函数图像的切线问题

函数图像的切线问题

要点梳理归纳

1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及其方法

(1)已知切点P(xO,f(xO)),求y=f(x)在点P处的切线方程：

切线方程为y—f(xo)=fz(xo)(x-xo).

(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程：

设切点为P(xO,yO),通过方程k=V(xO)解得xO,再由点斜式写出方程.

⑶已知切线上一点(非切点)A(s,t),求y=f(x)的切线方程：

,

设切点为P(xO,yO),利用导数将切线方程表示为y-f(xO)=f(xO)(x-xO),再将

A(s,t)代入求出xO.

2.两个函数图像的公切线

函数y二f(x)与函数y二g(x)存在公切线，

若切点为同一点P(xO,yO),则有口

若切点分别为(x1ff(xD),(x2,g(x2))，则有口.

题型分类解析

题型一已知切线经过的点求切线方程

例1.求过点P(2,2)与已知曲线S:y=3x—V相切的切线方程.

解：点口不在曲线口上.

设切点的坐标口，则口，函数的导数为口，

切线的斜率为口，口，

点在切线上，，又，二者联立可得相应的斜率为或

二.切线方程为y=2或y=(-9±6g)(x-2)+2.

例2.设函数口，曲线□在点口处的切线方程为口，则曲线口在点口处的切线方程为

解析：由切线过口可得：口，所以口，另一方面，口，且口，所以口，从而切线方程为：

□

例3.已知直线口与曲线口切于点口，则口的值为

解析：代入口可得：口，口，

所以有口，解得口

题型二已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）

例4.已知函数口，贝IJ:

（1）在曲线口上是否存在一点，在该点处的切线与直线口平行

（2）在曲线口上是否存在一点，在该点处的切线与直线口垂直

解：设切点坐标为口口由切线与口平行可得：

/（%）='+2=4=>%=；

=In—+1

工022

切线方程为：

（2）设切点坐标口口，直线口的斜率为口

f（工0）='+2=_]n%o=一1而X。G（0,+oo）

不在定义域中，舍去

不存在一点，使得该点处的切线与直线垂直

例5.函数口上一点口处的切线方程为口，求口的值

思路：本题中求口的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，口在直线口上，口，即口，得

到口的一个等量关系，在从切线斜率中得到□的导数值，进而得到口的另一个等量关系，

从而求出口

解：□在□上，口

../（2）=tzln2-4/?=21n2-4

又因为P处的切线斜率为-3f（x）=--2bx

X

6zln2-4/?=21n2-4,

r6Z=2

・"⑵罟一4八-3,

£-4/?=-3=l

2i

例6.设函数口，若曲线口的斜率最小的切线与直线□平行，求□的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为口，进而可得导函数的最

小值为口，便可求出口的值

(21A1(1V1

解：f(x)=3x2-2ax-9=3x1——a+—a2——a2-9=3x——a——a2-9

v7I39J3I3J3

直线的斜率为，依题意可得：

1

a~99=12=以=±3v<0=-3

3

题型三公切线问题

qo15

例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=/禾口丁=以~+一x-9都相切,则。等于()

4

.A.口或....B.口或....C.口或.....D.口或口

思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线口含有参数，所以考虑先从常系数的曲

线口入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线口求出口的值.设过□的直线与曲线口

切于点口，切线方程为口，即口，因为□在切线上，所以解得：口或口，即切点坐标为口

或口.当切点口时，由□与口相切可得

,同理，切点为解得

答案：A

小炼有话说：(1)涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所

以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系

(2)在利用切线与口求口的过程中，由于曲线口为抛物线，所以并没有利用导数的手段

处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的口来求解，减少了运算量.通过例

7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到

解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可

以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）

例8.若曲线口与曲线口存在公切线，则口的最值情况为（）

A.最大值为口B,最大值为口C.最小值为口D.最小值为口

解析：设公切线与曲线口切于点口，与曲线□切于点口，由□可得：口，所以有口，所以

口，即口，设口，则□.可知口在口单调递增，在口单调递减，所以口

题型四切线方程的应用

例9.已知直线□与曲线□有公共点，则□的最大值为

解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时，口取得最大值.

设切点坐标为口，则口，口口，口切线方程为口，口原点在切线上，口，口口斜

率的最大值为口.

例10.曲线y="在点（2,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A.口..B.□...C.口....D..

思路：口由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程

□所以切线方程为：口即口，

2

与两坐标轴的交点坐标为/）/.S=；X1X/=

例11.一点□在曲线口上移动，设点口处切线的倾斜角为口，则角口的取值范围是

（）.

「3A,713兀

A.c.D.

