2026届湖南省常德市鼎城区中考二模数学试题含解析

2026届湖南省常德市鼎城区中考二模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）A．a﹣2 B．a+2 C． D．2．已知，，且，则的值为（）A．2或12 B．2或 C．或12 D．或3．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，154．一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=1；④当y=﹣2时，x的值只能取1；⑤当﹣1＜x＜5时，y＜1．其中，正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．的相反数是（）A．﹣ B． C． D．27．统计学校排球队员的年龄，发现有12、13、14、15等四种年龄，统计结果如下表：年龄（岁）12131415人数（个）2468根据表中信息可以判断该排球队员年龄的平均数、众数、中位数分别为（）A．13、15、14 B．14、15、14 C．13.5、15、14 D．15、15、158．下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．9．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（）A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣110．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积等于（）A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm211．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____．14．如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4=．15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数(x＞0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将(x＞0)的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′，B点的对应点为B′．此时点B′的坐标是_____．16．关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是_____．17．因式分解：．18．在Rt△ABC中,∠C=90∘,若AB=4,sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作⊙O切线DF，连接AC并延长交DF于点E．（1）求证：AE⊥EF；（2）若圆的半径为5，BD＝6求AE的长度．20．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形.21．（6分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数．（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副），求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）22．（8分）如图，正方形ABCD的边长为2，BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP记作l.(1)若l的解析式为y＝2x＋4，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；(2)当直线l与AD边有公共点时，求t的取值范围．23．（8分）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表：生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（分钟）10103503020850（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？（2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a件（a为正整数）．①用含a的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数；②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a的取值范围．24．（10分）一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；求两次摸到的球的颜色不同的概率．25．（10分）已知：不等式≤2+x（1）求不等式的解；（2）若实数a满足a＞2，说明a是否是该不等式的解．26．（12分）正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为；题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为；②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；问题拓展：（3）在（1）（2）的条件下，若AP=，∠DEM=15°，则DM=．27．（12分）一辆高铁与一辆动车组列车在长为1320千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，求这辆高铁列车全程运行的时间和平均速度．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解析】

解：原式====．故选B．考点：分式的混合运算．2、D【解析】

根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.故选D.3、D【解析】

将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D.【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.4、B【解析】当k＞0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y=的图象在一、三象限，∴A、C不符合题意，B符合题意；当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y=的图象在二、四象限，∴D不符合题意．故选B．5、A【解析】

根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．【详解】由函数图象可得，

a＞1，b＜1，即a、b异号，故①错误，

x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，

∵-＝2，得4a+b=1，故③正确，

由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，

由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜1，故⑤正确，

故选A．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6、A【解析】分析：根据相反数的定义结合实数的性质进行分析判断即可.详解：的相反数是.故选A.点睛：熟记相反数的定义：“只有符号不同的两个数（实数）互为相反数”是正确解答这类题的关键.7、B【解析】

根据加权平均数、众数、中位数的计算方法求解即可.【详解】，15出现了8次，出现的次数最多，故众数是15，从小到大排列后，排在10、11两个位置的数是14，14，故中位数是14.故选B.【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数的意义．数据x1、x2、……、xn的加权平均数：（其中w1、w2、……、wn分别为x1、x2、……、xn的权数）.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8、C【解析】

解：A．2a与2不是同类项，不能合并，故本选项错误；B．应为，故本选项错误；C．，正确；D．应为，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．9、D【解析】试题解析：因为|+2|=2，|-3|=3，|+4|=4，|-1|=1，由于|-1|最小，所以从轻重的角度看，质量是-1的工件最接近标准工件．故选D．10、B【解析】由三视图可知这个几何体是圆锥，高是4cm，底面半径是3cm，所以母线长是（cm），∴侧面积＝π×3×5＝15π（cm2），故选B．11、C【解析】

如图所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=1．故选C．考点：勾股定理的证明．12、B【解析】

利用OB=DE，OB=OD得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．【详解】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，

∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、41【解析】

已知一元二次方程的根判别式为△＝b2﹣4ac，代入计算即可求解.【详解】依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41故答案为：41【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为△＝b2﹣4ac是解决问题的关键.14、110°．【解析】

解：∵∠1+∠2=180°，∴a∥b，∴∠3=∠4，又∵∠3=110°，∴∠4=110°．故答案为110°．15、（1，-4）【解析】

利用旋转的性质即可解决问题.【详解】如图，由题意A（1，4），B（4，1），A根据旋转的性质可知′（4，-1），B′（1，-4）；

所以，B′（1，-4）；故答案为（1，-4）.【点睛】本题考查反比例函数的旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16、【解析】

首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解：由不等式①得：x＞a，由不等式②得：x＜1，所以不等式组的解集是a＜x＜1．∵关于x的不等式组的整数解共有3个，∴3个整数解为0，﹣1，﹣2，∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．故答案为：﹣3≤a＜﹣2．【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17、；【解析】

