解析几何（选填题）-2026年高考数学二轮复习培优题型专练（全国适用）原卷版及解析

专题08解析几何（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

出典例剖析五方法提炼性变式

题型01直线与圆的相关向题

题型02圆锥曲线的方程与性质

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

题型04离心率的取值与范围问题

题型05圆锥曲线中范围、最值问题

题型06新定义问题

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型01直线与圆的相关问题

典例剖析

【例L1】（2025•全国一卷•高考真题）已知圆/+（），+2）2=/（r＞0）上到直线y=Gr+2的距离为1的点有

且仅有2个，则r的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,3）C.（3,+oo）D.（0,+8）

【例1-2]（2025・四川凉山•一模）已知曲线。:。-4）2+），2=,（「＞（））上存在点与2—1,3）关于直线

/:（3〃?+2）1+（"[一3）），一3〃?+9=0对称，则r的取值范围为（）

A.[3,6]B.[3,5]C.[4,6]D.[4,5]

方法提煤

1.直线与圆的位置关系

①几何法:圆心"到直线小珍+。=。的距离，则仁絮等

②代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

Ax+By+C=O

由,，消元得到一元二次方程〃V+/+，=。，+/+/=。判别式为八，则:

相离相切相交

③

图形

方程观点A<0A=0A>0

量化

几何观点(t>rd=rd<r

二、圆与圆的位置关系

设两圆。一。2的半径分别是凡厂，（不妨设R〉r），且两圆的圆心距为d,则:

位置关系相离外切相交内切内含

(SrA

图形S.4

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【变式1”】（2025・广东•模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（）

A.42B.49C.56D.64

【变式1・2】（2025・浙江•一模）已知点AB在直线x+y+2=0上，旦|AB|=2,点C在圆

M:（x-2）2+（y+2）2=l±,则VA4C面积的取值范围是（）

A.[272-2,272+2]B.[&-1，及+1]

C.[2,6]D.[L3]

【变式1・3】（2025・四川达州•一模）已知圆O:V+）,2=4,若过点P（1,〃Z）有且仅有两条直线被圆O所截得

的弦长为而，则〃?的取值范围是（）

A.（-另）B.（f-g）U（g*）

C.（-U）D.（f-DU。，一）

题型02圆锥曲线的方程与性质

典例剖析

【例2・1】（2025・云南•模拟预测）已知双曲线则点（4,0）到。的渐近线的距离为（）

A口

126r8>/13n12回

551313

【例2-2】（2025・上海奉贤•一模）曲线C的方程为众-历，2=万（A、8不同时为0）,则下列说法正确

的是（）

A.曲线C不可能是直线

B.当人>0,8<0时，曲线是椭圆

C.若曲线。是双曲线，则双曲线的渐近线与义无关

D.曲线。是抛物线

方法提煤

1.椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数2〃（2〃>|耳玛|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,

定义用集合语言表示为：付||尸用+|叫|=2〃（2"/5|=200）｝

注意：①当2a=2c时，点的轨迹是线段：②当勿/<2c时，点的轨迹不存在.

A](-a,0)、A2(d,0)A](0,-〃)、A2(O,6Z)

顶点

B|(0,-b)、B2(O,/7)BI(-A0)、B/AO)

轴长长轴长=2。,短轴长=2〃长轴长=2〃，短轴长=2〃

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

隹J、、、，占、、、片(一c,0)、/%(c,0)£(0，-c)、6(0©

222

焦距\FtF2\=2c(c=a-b)

22

离心率cp-la-b[~

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2欧（最短的过焦点的弦）

通径

3.双曲线的定义

平面内与两个定点T5的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于怩周）的点的轨迹叫做双曲线（这两

个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为卜”|||M£|-|MK||二2“（0v2av忻用）｝.

注意：①若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.②当2。=|耳巴|时，点的轨迹是以匕和工

为端点的两条射线；当2〃=0时，点的轨迹是线段G8的垂直平分线.③2。＞|£&|时，点的轨迹不存在.