4)

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.口，对于曲线上任意一点

□,斜率的范围即为导函数的值域：口，所以倾斜角的范围是口.答案：B

例12.已知函数口，若过点口存在3条直线与曲线口相切，求口的取值范围

思路：由于并不知道3条切线中是否存在以口为切点的切线，所以考虑先设切点口，切线

斜率为口，则满足口，所以切线方程为口，即

,代入化简可得：，所以若存在3条切线，则等价于方程有三个解，即与有三个

不同交点，数形结合即可解决

解：设切点坐标口.切线斜率为口,则有：

切线方程为：

因为切线过口，所以将□代入直线方程可得：

，一(2片一3%)=(6片一3)(1-%)

=>"(6%-3)(l-xo)+(2xo-3xo)

=6XQ—3—6XQ+3工0+2XQ—3叫)=—4XQ+—3

所以问题等价于方程口，令口

3

即直线y=f与g(x)=-4x+6X2-3有三个不同交点

g(x)=—I2x2+12x=—12x(x-1)

令□解得口所以口在口单调递减，在口单调递增

g(%)极大值=g6=T，g(xL、<t=g(°)=-3

所以若有三个交点，则口

所以当口时，过点口存在3条直线与曲线口相切

例13.已知曲线C:x2=y,P为曲线C上横坐标为口的点，过P作斜率为k(k手0)的直线交

C于另一点Q,交X轴于%过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N,问是否存在实

数k,使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出K的值，若不存在，说明理由.

思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点口，则可求出口，从而与抛物线

方程联立可解得口，以及口点坐标，从而可写出口的方程，再与抛物线联立得到口点坐

标.如果从口坐标入手得到二方程，再根据相切口求口，方法可以但计算量较大.此时可

以着眼于口为切点，考虑抛物线口本身也可视为函数口，从而可以口为入手点先求出切

线，再利用切线过□代入口点坐标求□，计算量会相对小些.

解：由口在抛物线上，且口的横坐标为1可解得口

设化简可得：

消去：

再=l,x2=k-\

设直线即)=化_1)2__!_[工_(攵_])]

kk

联立方程：

1(1A

%2H—x—(%—1)k—\-\—=0

kV\k)

XQ,xN=-(左一1)k—k-1+一

\kIk)

(

:,N-+-,J+

kvk)IIj

由口可得：口

(1

•••切线例N的斜率勺加=)'LR=-2%—1+—

Vk)

2

11、

/.MN:y-k-\+—I=-22一1+;Ix+k-\+—

k

代入口得:

.M-1+L2%=>42+%一1=o.攵=T-15

k2

小炼有话说：(1)如果曲线的方程可以视为一个函数(比如开口向上或向下的抛物线，椭

圆双曲线的一部分)，则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比

联立方程计算口简便

(2)本题在求口点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知口的

横坐标求出口的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交

点求另一交点的问题.

例14.设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2—3x+2,其中x£R,a、b为常数,

已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线I.

(1)求a、b的值，并写出切线I的方程；

(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1.x2,其中x1<x2,且对任意

的x£[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x—1)恒成立，求实数m的取值范围.

【解答】⑴/(x)=3x2+4ax+b,(x)=2x-3.

由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线，

故有f(2)=g(2)=0,产(2)=g'(2)=1.

8+8a+2b+a=0,a=-2

由此得解得

12+8a+b=1,b=5.

所以a=—2,b=5,切线I的方程为x—y—2=0.

⑵由⑴得f(x)=x3-4x2+5x-2,

所以f(x)+g(x)=x3—3X2+2X.

依题意，方程x(x2—3x+2—m)=0有三个互不相同的实根0、x1.x2,

故x1.x2是方程x2-3x+2-m=0的两相异的实根.

所以△=9—4(2—m)>0,即m>一口.

又对任意的xG[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x—1)恒成立.

特别地，取x=x1时,f(x1)+g(x1)—mx1<-m成立，得水0.

由韦达定理，可得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0,故0<x1<x2.

对任意的x£[x[x2],有x-x2W0,x-x1^0,x>0,

则f(x)+g(x)—mx=x(x—xl)(x—x2)WO,

又f(x1)+g(x1)—mx1=0,

所以函数f(x)+g(x)-mx在xG[x1,x2]的最大值为0.

于是当一口。<0时，对任意的x£[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x—1)恒成立.

综上，m的取值范围是口.

例15.如图3-1,有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线0C是以

直线AD为对称轴，以线段AD的中点0为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角

切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米，问如何画切割线

EF,可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值.

解法一：以。为原点，直线AD为y轴，

建立如图所示的直角坐标系，依题意,

可设抛物线弧0c的方程为

y=ax2(OWxW2),

•・•点C的坐标为(2,1),

.*.22a=1ra=匚

故边缘线0C的方程为丫=x2(0Wx<2),

要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧0C相切，设切点坐标为

PD(0<t<2),

,:v'=Dx,.••直线EF的方程可表示为y—口t2=D(x—t),

即y=Dtx—Dt2.由此可求得E口，FD./.|AF|=n=1—nt2.

11

\BE\=t-Tt2——1=—Tt24-1+1.

1144

设梯形ABEF的面积为S(t),则

5(V=-n(t-D2+・.・当t=i时,s(t)=a

故S(t)的最大值为，此时|AF|=,|BE|=.