根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．【详解】x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．故答案为（x﹣4）（x+3）．18、【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=4，sinA=，∴BC=，∴AC=，∵CD是AB边上的高，∴CD=AC·sinA=.故答案为：.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）详见解析；（2）AE＝6.1．【解析】

(1)连接OD，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD∥EA，即可证得结论；(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】(1)连接OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵点D是弧BC中点，∴∠EAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥EA，∴AE⊥EF；(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵圆的半径为5，BD=6∴AB=10，BD=6，在Rt△ADB中，，∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，∴△AED∽△ADB，∴，即，解得：AE=6.1．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．20、（1）证明见解析；（2）从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．【解析】

（1）根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；（2）分别考虑P在BC和DA上的情况求出t的值.【详解】解：（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD间的最短距离是4cm，∵AB=3cm，AE=AB，∴AE=1cm，BE=2cm，设经过ts时，△BEP是等腰三角形，当P在BC上时，①BP=EB=2cm，t=2时，△BEP是等腰三角形；②BP=PE，作PM⊥AB于M，∴BM=ME=BE=1cm∵cos∠ABC=，∴BP=cm，t=时，△BEP是等腰三角形；③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，则BP=2BN，∴cosB=，∴，BN=cm，∴BP=，∴t=时，△BEP是等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，过P作PQ⊥BA于Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠QAD=∠ABC，∵∠BAC=∠Q=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=，AP=5x=cm，∴t=5+5+3﹣=，答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形.21、（1）补全条形统计图见解析；“骑车”部分所对应的圆心角的度数为108°；（2）2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为．【解析】

（1）从两图中可以看出乘车的有25人，占了50%，即可得共有学生50人；总人数减乘车的和骑车的人数就是步行的人数，根据数据补全直方图即可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；（2）列出从这4人中选两人的所有等可能结果数，2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种，然后根据概率公式即可求得．【详解】（1）被调查的总人数为25÷50%＝50人；则步行的人数为50﹣25﹣15＝10人；如图所示条形图，“骑车”部分所对应的圆心角的度数＝×360°＝108°；（2）设3名“喜欢乘车”的学生表示为A、B、C，1名“喜欢骑车”的学生表示为D，则有AB、AC、AD、BC、BD、CD这6种等可能的情况，其中2人都是“喜欢乘车”的学生有3种结果，所以2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22、(1)点A在直线l上，理由见解析；(2)≤t≤4.【解析】

（1）由题意得点B、A坐标，把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4得出y的值，即可得出点A在直线l上；（2）当直线l经过点D时，设l的解析式代入数值解出即可【详解】(1)此时点A在直线l上．∵BC＝AB＝2，点O为BC中点，∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4，得y＝2，等于点A的纵坐标2，∴此时点A在直线l上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l经过点D时，设l的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，∴解得由(1)知，当直线l经过点A时，t＝4.∴当直线l与AD边有公共点时，t的取值范围是≤t≤4.【点睛】本题考查的知识点是一次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握一次函数综合题.23、（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①600-；②a≤1．【解析】

（1）设生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要x分钟、y分钟，根据图示可得：生产10件甲产品，10件乙产品用时350分钟，生产30件甲产品，20件乙产品，用时850分钟，列方程组求解；（2）①根据生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要的时间关系即可表示出结果；②根据“小王四月份的工资不少于1500元”即可列出不等式.【详解】（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟，由题意得：，解这个方程组得：，答：小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①∵生产一件甲种产品需15分钟，生产一件乙种产品需20分钟，∴一小时生产甲产品4件，生产乙产品3件，所以小王四月份生产乙种产品的件数：3（25×8﹣）=600-；②依题意：1.5a+2.8(600-)≥1500，1680﹣0.6a≥1500，解得：a≤1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系列出方程组、不等关系列出不等式是解题的关键.24、（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）如图：，所有可能的结果为（白1，白2）、（白1，红）、（白2，白1）、（白2，红）、（红，白1）、（红，白2）；（2）共有6种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有4种，概率为．25、（1）x≥﹣1；（2）a是不等式的解．【解析】

（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．

（2）根据不等式的解的定义求解可得【详解】解：（1）去分母得：2﹣x≤3（2+x），去括号得：2﹣x≤6+3x，移项、合并同类项得：﹣4x≤4，系数化为1得：x≥﹣1．（2）∵a＞2，不等式的解集为x≥﹣1，而2＞﹣1，∴a是不等式的解．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键26、(1)DM=AD+AP;(2)①DM=AD﹣AP;②DM=AP﹣AD;(3)3﹣或﹣1．【解析】

（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；（2）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；（3）分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可．【详解】（1）DM=AD+AP，理由如下：∵正方形ABCD，∴DC=AB，∠DAP=90°，∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，∴∠DAP=∠EPN，在△ADP与△NPE中，，∴△ADP≌△NPE（AAS），∴AD=PN，AP=EN，∴AN=DM=AP+PN=AD+AP；（2