函数或导函数，求得参数大概范围,然后在此范围内讨论即可.在证明不等式或者确定函数值大小的时候,可适当利用不等式放缩.常用的不等式有:sincossinxcossinsinsincoslne除此之外,也可利用题目上一问引导证明出的不等式来进行放缩.含参不等式的证明，可通过主元变更来消参.函数极值的必要条件与充分条件必要条件(以极小值为例)函数fx在x⇔等价f'x0第f'x0=0⇔常作f'x0若f''x0若f''x0=0⇔f'x0=⇔等价f'x0⇔f'x0=充分性验证验证必要条件:f''当f''x0>0无论哪种图象,在x=x0左右总存在一个小范围,使得f''x当f''x0=0只有第三种图象,在x=x0左右存在一个小范围,使得f''x≥0恒成立,符合要求;其他几种在x=x延伸拓展以下是函数极值的两个判断定理，可供参考.第二充分条件:函数fx在x=若f''x0>0若f''x0<0第三充分条件:函数fx在x=x0处若n为偶数且fnx0>0,则fx在x=x0处取得极小值;若n为偶数且f典例分析方向1:零点与极值点例1已知函数fx(1)若a=1，证明:当x∈(2)若fx在区间0,2π【解】(1)设gg∴gx在1,∴f(2)f令f'x设h则y=a与hh当x∈0,π2时，h''x<0即1x02−sinx0=0,∴当x∈0,当x∈π2,3π2时，hx<0，y=a与hh∴当0<a<1−综上,a的取值范围为0,【点评】零点极值点类问题一般分段讨论即可,细分出函数值正负或者导函数值正负不定的区间,深入研究.例2(2025新高考II卷)(1)证明:当0<x<(2)已知函数fx=cosax−ln1−x【解】(1)①设ggg∵∴g'xg∴gx在g∴设hh∴hx在h∴sinx(2)ff∵x=0∴且∃m>0,使得:当x∈−m,0时,f'∴f''x∴∴a≤−下面验证充分性:①当a=2当x∈0∴fx在0∴a当a>2时，当x∈0当0<x∵∴当−a−∴x=0∵cos∴a综上,a的取值范围为−∞,−2【点评】导数主要是利用函数的单调性这一性质,除此之外,函数性质还有周期性、奇偶性,合理运用可使解题简化,另外,很多时候前问所证明的结论对后问的解答有帮助.方向2:恒成立问题例3已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若关于x的不等式fx−lnx≤ax【解】(1)f当a≤0时,f'当a>0时,令f'x=0,得x=12a(2)设gx=fx−lng∵∴下面证明当a≥13时,f∵−∴证−13x即3设hh∴hx∴fx−lnx≤axcos【点评】指对类函数按“指数单身狗,对数找朋友”变形,求导后比较好处理,而正余弦函数变形成分式结构,分离出幂函数,求导之后往往比较好处理.例4已知函数fx若函数fx在区间0,π当x∈0,π2【解】(1)f'x=ex−asinx,当设gg∴当x∈0,当x∈π4,∴即0综上,a的取值范围为−∞,2(2)ex+acosx≥ax，当a=设hh令φφ∴φφ∴hx∴−∴当a>0当a<0综上,a的取值范围为−1【点评】这题也可以取两个端点值探路,验证充分性时需分类讨论,但都符合要求.例5(2025・全国一卷)(1)求函数fx=5(2)给定θ∈0,π和a∈(3)设b∈R，若存在φ∈R使得5cos【解】(1)f令sin5x=sinx得5x+当x∈0,π6时,f'x∴f(2)∵cosx的周期为2kπk∈Z，当0≤a≤2θ时，a−当2θ<a≤2π时，θ∴存在y∈a−(3)设gg令g'x=0∴x=−φ当x=−φ4当x=−φ当φ=0时,取k当φ≠0时,总∃k0取k=k∴综上,b的最小值为33【点评】多变量逻辑复杂的题目理解起来比较困难,可以采用控制变量法,研究一个变量时,把其他变量看做常数或直接取一个特殊值,逐层解决问题.方向3:不等式的证明例6已知函数fx=−2(1)若t=6π(2)若∀m∈0【解】(1)ff'x=−4sinxcosx−1−12π,f''x=42cosx+1 1−cos(2)由(1)知，当π2≤x≤∴1−cosn设gg'∴gn≥g∵h'm在0∴∃m0∈∴当m∈0,m0时,hh∴综上,m1【点评】第(2)问利用第(1)的结论进行放缩之后，主元有三种选择:m,例7已知函数fx=sinx+sin2x【解】设g∵ga=∵①当x∈0,4π5时，当x=π2时,不等式成立;当设hh'x=2coshx≥h0=0,cosx>4π5上单调递减,当x∈4π5,π时，∵sin∴sin综上,fx【点评】这里是先以a为主元,消参后证关于x的不等式,也可以直接以x为主元,分类讨论.方向4:极值点偏移例8已知函数fx=ex+cos(2)若关于x的方程fx=tt∈R在【解】(1)ff''x=ex当x≥0时,f''x≥1−cosx≥0,∴f'x单调递增,∴函数fx只有一个极值点x(2)解法一:用对数平均不等式不妨设x1<x当x>0要证f'x接下来证明ex1−ex2设gg∴gx∴g解法二:构造函数用单调性证f'x即x不妨设0即证x∵2x0−x∴证fx∵fx构造函数FFF∵0∴F∴∵即fx【点评】以上是极值点偏移的两种常规方法,因为涉及三角函数,常用解法一适当放缩.例9已知函数fx=ex−(1)求实数k的取值范围；(2)求证:在区间0,π2内存在唯一的β,使fβ=【解】1当k≤0时,当k>0时,f''x>(2)当x∈π4,π2时，f'x>0∴当x∈0,α∵设g∴gx单调递减,gx<g0=【点评】一般的极值点偏移是fx1=fx2=m,这题是特殊情况f0=fβ=1,相当于x1=0◆方向5:无穷零点无穷零点问题看似复杂,如果研究整体的规律,往往利用函数单调性解决问题;如果研究局部,那就变成常规问题.例10已知函数fx=ex(1)求gx在x(2)若数列an满足2n−1π【解】1g∵x∴g(2)设bn=f则目标转化为:π−2由(1)知gbn≥0下面证:eb设hx∵当x∈π4,∴hb综上,原命题得证.【点评】第(2)问将目标换元,利用第(1)问结论即可.◆方向6:与数列相结合涉及三角函数的数列常“借壳”相关函数不等式进行缩放；涉及三角函数的数列递推式常利用三角函数的有界性、三角不等式等进行缩放,转化成纯数列问题进行处理.例11已知函数fx=sinx若a=0，证明:若fx单调递增，求a当n≥2且n∈【解】(1)fx=sinx(2)f∵fx单调递增,∴f令g由gπ=∵下面证明当0≤a≤13当x∈π2,π时,∴f'x综上,a的取值范围为0,(3)由(2)知,当a=13时,fx当x∈0,1时,变形得kk∴原不等式成立.【点评】第(3)问将不等式右边看作前n项和,求出其通项,将比较和的大小转化成比较通项大小,发现需要证明tanx例12已知a1(1