广东省佛山市2025-2026学年佛山市普通高中教学质量检测（二）数学+答案

2025～2026学年佛山市普通高中教学质量检测(二)

高三数学2026.04

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，

先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={1,3,5,7},B={xlx²<10},则A∩B=

A.{0,2}B.{1,3}C.{5,7}D.{1,3,5,7}

2.设向量a=(3,-7),b=(-5,8),则|a-b|=

A.5B.8C.15D.17

3.等差数列1,46,91,…,2026共有

A.44项B.45项C.46项D.47项

4.函数f(x)=In(x+3)+1n(3-x),则

A.f(x)是奇函数B.f(x)是周期函数

C.f(x)的最大值为2D.f(-2)<f(1)

5.在△ABC中，AB=√2,BC=√3+1,A=105°,则△ABC的面积为

B.√2D.√3

6.有一组样本数据x₁,x₂,x₃,…,xn,由这组数据得到新样本数据y,y₂,y₃,…,yn,其中

,则两组样本数据的数字特征不一定相同的是

A.中位数B.极差C.平均数D.方差

7.设A,B是两个事件，则“P(A)+P(B)=1”是“A与B互为对立事件”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件

8.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,PA,PB,PC分别为圆锥的母线，PA⊥PB,OP=OA=1,

则三棱锥P-ABC体积的最大值为

B.

D.3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设z,z₂为复数，若zIz₂=i,则

A.z=Z₂B.C.|z+z₂|=√2D.z₁·z₂=-i

10.在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线1交抛物线C:y²=4x于A(x₁,y),B(x₂,J₂)两点，交x轴于

点(m,0)(m>0),则

A.|AB|>4√2B.∠AOB>135°

C.y,y₂的等差中项是2D.m是x,x₂的等比中项

11.从分别写有1,2,3,.…,m(meN")的m张卡片中不放回随机抽取n(n≤m)次，每次取1张卡片，

记第i(i=1,2,3,…,n)次取出卡片的数字为a,,定义F"为满足Vi≤n,a₁≠i的不同情况数，则

A.Fl=m-1B.

C.F"≤mnD.F+1=(n+1)F"+nF-(n≥2)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.随机变量X服从正态分布N(2,c²),P(X≥4)=0.3,则P(X≥0)=._·

13.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥CC₁,A₁C₁⊥CC₁,A₁B=√3,CC₁=1,则异面直线A₁B与CC₁所成

角的余弦值为_

14.已知F,F₂分别为双曲线H:的左、右焦点，A,B两点均在H上，且满足AF₂=λF₂B(λ>0),

则△AF₁B的内切圆半径为_

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高

点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形.

(1)求f(x)的解析式，及f(x+m)为偶函数时的最小正实数m;

(2)求AB·AD的值.

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16.(15分)

近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型(处理、理解和生成人类语言)和多模态模型(处理、

理解和生成文本、图像、音视频等)是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所

有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图：

*多模态模型●语言模型

(1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026年发布的大

模型是多模态模型的概率；

(2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据(t,y₁)(i=1,2,3,4,5,6,t=1表示2025年1月

份，t₂=6表示2025年6月份，…),计算得y=53,

(i)建立y关于t的线性回归方程；

(ii)根据语言模型的数据建立的回归方程为y=6.5lnt+50.3,该区域的某家企业在2026年4月发布

了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量：,Q值越小的大模型发生的可能性越大，

则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：a=y-bt,In2≈0.7.

17(15分)

如图，在三棱锥M-ABC中，△MAB与△MCB均为等边三角形，MB=2.

(1)证明：AC⊥MB;

(2)若点M到平面ABC的距离为1,求平面MAC与平面MAB夹角的余弦值.

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18.(17分)

已知函数,f'(x)为f(x)的导函数，曲线y=f(x)关于点(π,0)对称.

(1)求的值；

(2)Vx∈R,恒成立.

(i)求b的值并探究f'(x)的零点个数；

(ii)若f(m)=f(n),且,证明：π<m+n≤2π.

