2025~2026学年专题20解三角形的解答题问题题型分类归纳高一数学同步人教A版

2025~2026学年专题20解三角形的解答题问题题型分类归纳高一数学同步(人教A版）一、解答题1.在中；内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C的大小；(2)若，且，求.2.在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，，求．3.在中，角对边为，的面积为，已知.(1)若，，求的值；(2)若，求cosA的值.4.在中，角为锐角，．(1)求角的大小；(2)若点为边的中点，且，求的值．5.记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求.6.在中，内角的对边分别为．若．(1)已知，求三角形的三边长；(2)若，为中点，求外接圆半径．7.在中，内角的对边分别为，已知．(1)若，求；(2)若外接圆半径为1，当的面积取最大值时，求．8.在中，内角A，B，C所对的边分别为，且的面积为.(1)求；(2)若的外接圆半径为为AB的中点，求CD的长.9.在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，.(1)求的外接圆半径；(2)若，，求中边上的高的值.10.在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)设的面积为，外接圆的面积为，求.11.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．12.在中，(为的面积).(1)求；(2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于.13.在①②③这三个条件中选择合理的一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小．(2)已知D为AB上一点，CD为△ABC的一条角平分线，且（i）求CD的值;（ii）若求△ABC内切圆的半径．14.在中，．(1)证明：；(2)若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长．条件①：；条件②：；条件③：．15.在中，.(1)求A;(2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD的长.条件①:AD是BC边上的中线；条件②:AD是的平分线.16.正等角中心（positiveisogonalcentre）亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，(1)若，（）是关于的方程两根，其中，①求A；②若，设点为的费马点，求；(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．17.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为．(1)若，求；(2)设，当时，求以及的值．18.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为．(1)若，求面积；(2)若，且，求面积的最大值．19.法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.20.如图所示，在平面四边形ABCD中，为正三角形．(1)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求角B的大小；(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段BD的长取最大值时，求．(3)求面积的最大值．21.已知的三边分别为，，，面积为，，.(1)求；(2)若，点，是边上的两个动点，.（Ⅰ）当时，求面积的最小值；（Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.22.在中，角所对的边长分别为，，．(1)若，求角的余弦值；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．23.在中，内角所对的边分别为.(1)若的面积为1，①，求的值；②求的最小值.(2)若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.24.如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.(1)求的大小；(2)若外接圆半径为1，求的周长最大值.(3)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.25.如图，已知中，，内一点满足．(1)若，且满足，，求的正切值；(2)若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．26.在中，角所对边的边长分别为，且满足．(1)求角的值；(2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值．27.记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最小