2025~2026学年广西桂林市龙胜各族自治县龙胜中学高二下学期开学收心考试数学试卷

2025~2026学年广西桂林市龙胜各族自治县龙胜中学高二下学期开学收心考试数学试卷一、单选题1.直线的倾斜角（）

A．B．C．D．2.抛物线的准线方程为（）

A．B．C．D．3.记正项等比数列的前项和为，且，，则（）

A．243B．81C．27D．94.圆与圆的公切线条数为（）

A．4B．3C．2D．15.给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）

A．144B．288C．432D．5766.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（）

A．0.42B．0.36C．0.35D．0.457.我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．8.已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若且，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．二、多选题9.若随机变量，则下列选项中正确的是（）

A．B．C．D．10.设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（）

A．B．C．D．11.如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（）

A．B．的内切圆与轴相切于点C．若，则的离心率为D．若，则椭圆方程为三、填空题12.在的展开式中常数项是______．（用数字作答）13.已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________．14.已知，且，记随机变量为中的最小值，则________.四、解答题15.某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表：

甲地使用者乙地使用者合计不满意10050150满意200150350合计300200500(1)根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关；(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望.附录：.

0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82816.已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.17.如图，在直三棱柱中，．(1)求证：为直角三角形；(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值．18.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，.(1)求椭圆的方程；(2)试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；(3)若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望；(2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率；(3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现