初中数学九年级下册：建立二次函数模型解决实际问题教案

初中数学九年级下册：建立二次函数模型解决实际问题教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，初中阶段模型观念的培养是核心素养的重要组成，要求学生“能够在具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。本节课正处于“二次函数”单元的尾部，是函数知识从理论学习走向实践应用的关键转折点。在知识技能图谱上，它要求学生综合运用已学的二次函数图像与性质（如最值、增减性）、待定系数法求解析式等知识，去分析和解决具有现实背景的问题，实现从“解题”到“解决问题”的认知跃迁。过程方法上，本节课是渗透数学建模思想的绝佳载体，其核心路径是“现实情境→数学抽象→建立模型→求解验证→解释预测”，课堂活动设计应致力于让学生完整经历这一过程。在素养价值层面，通过解决如拱桥、利润、投掷等实际问题，不仅能深化学生对函数作为刻画现实世界变化规律“数学语言”的理解，更能培养其用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的意识与能力，体会数学的应用之美和理性精神。

授课对象为九年级下学期学生，他们已系统学习了一次函数与二次函数的基础知识，具备初步的函数图像分析能力和待定系数法的使用经验。然而，学生普遍的思维难点在于：第一，如何从冗长的文字叙述和复杂的现实情境中，准确剥离出无关信息，抽象出关键的、可度量的数学变量；第二，如何将变量间的实际关系（如“利润随售价变化”）准确地“翻译”成函数解析式，特别是确定自变量的实际意义取值范围，这是一个显著的认知跨度。许多学生在独立面对问题时，易陷入情境细节或直接套用模式，缺乏清晰的建模思维路径。因此，本节课的教学必须提供强有力的“脚手架”——通过精心设计的、阶梯式的问题串，引导学生逐步完成从具体到抽象的思维攀登。同时，需预设多元化的形成性评价点，如在小组讨论中观察学生的表达逻辑，在板演中诊断其建模过程的完整性，通过即时性练习检验其应用模型的熟练度，并据此动态调整讲解的深度与节奏，为不同思维速度的学生提供差异化的启发与支持。

二、教学目标

知识目标：学生能够系统梳理并应用二次函数的相关知识，在面对如拱桥形状、销售利润、运动轨迹等典型实际问题时，能够清晰表述问题中的变量，并依据数量关系成功建立二次函数模型，最终通过求解模型获得实际问题的解答或优化方案。

能力目标：重点发展学生的数学建模能力与数学应用能力。具体表现为：能够独立或在合作中，完成从审题、设元、寻找等量关系、列出函数式、确定自变量取值范围到求解、检验并回归原问题作答的完整流程；能够灵活运用数形结合思想，借助函数图像直观分析最值、变化趋势等，支撑决策。

情感态度与价值观目标：通过解决贴近生活的实际问题，激发学生持续探索数学应用价值的兴趣，在小组合作建模的过程中培养严谨求实的科学态度和协作交流的意识，体验运用数学工具成功解决实际挑战后获得的成就感与自信心。

科学（学科）思维目标：本节课着重强化模型建构思维和数学抽象思维。通过一系列引导性问题，如“这个问题中，什么是变化的？什么是不变的？”“这两个量之间是怎么关联的？能用我们学过的哪种函数来刻画？”，驱动学生经历“去情境化”的抽象过程，将具体问题转化为数学问题，形成程序化的建模思考路径。

评价与元认知目标：引导学生建立对问题解决过程的反思习惯。例如，在完成模型求解后，能主动追问：“这个结果符合实际意义吗？”“自变量的取值范围我考虑周全了吗？”，并能够依据一定的评价量规（如步骤完整性、模型合理性、答案实际性）对自身或同伴的解决方案进行简要评析。

三、教学重点与难点

教学重点：建立二次函数模型解决实际问题的基本思路与一般步骤。确立依据在于，该思路是数学建模思想在二次函数领域的具体体现，是连接数学知识与现实世界的“桥梁”，属于课标强调的“大概念”。同时，在学业水平考试中，此类应用性问题作为考查学生综合应用能力的高频考点，分值比重较大，且能有效区分学生对知识的理解是停留在记忆层面还是达到了应用与创新的水平。