4.双曲线的方程、图形及性质

220*)

标准方程=-==1(。>08>0)i标…>。)

crb~

4历,

图形

“aJ

焦点坐标£(-c,0),月(c,0)K(O,-c),F2(0,C)

对称性关于x,丁轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4（一〃,0）,&（〃,0）A（o,。），4（o,一〃）

范围\y\^a

实轴、虚轴实轴长）内2a,虚轴长为2〃

C1~丁/八

离心率^=—=J1+—(^>1)

a\a*

人9V

A<y2ba

渐近线方程令r-K=oA=y=±-x，令——=0=,'=±7工，

a~b~aa~7Tb-b

焦点到渐近线的距离为〃焦点到渐近线的距离为〃

通径(过焦点且垂直于匕鸟的弦)是同支中的最短弦，其长为江

通径

a

5.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线4尸《0的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点厂叫抛物线的焦点，定

直线/叫做抛物线的准线.注意：若在定义中有尸£/,则动点的轨迹为/的垂线，垂足为点尸.

6.抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y=2px,)3=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),其中一次项与对称轴

一致，一次项系数的符号决定开口方向

IV

图形rfc丰

标准

y1=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2/?\'(/?>0)x2=-2py(p>0)

方程

顶点0(0,0)

范围x>0,yeRx<0,ywRy>0,XERy<0,x&R

对称轴x轴y轴

隹占尸HO,学尸(0,g)

g，o)，0)

离心率e=\

准线方程x=_E“Jy=yJ

22-2'2

焦半径

AF=x,+"AF=-x,+KA产=X+5AF=-\\+—

A(%,y)12122

【变式2-1](2025・云南•模拟预测)已知抛物线C：9=4x的焦点为八点M在。上，且=10,若4(。,0)

满足贝lj"=()

3127

A.16B.—C.-D.9

22

2

【变式2・2】(2025•贵州六盘水•模拟预测)己知椭圆工+)尸=1的焦点为匕，尸?，点M在椭圆上且

3

4M6=90°,则点"到x轴的距离是.

【变式2・3】（2025•江西宜舂模拟预测）（多选题）已知耳K是双曲线C:=1（〃＞0,力＞0）和椭圆

a2b2

七焉+/=＜喈＞。）的左、右焦点,。为。与E在第一象限内的一个交点，若夕外嗫则＜）

A.c的渐近线方程为VL-±），=o

B.E的短轴长是C的虚轴长的2石倍

C.E的离心率和C的离心率的积为1

D.APKH的面积为26/

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

典例剖析

【例3・1】（2025・云南楚雄•模拟预测）设抛物线C：y2=2〃*p＞0）的焦点为尸，过尸的直线交。于

41,3垃）,可勺，-&）两点，过分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为",N,则|M门2+|N臼2=

（）

A.32B.28C.20D.16

【例3・2】（2025.江西景德镇.模拟预测）双曲线UY—f=|,过点P（2,3）作C的两条渐近线的平行线，分

3

别与渐近线相交于A,8两点，则平行四边形OAP8的面积是（）

A.立B.1C.75D.2

2

方法提嫌

1.直线与椭圆的位置关系

V22

将直线的方程＞'="+匕与椭圆的方程—+4v=1（。＞匕＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元

a-b~

二次方程，其判别式为A.

①A＞（）=直线和椭圆相交O更线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；

②八=0。直线和椭圆相切O直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）：

③AVOO直线和椭圆相离O直线和椭圆无公共点.

2.直线与椭圆的相交弦

设直线y=交椭圆二十与=1（。>人>0）于点q（N，y）也区，为），两点，则

crb~

i6Ei=JaR+Uf）2:，区-%fu+（^5J）2J=Vi+^।%—%।

同理可得|初|二J+/ly—Ml（D

3.直线与双曲线的位置关系

r22

将直线的方程丁=依+，〃与双曲线的方程=—乌v=1m>0,〃>0）联立成方程组，消元转化为关于X或y

a~b~

的一元二次方程，其判别式为A.

（b2-crk2）x2-2a2mkx-a2nr-crb2=0

若从-"公=0,即*=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若/一2Ho，即A工±2,

a

①A>0。直线和双曲线相交O直线和双曲线相交，有两个交点；

②A=（）0直线和双曲线相切=直线和双曲线相切，有一个公共点；

③AVOO直线和双曲线相离。直线和双曲线相离，无公共点.

4.直线与双曲线的相交弦

22

设直线广履+〃，交双曲线二x―、=1（。>0/>0）于点小不,），々。2，%），两点，则

a-b~

I

2

IPA1=&x+/）2+（yf）2=+w）2[1+（T5T）I=Vi+Fg-X,|

V〜一八2

5.直线与抛物线的位置关系

将直线的方程、=依+〃7与抛物线的方程y2=2px（p>0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二

次方程,其判别式为△.

ky2-2py+2pm=0

若k=。，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若丘0

①A>（）0直线和抛物线相交，有两个交点；

②A=00直线和抛物线相切，有•个公共点；

③AVOO直线和抛物线相离，无公共点.

