2026年高考数学概率统计试题及答案

2026年高考数学概率统计试题及答案某城市环保部门为评估2025年空气质量改善情况，对全年365天的PM2.5日平均浓度（单位：μg/m³）进行监测，将数据整理为频率分布直方图（如图1所示，图中各组区间左闭右开）。已知[40,50)组的频率比[50,60)组多0.12，且[60,70)组的频数为29。（1）求频率分布直方图中a的值及[50,60)组的频率；（2）根据国家空气质量标准，PM2.5日平均浓度不超过35μg/m³为优，超过35μg/m³但不超过75μg/m³为良，超过75μg/m³为污染。试估计该城市2025年空气质量为良的天数（结果保留整数）；（3）若从PM2.5浓度在[20,30)和[70,80)的天数中用分层抽样的方法抽取5天，再从这5天中随机选取2天分析污染成因，求选取的2天中至少有1天浓度在[70,80)的概率。答案：（1）设[50,60)组的频率为x，则[40,50)组的频率为x+0.12。由频率分布直方图各小矩形面积和为1，可得：(0.004+0.012+a+x+0.008+0.004)×10=1化简得：(0.028+a+x)×10=1→0.28+10a+10x=1→10a+10x=0.72→a+x=0.072。又[60,70)组的频数为29，频率为0.008×10=0.08，故总天数365×0.08=29.2≈29（符合题意）。[70,80)组频率为0.004×10=0.04，频数为365×0.04=14.6≈15（实际计算中频率和为1，故需调整）。观察直方图，[20,30)组频率0.004×10=0.04，[30,40)组0.012×10=0.12，[40,50)组频率为(a×10)，[50,60)组为(x×10)，[60,70)组0.08，[70,80)组0.04。总频率和：0.04+0.12+10a+10x+0.08+0.04=1→0.28+10a+10x=1→10a+10x=0.72→a+x=0.072。由题设[40,50)组频率比[50,60)组多0.12，即10a10x=0.12→ax=0.012。联立方程组：a+x=0.072ax=0.012解得a=0.042，x=0.03。故a=0.042，[50,60)组频率为0.03×10=0.3。（2）空气质量为良的浓度范围是(35,75]，对应直方图区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,75]（注：[70,80)中75到80为污染，故良的上限为75）。[40,50)组频率0.042×10=0.42，[50,60)组0.3，[60,70)组0.08，[70,75)组频率为0.004×5=0.02（因75是上限，取半组）。总良的频率=0.42+0.3+0.08+0.02=0.82。良的天数≈365×0.82≈299天。（3）[20,30)组频数=365×0.04=14.6≈15天，[70,80)组频数=365×0.04=14.6≈15天（实际分层抽样时按比例抽取）。分层抽样抽取5天，比例为1:1（两组频数相同），故从[20,30)抽2天（记为A1,A2），从[70,80)抽3天（记为B1,B2,B3）。从5天中选2天的所有可能：C(5,2)=10种。至少1天在[70,80)的对立事件是2天都在[20,30)，只有C(2,2)=1种。故所求概率=11/10=9/10。某电子公司研发新型芯片，测试阶段需进行三次独立性能测试，每次测试通过的概率为p（0<p<1）。若至少两次通过测试，则芯片进入量产；否则需重新研发。已知三次测试中恰好两次通过的概率是恰好一次通过概率的2倍。（1）求p的值；（2）若芯片进入量产，其批量生产的次品率为0.05，从量产的芯片中随机抽取100片，记X为其中次品数，求X的数学期望和方差；（3）为优化测试流程，公司考虑将测试次数改为两次，若两次都通过则进入量产，否则重新研发。比较两种测试流程（三次测试至少两次通过vs两次测试都通过）下芯片进入量产的概率，判断哪种流程更严格（即进入量产概率更低）。答案：（1）设三次测试中恰好k次通过的概率为P(k)，则：P(2)=C(3,2)p²(1-p)=3p²(1-p)，P(1)=C(3,1)p(1-p)²=3p(1-p)²。由题设P(2)=2P(1)，即3p²(1-p)=2×3p(1-p)²。因0<p<1，1-p≠0，p≠0，两边约去3p(1-p)得：p=2(1-p)，解得p=2/3。（2）X服从二项分布B(n=100,p=0.05)，故期望E(X)=np=100×0.05=5，方差D(X)=np(1-p)=100×0.05×0.95=4.75。（3）原流程（三次测试）进入量产的概率为P(2)+P(3)=3p²(1-p)+p³=3×(2/3)²×(1/3)+(2/3)³=3×4/9×1/3+