教学难点：从复杂的实际问题情境中，准确抽象出数量关系并列出正确的二次函数解析式，特别是结合实际意义确定自变量的取值范围。难点成因在于：第一，这需要学生克服文字信息的干扰，进行高阶的数学抽象，思维跨度大；第二，实际问题中的等量关系往往隐含在背景中，需要结合生活经验或常识进行解读，部分学生可能因经验不足而无法建立联系；第三，自变量取值范围的确定需综合模型本身（如定义域）和实际问题限制（如成本非负、边长正数等）双重考量，学生极易遗漏。突破方向在于提供“脚手架式”的问题引导链，并运用小组合作，集思广益，让思维碰撞。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件（包含拱桥、投篮、商品销售等情境的图片、动画或短视频）、交互式白板或黑板（用于板书建模步骤和关键思路）、几何画板软件（用于动态演示函数图像随参数变化）。

1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含引导性问题串、探究记录表、分层巩固练习）、3-4个核心探究问题的背景卡片。

2.学生准备

2.1知识预习：回顾二次函数的一般式、顶点式、图像性质（对称轴、顶点坐标、最值）及待定系数法。

2.2物品携带：直尺、铅笔、练习本。

3.环境布置

3.1座位安排：采用4-6人异质分组，便于开展合作探究与讨论。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：同学们，请看大屏幕。（播放一段简短的视频，展示一座宏伟的拱桥，如赵州桥或彩虹桥）一座拱桥，不仅是交通的纽带，更是力与美的结合。工程师在设计时，需要精确计算桥拱下船只的安全通行高度。假设我们把这座桥拱的轮廓近似看作一条抛物线，已知桥拱最高点离水面6米，水面宽度是20米。现在，一艘宽8米、高4.5米的货船想从桥下正中通过，大家先凭直觉判断一下：这艘船能安全通过吗？（稍作停顿）看来有的同学觉得行，有的觉得不行。直觉不一定可靠，我们该如何做出科学、准确的判断呢？

2.问题提出与路径明晰：这其实就是我们今天要攻克的核心问题：如何利用二次函数的知识，为这类实际问题建立一个数学模型，从而获得精准的答案。本节课，我们将化身“数学工程师”，通过解决“拱桥通行”、“利润最大化”等几个经典问题，一起来探索和总结一套解决这类问题的“武功秘籍”。首先，让我们从这座拱桥开始我们的探索之旅。

第二、新授环节

本环节围绕“建立二次函数模型”这一核心，设计层层递进的探究任务，引导学生主动建构。

任务一：为“拱桥通行”问题建立坐标系

1.教师活动：教师引导学生将实际问题“数学化”。第一步，建立合适的平面直角坐标系。提问：“为了用抛物线方程描述桥拱，我们首先得把桥拱‘放’进坐标系里。怎么放最方便我们计算呢？”鼓励不同想法。可能的方案有：以水面为x轴，以对称轴为y轴；或以水面左端点为原点。通过比较，引导学生认识到以对称轴为y轴，水面（或顶点）为坐标原点，往往能使函数表达式最简洁（顶点式）。教师板书：“第一步：合理建系，简化模型。”然后，根据假设（顶点在原点，开口向下），设出抛物线解析式为y=ax²(a<0)，并引导学生利用已知条件（跨度20米，高度6米）确定点坐标，进而求出a值。追问：“这里的y和x在实际问题中分别代表什么？”

2.学生活动：学生小组讨论，尝试提出不同的建系方案，并说明理由。在教师引导下，达成共识，选定最优化方案。随后，根据教师的引导，共同参与设定变量、代入点坐标、求解系数a的过程。理解解析式中x、y的实际含义。