6.直线与抛物线的相交弦

/V

设直线广质+〃，交抛物线于点q（X，y）,6（々，丁2），两点，则

a~b~

22

16号\=^-x2）+（y1-y2）

1

=kfYu+r：_'门="+公-X2I

VX\~X2

同理可得।初1=>，1），「必1（火，o）

【变式3・1】（2025.广东佛山.模拟预测）已知抛物线C：V=4x的焦点为F,过焦点”的直线与抛物线C交

于点48.若BO=BF（。为坐标原点），则△Q4B的面积为（）

A.当B.乎C.6D.2a

,>77

【变式3・2】（2025•浙江绍兴•二模）已知椭圆C；：5+y2=|,双曲线=月，4分别为G的左，

右顶点.过A作直线/与G及G的右支分别交于点P，Q.若P"QB,则Q点的横坐标为（）

A.2拒B.2+2x/2C.5D.3及

【变式3・3】（2025•全国•模拟预测）写出与椭圆］+（=1和抛物线都相切的一条直线的方程

题型04离心率的取值与范围问题

典例剖析

【例4・1］（2025・广东广州•模拟预测）设椭圆£+*=1（〃”>0）与双曲线£=1的离心率分别为4©，

双曲线的渐近线的斜率小于孚，则4+电的取值范围为（）

八（&）ec伴喇“哆+明

【例4・2】（2025・河南・一模）已知”,鸟为椭圆C：5+，=1e>〃>0）的左、右焦点，4为椭圆C的上顶

点,M为椭圆C的右顶点，连接A居交椭圆C于另一点B,若AFJ/BM,则椭圆C的离心率为（）

A.孝B.V2-IC.4D.6-1

方法提炼

1.椭圆的离心率

（1）离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比m称为椭圆的离心率•用e表示，即^二二

aa

（2）寓心率的范围：0<e<l.

2.双曲线的离心率

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比（，叫作双曲线的离心率.

（2）双曲线离心率的范围：e>l.

3.求离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于〃，心。的关系式（等式或不等式），转化为6的关系式.

【变式4・1】（24-25高三下•甘肃开学考试）如图，已知双曲线C--^-=\（a>0,b>0）的左、右焦点

分别为尸，过网作渐近线/：bx-ay=O的垂线交/于点M,连接ME交。于点N,若

A.B.C.2D.石

已知双曲线一］=（。>0,b>）的上、下焦点分别为《、

【变式4・2】（24-25高三上•甘肃庆阳月考）C:=10

cro

K，。是。的上支上的一点（不在）'轴上），PFn与A-轴交于点4,7PAF\的内切圆在边AK上的切点为8,

若>2），则C的离心率的取值范围是（）

A.1,B.,+00

【变式4・3】（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）离心率为，的椭圆滔•+官=1（4>4>0）和离心率为6的

22

双曲线七m-2=1（%>0也>0）的交点构成四边形ABCD,2的渐近线与E的交点构成四边形A,

若四边形4BCO与四边形A8CA全等，则e；+e；=（）.

A.1B.2C.3D.4

题型05圆锥曲线中范围、最值问题

典例剖析

【例5・1］（24-25高三下•江苏泰州•开学考试）在平面直角坐标系xO.y中，直线/与抛物线f,

单位圆。分别相切于A,8两点，当最小时，〃=（）

A.2也B.2xflC.6D.V2

【例5-2】（2025•上海普陀•一模）设点M是抛物线/=8括y的焦点，点/是双曲线一/一工印的左焦

4

点，点。是「上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（）

A.|。石-|。河|的最大值是5B.|纱|+|。必的最小值是5

C.|。目-|。叫的最大值是7D.|Q目+|QM|的最小值是7

方法提煤

1.史理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，

2.圆锥曲线中的最值问题的解题思路

①建立函数模型，求解函数的值域或最值（切莫忘记定义域的考查）；

②构建不等关系.