19.(17分)

椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦

点.已知椭圆E:(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),点R在E上，且在x轴的上方，从E的左焦

点F₁(-1,0)发出的光线FP,经过E反射后，交E于点Q.按照如下方式依次构造点P,和Q(n=2,3,…):

光线P,Qn经过E反射后，交E于点P+1;光线P+Q,经过E反射后，交E于点Qn+1·

(1)求E的方程；

(2)设直线AP,的斜率为kn,求证：数列{kn}是等比数列，并求出其公比；

(3)求证；直线PQ₂恒过定点，并求出该定点的坐标.

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2025～2026学年佛山市普通高中教学质量检测(二)

高三数学试题参考答案与评分标准2026.04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号12345678

答案BDCDCABB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案BDACDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.*14.2.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)依题意得，

,…3分

因为△ABC为等腰直角三角形，斜边BC边上的高为2,所以BC=4,…………4分

故函数f(x)的最小正周期T=4×2=8,即所以

所以f(x)的解析式.…………6分

为偶函数，则(k∈Z),

(k∈Z),,所以最小正实数……………………8分

(2)方法一：由f(x)=0,解得……………9分

结合图象可得……10分

所以AB=(-2,-2),AD=(6,-2),AB·AD=-2×6+(-2)×(-2)=-8.………13分

方法二：易知AB=2√2,BD=8,∠ABD=45°,

在△ABD中，由余弦定理可得AD²=AB²+BD²-2AB·BD·cos∠ABD=40,………………10分

所以AB.AD=AB·AD·cos∠BAD=AB·

16.【解析】(1)一共发布14款大模型，其中有6款多模态模型，所以概率估计值为…………3分

高三数学试题第1页共4页

(2)(i)

所以线性回归方程为y=2t+39.……………………9分

(ii)2026年4月对应的t=16,

若该大模型是多模态模型，则预测分数为y=2×16+39=71分，残差为68-71=-3,

若该大模型是语言模型，则预测分数为y=6.51n16+50.3=261n2+50.3≈68.5,

残差为68-68.5=-0.5,,因为语言模型的Q值更小，所以更有可能是语言模型.……15分

17.【解析】(1)证明：取AC中点O,连接OB、OM,由题意可得MA=MC,BA=BC,…………1分

所以AC⊥OB,AC⊥OM,……………2分

又OB∩OM=0,所以AC⊥平面OBM,………3分

又MBc平面OBM,所以ACLMB.……………4分

(2)过点M作MH⊥平面ABC于点H,

由对称性可知，AC中点O在直线BH上，则.……5分

由△BAC≌△MAC,可得OB=M,所

所以.……………………6分

由题意可得MH=1,…………7分

以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，……………8分

则,所以

…………9分

设平面MAB与平面MAC的法向量分别为n₁=(x₁,y₁,z₁),n₂=(x₂,y₂,z₂),则

,令y₁=1,得n=(√2,-1,√6);…………11分

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,艮,令x₂=√3,得n₂=(√3,0,1);……………13分

,…………14分

即平面MAC与平面MAB夹角的余弦值为……………………15分

18.【解析】(1),由f'(π+x)+f'(π-x)=0,得

……2分

即a+2bπ=0,所以

(2)(i)由

取,贝不满足题意；………5分

即贝满足题意；……………6分

所以………7分

1,贝,当x∈(0,π)时，h'(x)单调递增，且

故存在使得h'(x₁)=0.

当x∈(-∞,0)时，所无零点；

当x∈(0,x₁)时，h(x)<0,f'(x)单调递减；当x∈(x₁,π)时，H(x)>0,f'(x)单调递增；

又f'(π)=0,所以当x∈(-∞,π)时，f'(x)有且仅有一个零点

由对称性可得当x∈(π,+0∞)时，f'(x)有且仅有一个零点,故f'(x)有且仅有三个零点；……10分

(ii)

故f(x)的图象关于直线x=π对称.…………………11分

由(i)得，当时，f'(x)>0,f(x)递增；时，f'(x)<0,f(x)递减；

高三数学试题第3页共4页

由对称性可知，当时，f(x)递增；当时，f(x)递减.………………12分

当,m+n<2π,下证此时m+n>π,设F(x)=f(x)-f(π-x),

则F'(x)=f'(x)+f'(π-x)=1-sinx>0,所以当时，F(x)单调递增，

所以即f(m)=f(n)>f(π-n),,所以m>π-n,即m+n>π;…14分

当时，显然π<m+n<2π;………………15分

当时，m+n=2π;………………………16分

综上：π<m+n≤2π.…