2021年高二数学建模省赛预赛试题及官方参考答案

2021年高二数学建模省赛预赛试题及官方参考答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.数学建模过程中首先要做的是（）A.收集数据B.明确问题C.建立模型D.求解模型2.用于分析变量间线性相关关系的回归模型是（）A.对数回归B.线性回归C.多项式回归D.逻辑回归3.线性规划问题中，目标函数的特点是（）A.非线性B.线性C.指数型D.对数型4.图论中求解两点间最短路径的常用算法是（）A.迪杰斯特拉算法B.Kruskal算法C.Prim算法D.匈牙利算法5.以下属于概率统计模型的是（）A.人口增长模型B.传染病传播模型C.彩票中奖概率模型D.生产调度模型6.衡量回归模型拟合效果的核心指标是（）A.相关系数B.决定系数R²C.标准差D.方差7.层次分析法中计算因素权重的关键方法是（）A.求和法B.乘积法C.特征根法D.平均法8.描述种群数量随时间连续变化的模型通常是（）A.差分方程模型B.微分方程模型C.线性规划模型D.图论模型9.数据预处理中去除重复数据的主要目的是（）A.减少计算量B.避免数据冗余C.提高精度D.以上都是10.以下不属于模型评价指标的是（）A.精度B.复杂度C.可行性D.美观度二、填空题(总共10题，每题2分)1.数学建模的基本步骤依次是：明确问题、______、建立模型、求解模型、检验与评价。2.线性回归分析中，衡量自变量对因变量解释能力的指标是______。3.线性规划的三要素是决策变量、约束条件和______。4.图论中，无向图所有顶点的度数之和等于边数的______倍。5.层次分析法中，判断矩阵的______检验是确保权重合理性的关键。6.微分方程模型中，描述初始时刻状态的条件称为______。7.决策树由根节点、内部节点和______组成。8.聚类分析的主要目的是将数据划分为______的组。9.常用的预测模型包括时间序列模型和______模型。10.模型验证的常用方法有交叉验证和______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.数学建模必须使用复杂的数学方法。（）2.回归系数显著说明回归模型的拟合效果一定好。（）3.线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点上。（）4.层次分析法中必须进行一致性检验。（）5.微分方程模型只能描述连续变化的过程。（）6.聚类分析属于监督学习方法。（）7.决策树可以用于处理分类问题。（）8.模型评价只需关注预测精度。（）9.数据中的缺失值只能通过删除处理。（）10.无向图存在欧拉回路的条件是所有顶点的度数均为偶数。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.简述数学建模中选择合适模型的主要依据。2.简述线性回归分析的基本步骤。3.简述层次分析法解决问题的基本流程。4.简述建立微分方程模型的一般步骤。五、讨论题(总共4题，每题5分)1.在数学建模中，如何处理数据中的异常值？请举例说明。2.优化问题中，确定目标函数时需要考虑哪些因素？请结合实际问题说明。3.概率统计模型在传染病疫情预测中有哪些应用？请简要分析。4.如何提高数学建模结果的可信度？请从多个角度说明。参考答案一、单项选择题1.B2.B3.B4.A5.C6.B7.C8.B9.D10.D二、填空题1.收集数据2.决定系数R²3.目标函数4.25.一致性6.初始条件7.叶节点8.相似9.回归10.留一验证三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.√四、简答题1.主要依据包括问题实际背景（如连续/离散、确定性/随机性）、数据类型与特点（如线性/非线性、单变量/多变量）、模型适用范围（如回归用于相关分析、微分方程用于连续变化）、求解可行性（如计算复杂度、软件支持）。需结合问题需求选择，例如人口增长用微分方程，销量预测用回归模型。2.基本步骤：①明确自变量与因变量；②收集并预处理数据（如去除异常值）；③建立线性回归方程（y=ax+b）；④用最小二乘法估计回归系数；⑤检验模型（如R²衡量拟合度、t检验系数显著性）；⑥应用模型预测或解释变量关系。3.基本流程：①构建层次结构（目标层、准则层、方案层）；②构造判断矩阵（成对比较因素重要性）；③用特征根法计算各层因素权重；④进行一致性检验（CR<0.1则通过）；⑤计算综合权重并对方案排序。4.一般步骤：①确定状态变量（如种群数量N(t)）；②分析变量变化率的影响因素（如出生率、死亡率）；③根据守恒原理建立微分方程（如dN/dt=rN，r为增长率）；④确定初始条件（如N(0)=N₀）；⑤求解方程并验证模型与实际数据的吻合度。五、讨论题1.处理异常值可采用：①识别（用箱线图，超过上下四分位数1.5倍IQR的为异常）；②修正（用均值/中位数替换，如体温数据中390℃明显误录，修正为39℃）；③删除（若异常值无意义且数量少）。例如销售数据中出现1000万单日销量，远高于均值，检查发现是录入错误，修正为100万。2.需考虑：①问题核心目标（如成本最小化、利润最大化）；②关键变量（如生产优化中考虑原材料成本、人工成本）；③约束兼容性（目标不能与产能、预算约束冲突）；④可量化性（目标需用数学表达式，如利润=5x+8y，x、y为两种产品产量）。例如工厂生产优化，目标函数为利润最大化，需结合原料供应、工时约束。3.概率统计模型可用于：①感染概率估计（用二项分布模型计算易感者感染概率）；②病例预测（用ARIMA时间序列模型分析病例增长趋势）；③风险评估（用Logistic回归分析年龄、基础病对感染风险的影响）；④疫苗效果评价（用卡方检验比较接种组与安慰剂组的发病率）。例如用SEIR模型结合概率分布，预测戴口罩情况下的新增病例数。4.提高可信度可从：①数据质量（确保数据真实完整，预处理去除异常值）；②模型合理性（选择贴合问题的模型，如连续变化用微分方程）；③检验验证（用交叉验证、