QSEI

【变式5・1】（2025•山西・二模）已知抛物线C"2=4'’的焦点为产，准线为/.点/>在。上，过P作抛物线的

切线交准线/于点。.当△尸QQ外接圆面积最小时，点P的坐标可以是（）

A.仔•B.（对C.（用D.亿1）

【变式5・2】（2025・安徽•三模）设A为椭圆£:三十工=1上一点，0c，则当1">|最小时，点A的横

43U）

坐标为（）

A.-1B.0C.1D.2

【变式5-3]（2025♦四川成都•一模）（多选题）已知点尸为双曲线=1右支上一点，"，入分别为

其左、右焦点，4,6为双曲线。的两条渐近线，过点。分别作PB1l2,垂足依次为AI,过点”

作PM/&交h于点M,过点P作PN/4交于点N,。为坐标原点，则下列结论正确的是（）

|PF|

A.身的最大值为3B.AF/巴的内心/到V轴的距离为1

C.\PM\\PN\~^D.士百

题型06新定义问题

、典例剖析

【例6-1]（24-25高三下•山西•开学考试）画法几何学的创始人一一法国数学家加斯帕尔•蒙口发现：与椭圆

相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半

径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A,8为椭圆E：/+匕=13>1）上的两个动点，动点P在直线

a

3x+4y-1（）=（）上，若NAP3C（吟恒成立，则E的离心率的取值范围为（）

【例6-2]（2025上海浦东新二模）已知圆锥曲线「的对称中心为原点O,若对于「上的任意一点A,均

存在「上两点C,使得原点0到直线A8,AC和8。的距离都相等，则称曲线「为“完美曲线〃.现有如

下两个命题：

①任意椭圆都是"完美曲线"：②存在双曲线是“完美曲线〃.

下列判断正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题D.①②都是假命题

方法提嫌

常见圆锥曲线新定义问题处理思路

1.将新定义问题转化为常规问题.例如‘‘分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定.

2.反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率.

3.新定义曲线建立方程一分类讨论一验证性质

4.新定义交汇题联立方程-参数法一几何性质转化

5.几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）一应用性质（如中线平行、面积最小值）

[变式训练,

【变式6・1】（2025•海南•模拟预测）（多选题）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见「

16%年,雅各布・伯努利将其作为柄圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，

而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得凯迹经过两定点的中点时，

轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线C（如图所示）过坐标原点。，且C上的点P（x，N）满足到两个定点£（-。，0），

B.点何（"）（大＞0）在C上，则|MR=20

C.点N在椭圆=1上，若£N_LKN,则NwC

62

D.过用作x轴的垂线交。于A,3两点，则|AB|＜2

【变式6・2】（2025.江苏徐州.模拟预测）（多选题）已知。＞0,（-"0）,鸟（《0）,若平面内动点P（K），）满

足|生疗马=〃，则称点尸的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（）

A.双纽线是轴对称图形B.八的面积的最大值为《

4

C.|P用+|P图=勿D.直线），=0.9%与双纽线有三个交点

【变式6・3】（2025•河北沧州•一模）（多选题）在平面直角坐标系中，若M（$，X）,N（wM，则称

"d=k「w|+|y-为「为忆N两点的"曼哈顿距离”，若动点E到两定点R0，-c），口0，c）（c＞。）的“曼哈顿

距离"之和为定值2。（。＞。），则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆〃，若点P为该"曼哈顿椭圆"上一点，则（）

A.6的周长为为+2cB.6面积的最大值为《。一。）

C.该“曼哈顿椭圆〃的面积为2[/-C2）D.该"曼哈顿椭团，的周长为4|无〃+（1-0）可

＞第二部分强化实训

1.12025•陕西西安•二模）已知双曲线夕-*=1（4＞0⑦＞0）的左、右焦点分别为6,工，点P在双曲线右支

上，若的内切圆的圆心为。（％,。），且满足丈与3诙的纵坐标互为相反数，则双曲线C的渐近线的

方程为

2.12025•上海虹口•一模）已知双曲线C的焦点分别为4（-1,0）和鸟（1,0）,若点”为C上的点，且满足

3

PFi-L,sinZP/^^=j,则点G到C的一条渐近线的距离为一.

