2026年35届奥数试题及答案

2026年35届奥数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N），则a5的值为（）A.31B.32C.33D.342.从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数，这个三位数是偶数的概率为（）A.2/5B.3/5C.1/2D.3/103.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.64.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=2A，则cosC的值为（）A.1/4B.-1/4C.1/8D.-1/85.已知圆C1：(x-1)2+(y-2)2=4，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=4，过动点P(a,b)分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN（M、N分别为切点），若|PM|=|PN|，则a2+b2的最小值为（）A.7/2B.7C.15/2D.86.设a，b，c均为正数，且2a=log1/2a，(1/2)b=log1/2b，(1/2)c=log2c，则（）A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c7.已知正四面体ABCD的棱长为2，则其外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.6πD.12π8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π/6个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象（）A.关于点(5π/12,0)对称B.关于直线x=5π/12对称C.关于点(π/12,0)对称D.关于直线x=π/12对称9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30=（）A.50B.60C.40D.8010.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ex-1，则函数g(x)=f(x)-x的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题2分，共10题）1.若复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=______。2.已知向量a=(1,2)，b=(-2,m)，若a//b，则m=______。3.二项式(x-1/x)6的展开式中常数项为______。4.已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为______。5.已知函数f(x)=x3-3x2+2x，若f'(x0)=0，则x0=______。6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则a3=______。7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象经过点(π/3,2)，且在区间(0,π/3)上单调递增，则ω的最大值为______。8.已知实数x，y满足约束条件x+y-2≥0，x-y-2≤0，y≥1，则z=x+2y的最小值为______。9.已知△ABC的面积为3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，B=π/3，则b=______。10.已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，且AB=BC=CA=2，且三棱锥O-ABC的体积为√3/3，则R=______。三、判断题（每题2分，共10题）1.若直线l1：a1x+b1y+c1=0与直线l2：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2-a2b1=0且a1c2-a2c1≠0。（）2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0。（）3.已知向量a，b，若|a|=|b|，则a=b。（）4.等比数列{an}的公比为q，若|q|>1，则数列{an}是递增数列。（）5.函数y=sinx+cosx的最大值为√2。（）6.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向上，则a>0。（）7.已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率e=c/a，且0<e<1。（）8.若函数f(x)是奇函数，则f(0)=0。（）9.已知数列{an}满足an+1=2an，则数列{an}是等比数列。（）10.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，若f(x1)=f(x2)，则x1=x2。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2√3sinxcosx(x∈R)。（1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）若x∈[-π/4,π/4]，求f(x)的值域。2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn。3.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,2√2)(x0>p/2)是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x=p/2交于E，G两点，若sin∠MFG=1/3，求抛物线C的方程。4.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x。（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围。五、讨论题（每题5分，共4题）1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an/(1+an)，讨论数列{an}的通项公式及前n项和Sn的求法。2.已知函数f(x)=x3-3x2+2，讨论函数f(x)的极值情况以及在不同区间上的单调性，并且说明如何根据其单调性和极值来绘制函数的大致图象。3.已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，讨论椭圆的几何性质（包括范围、对称性、顶点、离心率等），以及这些性质在解决与椭圆相关问题中的应用。4.已知三角形ABC，讨论如何根据已知条件（如三边长度、两角一边、两边及其夹角等），运用正弦定理和余弦定理来求解三角形的其他元素（如角的度数、边的长度等），以及在运用这两个定理时需要注意的问题。答案：一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.C8.B9.B10.C二、填空题1.√22.-43.-204.√55.1或2/36.57.38.59.√710.2三、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.×9.×10.×四、简答题1.（1）f(x)=-cos2x-√3sin2x=-2sin(2x+π/6)，最小正周期T=π。由2kπ+π/2≤2x+π/6≤2kπ+3π/2，k∈Z，得kπ+π/6≤x≤kπ+2π/3，k∈Z，单调递增区间为[kπ+π/6,kπ+2π/3]，k∈Z。（2）当x∈[-π/4,π/4]时，2x+π/6∈[-π/3,2π/3]，sin(2x+π/6)∈[-√3/2,1]，f(x)∈[-2,√3]。2.（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3=5，S15=225，可得a1+2d=5，15a1+15×14/2d=225，解得a1=1，d=2，所以an=2n-1。（2）bn=22n-1+2n，Tn=(21+23+…+22n-1)+2(1+2+…+n)=2(1-4n)/(1-4)+2×n(n+1)/2=2/3(4n-1)+n(n+1)。3.因为点M(x0,2√2)在抛物线y2=2px上，所以(2√2)2=2px0，即x0=4/p。过M作MN垂直直线x=p/2于N，则|MN|=x0-p/2，|MF|=x0+p/2。因为sin∠MFG=1/3，所以|MN|/|MF|=1/3，即(x0-p/2)/(x0+p/2)=1/3，把x0=4/p代入解得p=2，抛物线方程为y2=4x。4.（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=-(2x+1)(ax-1)/x。当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0,1/a)上单调递增，在(1/a,+∞)上单调递减。（2）当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)不可能有两个零点；当a>0时，f(x)在x=1/a处取得极大值也是最大值f(1/a)=-lna+1/a-1。令g(a)=-lna+1/a-1，g'(a)=-1/a-1/a2<0，g(a)在(0,+∞)上单调递减，且g(1)=0，所以当0<a<1时，f(x)有两个零点。五、讨论题（简要示例）1.对an+1=an/(1+an)两边取倒数得1/an+1=1/an+1，所以{1/an}是首项为1，公差为1的等差数列，1/an=n，an=1/n。Sn=1+1/2+1/3+…+1/n，求法较复杂，可通过放缩等方法研究其范围等性质。2.f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。x=0时取得极大值f(0)=2，x=2时取得极小值f(2)=-2。绘制图象时，根据单调性和极值确定大致走向等。3.范围：-a≤x≤a，-b≤