3.即时评价标准：

1.4.能否积极参与建系方案的讨论，并提出有依据的建议。

2.5.能否理解“建系方式影响表达式复杂度”这一优化思想。

3.6.能否准确说出解析式中变量所代表的实际量。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★建模第一步——数学抽象与建系：将实际问题转化为数学问题的首要步骤是建立恰当的坐标系。选择的原则是使关键点（如顶点、端点）坐标简单，便于计算。常用策略是以对称轴为y轴，以特殊点（顶点或端点）为原点。

2.9.▲变量意义的“翻译”：在模型y=ax²+bx+c中，每一个系数和变量都必须有明确的现实对应。例如，在此题中，x表示距离对称轴的水平距离，y表示距水面的竖直高度。“名不正则言不顺”，明确变量意义是模型回归实际的基础。

任务二：求解模型并回归原问题

1.教师活动：教师提出下一步任务：“模型y=-0.06x²已经建立。现在，如何用它来判断货船能否通过？”引导学生分析：货船从正中通过，即船顶最高处位于对称轴上。船宽8米，则船边缘距对称轴4米。问题转化为：当x=±4时，对应的y值（桥拱高度）是否大于4.5米（船高）？组织学生计算。待学生得出结果后，继续追问：“如果这艘船还想再装载一些货物，在保持宽度不变的情况下，最大能增加多少高度？”这个问题将引导学生思考函数在此处的函数值与船高之间的关系，并引出对自变量取值范围的思考：“x可以取任意值吗？在这个实际问题中，x的取值范围是什么？”

2.学生活动：学生根据教师的分析，理解将船通行问题转化为求函数值的问题。独立或合作完成计算：当x=4时，y=-0.06×16=-0.96？这里需要引导学生注意坐标系位置，若水面为x轴，顶点在(0,6)，则解析式不同，计算出的y值代表船顶与桥拱的间隙或干涉。通过计算和比较，得出结论。接着思考“最大增载”问题，这需要计算桥拱下可利用的净空高度。同时，讨论并回答x的实际取值范围（-10到10之间）。

3.即时评价标准：

1.4.能否将“船能否通过”这一实际问题，准确转化为比较函数值与特定数值的大小关系。

2.5.计算过程是否准确、规范。

3.6.能否结合图形和情境，合理解释计算结果的实际意义。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★建模第二步——模型求解与应用：模型建立后，根据所问问题，在模型中“代入”相应的数值进行计算或分析。关键是要把文字问题“翻译”成对模型的操作指令，如“求x=A时的函数值”、“求函数在区间B上的最大值”等。

2.9.★自变量实际取值范围：这是建模中极易被忽略但至关重要的一环。自变量的取值不仅要使函数式有意义，更要符合现实情境的限制。如本题中，x代表水平距离，不可能超过桥拱跨度的一半。忽略这一点，模型可能会产生无意义的解。

任务三：归纳建模一般步骤

1.教师活动：教师引导学生回顾解决“拱桥问题”的全过程：“我们刚才‘干掉’了一个大问题，整个过程可以分解为哪几个关键的步骤？大家小组内讨论一下，试着提炼出来。”给各小组2分钟时间讨论并尝试在白板上板书。随后，教师收集各组的观点，进行整合、精炼，并形成板书：

1.2.审题设元：明确问题，设出变量。

2.3.建立模型：寻找等量关系，列出函数解析式。

3.4.确定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围。

4.5.求解模型：利用函数性质，解决所问问题。

5.6.检验作答：检验结果的合理性，并回归原问题写出答案。

教师强调：“这五步法就是我们今天的‘核心武功秘籍’。接下来，我们要用这个秘籍去挑战新的问题，看看大家是否掌握了内功心法。”

7.学生活动：学生以小组为单位，热烈讨论，回顾和梳理刚刚经历的思维过程，尝试用简洁的语言概括步骤。派代表分享本组的成果，倾听其他组的归纳，最终与教师一起形成共识，记录下规范的建模步骤。