3.（25-26高三上•广东佛山•月考）已知月（w,0"（c,0）分别为椭圆加*+今=1（〃>人>0）的左、右焦点，

从点A（-2c,0）射出的一条光线经直线）,=孚。反射后经过点用，且反射后的光线与M在第四象限交于点

P.若归耳卜|尸用山，则知的离心率为（）

A石B百C&D近

2323

4.12025•湖南湘潭•一模）己知双曲线C:,2=1（"0/>0）的右焦点为6（2,0）,若圆

用:。+2）2+。，-6）2=4上存在点。使得P鸟的中点在C的渐近线上，则C的离心率的取值范围为（）

A.[2,-HX））B.[3,+oo）C.d,2]D.（1,3]

5.（2025•广西•模拟预测）（多选题）已知以£、工为左右焦点的椭圆。:「+白=1（.>〃>0）的短轴长为26

点P是椭圆C上的一个动点，且点P到F?的最大距离是点P到”的最小距离的3倍，连接?工，并延长PE

与椭圆C相交于点Q,其中说法正确的是（）

A.椭圆的方程为《+£=1B.三角形尸£工的面积的最大值为2G

43

1I.

C.三角形PQZ的周长为8D.历可+=2

6.12025•云南•模拟预测）（多选题）已知椭圆C：£+£=l,右焦点为尸，直线〉=区任二0）与椭圆。交

43

于P，。两点，。为C上不同于尸，。的一点，记直线OP，OQ的斜率分别为人，鱼,则下列结论正确的是（）

A.C的离心率为/B.△QQ面积的取值范围为他

C.柩=5D.若点M为C上的动点，则|OM|+21Mq的最大值为8

22

7.12025•重庆•模拟预测）（多选题）已知双曲线C：=1（〃〉0力>0）,K，尸2为。的左、右焦点,

点4（0,-。），与（0力），过尸2作实轴的垂线/与。从下到上依次交于A,B两点,线段A8与C的虚轴长相

等.则（）

A.双曲线。的离心率e=&

B.以A8为直径的圆与C的渐近线相切

C.若点P是C上任意一点，则直线尸与，P层的斜率之积的范围是[-15

D.若点P是C上任意一点,/分别与叫,PB2交于点E,F,则|AB|2=|AF『+|BE|2

8.12025•山东淄博•三模）（多选题）旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一

个角度.例如，对任意平面向量丽=（x，A，把而绕起点A沿逆时针方向旋转。角得到向量

AP=（xcos<9-ysin^xsinO+ycos。），这一过程叫做把点8绕点A逆时针方向旋转6角得到点P.已知

椭圆C:x2+3y2=2,绕坐标原点。逆时针旋转^得到斜椭圆C,则下列结论正确的是：（）

A.已知点八（一6,26），点46-2百），把点8绕点A逆时针旋转y得到点产（63）

B.斜椭圆C'的离心率是y

C.斜椭圆C方程是x2+y-^=l

D.过斜椭圆C在第一象限内的焦点作斜率为-1的直线，与斜椭圆交于点M,N，则|M/V|=半

9.（2025•陕西延安•模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系xQy中，定义原点的"相伴点”是原点，当p（x,y）

不是原点时，Q的“相伴点"为P'.平面曲线C上所有点的“相伴点”所构成的曲线C定

（x//f/+y,?-犷J+#

义为曲线C的“相伴曲线"，则下列说法正确的是（）

（43、

A.若A的坐标为（3,4）,则A的“相伴点”4的坐标为《司

B.若不在直线）上的点A的"相伴点〃是点A,则直线OA与直线OA关于直线）'=x对称

C.若曲线。是以原点为圆心的圆，则其"相伴曲线"C也是圆

D.若曲线C是一条直线，则曲线C的“相伴曲线”C也是一条直线

10.（2025•河北邯郸•一模）（多选题）如图“四角花瓣''图形可以看作由抛物线C：W=20，（〃>O）绕坐标原点

分别旋转［，兀，:后所得三条曲线与。共同围成的区域（阴影区域），AB分别为C与另外两条曲线在

22

第一象限、第二象限的交点，若［4即=8,阴影部分的面积为S,则（）

A.p=1

B.VAOB的面积为16

C.S的值比32小

D.直线y=x+〃截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4

专题08解析几何(选填题)

!目录

!

i

i第一部分题型解码微观解剖，精细教学

i

i性典例剖析出方法提炼出变式

题型()1直线与圆的相关问题

I

题型02圆锥曲线的方程与性质

题型03直线与圆锥曲线的位置关系

I

题型04离心率的取值与范围问题

题型05圆锥曲线中范围、最值问题

I

题型06新定义问题

；第二部分强化实训整合应用，模拟实战

A第一部分题型解码

题型01直线与圆的相关问题

典例剖析

【例L1】(2025•全国一卷•高考真题)已知圆V+(>+2)2=r2(r>0)上到直线y=&+2的距离为1的点有

且仅有2个，则r的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+oo)D.(0,+8)

