2026年北京市顺义区高三一模数学试卷（含答案）

第2页/共16页顺义区2026年高三统一测试试卷（一模）数学2026.3第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）复数的共轭复数为，满足，则（A）（B）（C）（D）（3）在中，，若，则（A）（B）（C）（D）（4）若双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（5）已知函数的定义域为，则“对于任意，使得”是“值域为”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知等差数列的前项和为，若，成等比数列，则（A）（B）（C）（D）（7）已知抛物线的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（A）（B）（C）（D）（8）已知函数若方程有个不同的实数解，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（9）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为.给出下列三个结论：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的​，则声压级减少约为；（参考数据：，）其中正确结论的个数为（A）个（B）个（C）个（D）个（10）已知向量满足，.当与的夹角最大时，（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_____________.（12）若，则________;_______.（13）已知直线与圆交于两点．若圆弧的长恰为圆周长的，则________.（14）设函数，则图象的一条对称轴方程为___________;若在上单调递增，则的最大值为___________.（15）如图，在棱长为的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点)，给出下列四个结论：①三棱锥的体积为定值；②存在点，使得平面平面；③为锐角三角形；④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）.其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在三棱柱中，△是正三角形，，平面，，是延长线上一点，且．（Ⅰ）设中点为，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值.（17）（本小题13分）种植区域平均亩产种植方式顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区两镇分别抽取块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）：种植区域平均亩产种植方式有机种植田机械种植田共生种植田镇300350425镇300375400用频率估计概率.（Ⅰ）从上述试验田中随机抽取块，求其平均亩产量均不低于的概率；（Ⅱ）从两镇中各随机抽取块试验田，设为平均亩产量不低于的试验田的块数，求的分布列和数学期望；（=3\*ROMANIII）为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg；机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg；共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg.假设该年度两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明）（18）（本小题14分）在三角形中，所对的边长为,，.（Ⅰ）求;（Ⅱ）若点在边上，再从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②、条件=3\*GB3③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知椭圆的左右顶点为，，焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，是上不同于,的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由.（20）（本小题15分）已知函数，.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）讨论的单调性；（=3\*ROMANIII）若存在两个极值点，且，求的取值范围.（21）（本小题15分）已知项数列满足.数列，满足，其中.记,.其中，表示数集中最大的数．（Ⅰ）已知，求,的值；（Ⅱ）若为奇数，且，求证:；（=3\*ROMANIII）求证..

数学答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）D（3）A（4）C（5）B（6）C（7）B（8）B（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13）或 （14）（答案不唯一）；（15）=1\*GB3①=3\*GB3③（有错不得分，仅对一个3分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）证明：取中点为，连接，因为分别为,中点，所以且因为且，所以且所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面所以平面（4分）法2：连接,因为分别为中点，所以因为，所以四边形为平行四边形所以.因为，所以,平面，平面,所以平面平面因为平面，所以平面（4分）（Ⅱ）因为，所以，因为，所以所以即知如图建立空间直角坐标系，所以,,,所以,,设是平面的一个法向量所以即可得，令得所以,即设直线与平面的夹角为，则.所以直线与平面的夹角的正弦值为.（13分）（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）解：设从上述试验田中随机抽取块，平均亩产均不低于为事件，则，中包含的基本事件总数,所以.（4分）（Ⅱ）从两镇中各随机抽取块试验田，的所有可能取值为，012，所以的分布列为所以的数学期望.（10分）（=3\*ROMANIII）.可设两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田的面积分别为，则其中，所以.（13分）（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以，由正弦定理可得，EACBD解得，又因为,所以.（4EACBD（Ⅱ）选条件①②法一：因为,所以△是等腰三角形，作为中点，连结，那么，所以，由勾股定理得，即，解得所以,所以.（14分）ACBD方法二：在△中，ACBD在△中,，所以，所以因为，所以可得，解得所以，，在中，=即解得所以，所以.（14分）选条件②③因为,所以△是等腰三角形，所以,且又因为，所以，在△中,，所以,所以，，所以.（14分）若选条件①③，在△中,，所以,在△中，因为，所以当时，，解得；当时，，解得.所以△不唯一，不符合要求.（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（4分）（Ⅱ）不存在点.法一:假设存在点使得直线平行于直线成立,设，依题意可知，且,则，所以直线的方程：,设，联立，消去得,所以，又，所以，代入可得，因为为中点，所以，所以，则直线的方程为，令得，,所以，又令,即，即，与题设矛盾.所以假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.（15分）法二：假设存在点使得直线平行于直线成立,设直线的斜率为，依题意可知.直线的方程为，设，联立消去得.所以，又，所以，代入可得.所以，.所以，直线的方程为，令得.又，则，则直线的方程为.设，联立消去得所以，又，所以，代入可得.所以，令，则则得，与题设矛盾.因此假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.（15分）法三：假设存在点使得直线平行于直线成立,不妨设，其中，，则由点为中点可得则 ，所以直线的方程为联立，消去得，由在椭圆上，得代入整理，则或，当时，显然不成立，则只需验证是否满足题意，因为直线的方程为，代入得则，，令，可得.由知此方程无解,假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.（15分）法四：假设存在点使得直线平行于直线成立,设,依题意可知，则，所以直线的方程为.令，得，即，又所以，则直线的方程为.因为直线平行于直线，所以.所以直线的方程为.联立解得，.因为点在椭圆上，所以即又为，的中点，所以，所以，因为点在椭圆上，所以即由可解得，与题设矛盾.因此假设不成立.所以不存在点满足直线平行直线.（15分）（20）（本小题15分）解：（Ⅰ），，所以当时，，恰好在直线上，所以此时的切线与重合，所以值不存在.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知,定义域为讨论：=1\*GB3①当时，，令可解得.所以，在上单调递减，在上单调递增；=2\*GB3②当时，，令可解得.所以，在上单调递减，在上单调递增；=3\*GB3③当，即时，令可解得.所以，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减=4\*GB3④当，即时，，所以在上单调递减；综上可得：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.（4）当时，在上单调递减.（10分）（=3\*ROMANIII）法一：由（Ⅱ）可知，若有两个极值点，则令，可得则，则令，则，因为，所以所以，所以，所以，设，则所以在单调递减，又，所以，所以所以（15分）法二：由（Ⅱ）可知，若有两个极值点，则令，可得则，所以，则，因为，所以，则设，，所以在上单调递减，因为，所以若，则，因为，所以，因为，所以（15分）法三：由（Ⅱ）可知，若有两个极值点，则令，可得则，所以因为，所以设，则，所以，设，所以在上单调递增，因为，所以，所以.（15分）（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）,（4分）（Ⅱ）设，若，则，于是，所以，进而若，则这个数只能取和这两个值，又，所以这个数中取和这两个值的个数相同，因为为奇数，这不可能，所以.（10分）（=3\*ROMANIII）若则结论显然成立.若因为对数列实施循环置换时，数列中各数只改变排列的次序，所以不妨设，于是由题设可知因为所以同理可得依此类推