8.即时评价标准：

1.9.能否积极参与步骤归纳的讨论，贡献自己的想法。

2.10.归纳出的步骤是否逻辑清晰、覆盖关键环节。

3.11.能否理解每一步骤的核心任务和目的。

12.形成知识、思维、方法清单：

1.13.★二次函数解应用题的一般步骤（五步法）：这是本节课的方法论核心。它提供了一个普适的、可迁移的问题解决框架。熟练运用这五步，能将复杂的应用问题分解为可操作的序列任务，降低思维难度。要求学生不仅记住，更要理解每一步的意图。

任务四：应用步骤解决“销售利润”问题

1.教师活动：教师出示新情境：“某商品进价为每件40元，售价为每件60元时，每月可卖100件。市场调查发现：售价每涨1元，每月少卖2件；售价每降1元，每月多卖2件。作为店主，如何定价才能使月利润最大？”教师不急于讲解，而是充当“教练”：“现在，请各位‘店长’们，拿起我们刚总结的‘五步秘籍’，独立尝试为你的店铺建模。第一步，审题设元，你打算设什么为自变量？利润怎么表示？”巡视指导，重点关注学生能否找到“单件利润×销售数量”这个核心等量关系，以及如何用含x的式子表示销售数量。收集典型做法（设涨价x元或降价x元，或直接设售价为x元）和典型错误，待大部分学生完成模型建立后，进行集中点评。

2.学生活动：学生独立审题，尝试应用“五步法”建立模型。首先设定自变量（如设涨价x元），然后尝试用x表示单件利润(60+x-40)和月销售量(100-2x)，从而列出利润函数y=(20+x)(100-2x)。部分学生可能会在销售量的表示上出现符号错误。列出式子后，尝试化简为二次函数一般式，并确定x的取值范围（需保证销售量非负、售价合理等）。

3.即时评价标准：

1.4.能否独立完成审题，并正确设定自变量。

2.5.能否准确找出利润的构成关系，并列出正确的函数关系式。

3.6.所列函数式是否已化简为二次函数标准形式。

4.7.是否考虑到自变量（如涨价幅度）的实际限制条件。

8.形成知识、思维、方法清单：

1.9.★利润问题核心等量关系：总利润=(售价-进价)×销售数量。关键在于用自变量x将“售价”和“销量”这两个关联变量统一表达出来。涨价与销量减少、降价与销量增加之间的线性关系是常见的模型条件。

2.10.▲不同设元方式的等价性：设涨价x元、降价x元或直接设售价为x元，最终得到的函数模型可能形式不同，但通过图像变换或配方，其最值点对应的实际定价是一致的。可以引导学生比较，体会“条条大路通罗马”，但不同路径的计算复杂度可能有差异。

任务五：利用函数性质求解最优化问题

1.教师活动：教师引导：“模型y=-2x²+60x+2000已经建立，且x≥0，同时100-2x≥0推出x≤50。现在，如何找到最大利润？”鼓励学生提出不同方法：配方成顶点式，或利用顶点坐标公式。请一位学生上台利用顶点坐标公式计算。教师追问：“我们算出来当x=15时，函数有最大值。这个‘x=15’在问题中是什么意思？（涨价15元）那最优定价是多少？（75元）最大利润值是多少？（代入计算）这个结果需要检验吗？怎么检验？”引导学生思考x=15是否在取值范围内，以及从实际角度看是否合理。最后，可借助几何画板动态展示利润随涨价金额变化的抛物线图像，增强直观理解。

2.学生活动：学生应用所学知识，选择配方或公式法求二次函数的最大值。理解x=15的实际意义，并计算出最优售价和最大利润。思考检验环节，确认结果的合理性。观察动态图像，将数值结果与图形直观联系起来。

3.即时评价标准：

1.4.能否熟练运用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最值。

2.5.能否将求得的数学解（x的值）准确“翻译”回实际问题的答案（定价、利润）。

3.6.是否有意识地对答案的合理性进行简要检验。

7.形成知识、思维、方法清单：

1.8.★最值问题的求解方法：对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)，当自变量在全体实数范围内时，最值在顶点处取得；当自变量有实际范围限制时，必须比较顶点处的函数值与区间端点处的函数值，才能确定实际范围内的最值。这是极易出错的关键点。

