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文档简介

7.5.1阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵定义1具有下列三个特征的非零矩阵称为阶梯形矩阵：（1）若有零行（元全为零的行），一定在矩阵的最下方；（2）自第二行起，每行的首非零元都在其上一行首非零元的右侧；（3）若非零行的首非零元所在列中，该元下方的元都为零.如：7.5.1阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵定义2

若阶梯形矩阵还满足下列两个条件则称之为简化阶梯形矩阵：（1）各非零行的首非零元均为1；（2）各非零行的首非零元所在列的其他元全为零.如：阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵定义3：矩阵A的下列三种变换称为矩阵A的初等行变换：（1）互换A的两行（互换A的i与j行，记为）；（2）用一个非零常数k乘以A的某一行所有元素（A的第i行乘k时，记为)；（3）数k乘A的某一行所有元素后加到另一行的对应元素上去（第j行乘k后加到第i行，记为）.上述三种变换分别称为互换变换，倍乘变换，倍加变换。将定义中的“行”改为“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。7.5.2矩阵初等行变换7.5.2矩阵初等行变换解

矩阵初等行变换任一非零矩阵A,都可以通过有限次初等行变换把它化为阶梯型矩阵.（1）将矩阵A化为阶梯形矩阵.（2）将阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵.例

用初等行变换把矩阵A化为阶梯型矩阵矩阵初等行变换解矩阵初等行变换(阶梯形矩阵)不唯一(简化阶梯形矩阵)唯一矩阵初等行变换定义4

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，简称初等阵.前面讲的三种初等变换对应着三种初等阵.把m

阶单位矩阵中第i,j两行互换,得初等阵E

(i,j)

.

(1)互换矩阵A的两行(列).7.5.3单位矩阵的初等变换与初等阵如:7.5.3单位矩阵的初等变换与初等阵第i行第j行单位矩阵的初等变换与初等阵下面来看一个例子：设A＝则2,4两行互换单位矩阵的初等变换与初等阵这结果表明:用m阶初等方阵E(i,j)左乘A，结果相当于互换矩阵A的第i,j两行得到的矩阵。利用矩阵乘法可以知道：单位矩阵的初等变换与初等阵同理,用E(i,j)右乘A，结果相当于互换矩阵A的第i,j两列得到的矩阵。A=则2,4两列互换单位矩阵的初等变换与初等阵以数k≠0乘m阶单位矩阵E的第i行,得初等阵(2)以数k≠

0乘矩阵A的某行(列).容易验证:以数k(≠0)乘A的第i行所得到的矩阵,等于用E[i(k)]左乘A;以数k(≠0)乘A的第i列所得到的矩阵等于用E[i(k)]右乘A.单位矩阵的初等变换与初等阵(3)以数k乘矩阵A的某行(列)加到另一行(列)上去.

以数k乘m阶单位矩阵E的第j行加到第i行上,得初等方阵：以数k乘A的第j行加到第i行上所得到的矩阵等于E[ij(k)]左乘A.以数k乘A的第i列加到第j列所得到的矩阵等于用E[i

j(k)]右乘A.于是,我们有:单位矩阵的初等变换与初等阵定理2

矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等方阵左(右)乘A.单位矩阵的初等变换与初等阵

理解掌握阶梯型矩阵的三个特征矩阵的初等行变

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