【答案】B

【详解】由题意，

在圆/+(>+2『=，(r>())中，圆心仪0,-2),半径为「，

到直线广屈+2的距离为1的点有且仅有2个，

|0xV3-(-2)xl+2|

(3圆心仪0,-2)到直线)，=任+2的距离为："=J(可(1J=2，

当/*=1时，圆f+（y+2）2=r2（/>o）上有且仅有一个点（4点）到直线）,="计2的距离等于1；

当r=3时，圆f+（y+2）2=，&>o）上有且仅有三个点"CD点）到直线），=岛+2的距离等于1；

当则，•的取值范围为（，3）时，圆r+（）、+2）2=/（,>0）上有且仅有两个点到直线）,=岛+2的距离等于1.

故选:B.

【例1・2】（2025・四川凉山•一模）已知曲线C:（x-4）2+）尸=产（,>0）上存在点与尸（一1,3）关于直线

/:（36+2口+。〃-3）p一3〃?+9=。对祢，则,•的取值范围为（）

A.[3,6]B.[3,5]C.[4,6]D.[4,5]

【答案】C

【详解】设点限⑶关于直线你对称点如小则线段收的中点宁,苧在直线/上,

又迎=（x+1,y-3）,直线/的方向向量及=直-3,-3万-2）,而汉•力=0,

(3^+2)--+(w-3).^^-3w+9=0

因此｛22

3x+2_v-3=Lv-3>,+l0)〃?

(x+1)(〃?-3)+(y—3)(-3/n-2)=0

消去得（3x+y-6）（3x+2y-3）+（2x-3y+7）（x-3y+10）=0,

整理得/+），2-6），+8=0,即f+（y_3）2=l,于是点。在以点。（0,3）为圆心，1为半径的圆匕

而曲线C：（x—4）2+y2=，（r>0）是以点G（4,0）为圆心，，•为半径的圆，|^£）|=5,

依题意，点Q在曲线C上，则曲线。与圆。有公共点，即这两个圆相交或相切，

因此"1区仁£>仁广+1,g|J|/-l|<5<r+1,解得4介46,

所以/的取值范围为[4,6].故选：C

方法提煤

I.直线与圆的位置关系

\Aa+Bh+C\

③几何法:圆心（〃㈤到直线Ar+Bv+C=（）的距离,则4=

>JA2+B2

@代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

Ax+By+C=O

由,，消元得到一元二次方程〃V+/+，=。，+/+/=。判别式为八，则:

相离相切相交

③

图形

方程观点A<0A=0A>0

量化

几何观点(t>rd=rd<r

二、圆与圆的位置关系

设两圆。一。2的半径分别是凡厂，（不妨设R〉r），且两圆的圆心距为d,则:

位置关系相离外切相交内切内含

(SrA

图形

S.4

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【变式I】（2025・广东•模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（）

A.42B.49C.56D.64

【答案】B

【详解】设出cosa，sinq）（i=l,2,3,…,7）,则

归尸『=(cosg-cosOj+卜山4.一sinOj=2-2(cos^cos^+sin^sin^J,

所以Z|仍|2=C>2-2A(cos^cos^.+sin^sin^-),

l£i<j£71SJ</S7

/7\2/7\2

因为gcosq+Zsing=7+2Z(cos0-cos0t+sin0tsin0f),

<i=l)\i=l7IS/<JS7

2(1Y(7Y(7\2/7\2

所以Z=C；・2+7-，8sq-Zsing=49-Zcos&-gsinq,

\^<j<73=i)3=i)\«=i/3=i7

当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有»。$@=2>访4=0,

/=1r=1

则E忸夕/《49’因此所求的最大值为49.故选：B.

l<r</<7

【变式1・2]（2（）25•浙江・一模）已知点在直线x+），+2=0上，且|从同=2,点C在圆

M:（.r-2）2+（y+2）2=l±,则VABC面积的取值范围是（）

A.[2夜-2,2&+2]B.[&-La+1]

C.[2,6]D.[1,3]

【答案】B

【详解】圆心M（2,—2）到直线x+y+2=0的距离为d=口[（-2）,2|=&,

VI2+12

则点C到直线的距离h的取值范围为[五-1,夜+1],

由用树=；卜网/，得到邑板d3-1,百口].故选