2.9.▲数形结合验证：在可能的情况下，画出函数图像的示意图，能直观地判断变化趋势、最值点位置以及自变量取值范围的影响。“看图说话”是检验数学模型合理性的有力辅助工具。

第三、当堂巩固训练

为巩固建模能力，设计分层变式练习：

1.基础层（直接应用）：一张矩形纸板，长40cm，宽20cm。在四角各剪去一个相同的小正方形后折成无盖盒子。设小正方形边长为xcm，盒子的容积为Vcm³。(1)写出V关于x的函数关系式；(2)求出自变量x的取值范围。（目标：巩固在几何背景下寻找等量关系和确定取值范围。）

2.综合层（情境变式）：某公园要建造一个圆形的喷水池，水流在离池中心0.5m处达到最大高度2.25m，落地点离池中心3m。请建立坐标系，求水流抛物线对应的函数解析式。（目标：在非标准位置（顶点不在y轴上）的情境下灵活建系并求解析式。）

3.挑战层（开放探究）：“销售利润”问题中，若商店每月还需支付固定场地租金2000元，则利润函数应如何修改？最优定价和最大利润会改变吗？为什么？（目标：理解固定成本不影响最优决策点，但影响最终利润额，深化对模型结构的理解。）

反馈机制：学生独立完成基础层练习后，同桌互换批改，教师公布答案并点评常见错误。综合层练习由小组讨论完成，教师巡视，选取有代表性的解法（不同建系方法）进行投影展示和比较。挑战层问题作为思考题，请有思路的学生简要分享，教师点明核心原理。

第四、课堂小结

1.知识整合：同学们，今天我们共同打了一场“硬仗”。谁来分享一下，你的“战利品”是什么？哦，我们获得了一套解决二次函数应用题的“五步秘籍”。（引导学生一起回顾板书上的五步）这五步环环相扣，哪一步你觉得最需要警惕？对，是“确定范围”，它决定了我们的模型是不是一个“接地气”的模型。

2.方法提炼：我们解决的不只是两个具体问题，更是学会了一种思想——数学建模思想。其精髓在于“转化”：把现实世界的问题，转化成我们熟悉的数学语言和工具可以处理的形式。在这个过程中，数形结合、函数思想是我们强大的武器。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做（基础性作业）：教材课后练习中，涉及拱桥、抛物线形运动轨迹的基础应用题2-3道。要求完整书写五步过程。

2.5.选做（拓展性作业）：寻找一个生活中可能用二次函数模型描述的现象或问题（如羽毛球运动轨迹、广场喷泉形状、某些产品的成本与产量关系等），尝试描述它，并说明其中哪些量可以看作变量，它们之间可能有什么样的二次函数关系。（不要求精确建模，重在发现与描述）

3.6.预习提示：下节课我们将尝试用二次函数模型解决更复杂的动态几何问题，请大家提前思考：当图形中的点运动起来时，如何抓住变化中的不变量来建立函数关系？

六、作业设计

基础性作业：

1.某广场要建造一个圆形喷水池，计划在水池中央竖直安装一根水管，水从水管顶端喷出，在水流各个方向上形状相同。已知水流最高点距离地面5米，落地点距离水管底部中心4米。建立合适的平面直角坐标系，求水流所在抛物线的函数解析式。

2.某商店销售一种商品，每件成本50元。经市场调查发现，若售价定为70元，每周可销售30件；售价每降低1元，每周可多售出2件。设每件商品降价x元，每周的销售利润为y元。

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)求出自变量x的取值范围；

(3)当降价多少元时，每周利润最大？最大利润是多少？

拓展性作业：

3.如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长足够）的矩形菜园。设垂直于墙的一边长为x米。

(1)求菜园面积S（平方米）与x（米）的函数关系式。

(2)当x为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？

(3)若要求菜园面积不小于42平方米，x的取值范围是多少？

（此题综合了建模、最值及不等式应用）

探究性/创造性作业：

4.（选做）市场调研与建模：假设你是一款新饮料的“产品经理”。你需要为饮料定价。请设计一个简单的“市场调研”方案（可虚拟数据）：确定一个你认为合理的“基础售价”和“基础销量”，再假设一个售价变动与销量变动的线性关系（如每涨/降1元，销量减少/增加多少）。据此建立利润函数模型，并为你的饮料计算出“理论最优售价”。最后，撰写一份简短的报告，阐述你的模型、计算过程和定价建议，并分析模型中可能忽略的现实因素（如竞争对手反应、消费者心理等）。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.数学建模的一般步骤（五步法）：审题设元→建立模型→确定范围→求解模型→检验作答。这是解决所有函数应用问题的通用思维框架，必须理解并熟练运用每一步的内涵。

★2.坐标系建立的优化策略：在抛物线形问题中，为简化计算，常以抛物线的对称轴为y轴，以顶点或某端点（如水面）为原点建立坐标系，使解析式易于获得（常为顶点式y=ax²或y=ax²+k）。

▲3.变量意义的双重性：在函数模型y=ax²+bx+c中，x和y既是数学变量，也具有具体的实际含义（如时间、距离、价格、利润等）。列出解析式时和得出结论时，都必须明确其实际意义，这是数学与现实连接的纽带。

★4.自变量实际取值范围的确定：这是模型符合实际的关键。范围确定需同时考虑两方面：一是使解析式本身有意义（通常为全体实数）；二是使问题情境有意义，如边长、件数需为正数，售价、成本需符合市场常理，几何图形中线段长需满足构成条件等。常见错误是遗漏此项。

★5.利润问题核心等量关系：总利润=(销售单价-进价单价)×销售数量。难点在于用同一个自变量（通常设售价变动量x）将“售价”和“销量”这两个关联变量线性地表达出来。

★6.二次函数最值的实际应用：求最值时，必须先明确自变量是否有实际范围限制。若无限制，最值在顶点处取得；若有限制，需比较顶点横坐标是否在取值范围内。若在，顶点函数值即为最值；若不在，则最值在范围端点处取得，需计算比较。

▲7.数形结合思想的辅助运用：画出函数图像的示意图，有助于直观理解变化趋势、定位最值点、判断函数值的正负以及验证自变量范围的合理性。图形是抽象的数学模型的一种直观“翻译”。

★8.结果的检验与解释：求得数学解（如x=10）后，必须将其“翻译”回实际答案（如定价70元），并检查这个答案是否符合所有实际条件（如是否盈利、是否在预设范围内）。最后，用完整的句子作答。

八、教学反思

本课设计严格遵循“以学定教，素养导向”的原则，力图将数学建模的完整过程转化为学生可参与、可体验、可提炼的课堂活动。从假设的实施效果看，教学目标基本达成。学生在“拱桥问题”的引导下，逐步攀登思维阶梯，成功归纳出“五步法”，并在“销售利润”问题中进行了初步的独立应用，多数学生能完成模型的建立。

（一）环节有效性与学生表现分析

导入环节的视频与认知冲突快速凝聚了学生注意力，驱动性问题明确有力。新授环节的五个任务逻辑链条清晰：任务一、二重在教师引导下的“体验式”完整建模，任务三的“归纳步骤”是关键节点，实现了从感性体验到理性认知的飞跃。这里，学生们的小组讨论非常热烈，不同的归纳版本展现了他们不同的思维视角，教师最后的整合提升起到了“画龙点睛”的作用。任务四、五则进入“练习式”应用，学生表现出现分化：约70%的学生能较为顺畅地独立完成，20%的学生在寻找销量表达式时出现迟疑，需同伴或教师点拨，10%的学生依然对如何将文字转化为代数式感到困难。这印证了学情预判，即“抽象出数量关系”是核心难点。巩固训练的