高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 生活中的变量关系教案

-1-高中数学北师大版(2019)必修第一册1生活中的变量关系教案教学设计课题Xx课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□教材分析高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章“生活中的变量关系”主要介绍了变量、函数的概念，以及函数的单调性、奇偶性等基本性质。本章节内容与课本紧密相关，符合教学实际，有助于学生建立数学与实际生活的联系，培养学生的数学思维和解决问题的能力。核心素养目标本章节旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过分析生活中的变量关系，学生能够学会从具体情境中抽象出数学模型，运用数学语言描述和分析问题，提高逻辑推理能力；同时，通过观察、操作和探究，学生能够发展直观想象能力，并运用数学运算解决实际问题，从而提升数学应用能力。教学难点与重点1.教学重点：

-明确变量关系与函数定义的关联：重点讲解如何从日常生活中抽象出变量关系，并引入函数的定义，强调函数是描述变量之间依赖关系的数学模型。

-理解函数性质的应用：强调函数单调性、奇偶性等基本性质的判断方法及其在解决实际问题中的应用。

2.教学难点：

-变量关系的识别与抽象：对于学生来说，如何从复杂的实际情境中提取变量关系，并将其抽象为数学函数是一个难点。例如，在处理经济、物理等领域的实际问题时，如何区分自变量和因变量。

-函数性质的运用：学生在理解和应用函数单调性、奇偶性等性质时，可能难以把握其数学意义和实际应用。例如，在解决优化问题时，如何正确运用函数的增减性质来确定最值。

-数学思维与逻辑推理：对于函数性质的理解和应用，需要学生具备较强的逻辑推理能力。例如，在分析函数图像时，如何根据函数性质推断函数的行为特征。

针对这些难点，教学过程中将采用案例教学、小组讨论、实际操作等多种教学方法，帮助学生逐步克服困难，提升数学思维能力。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统讲解函数的基本概念和性质，为学生建立清晰的知识框架。

2.案例分析法：选取生活实例，引导学生分析变量关系，培养学生的抽象思维能力。

3.讨论法：组织学生围绕难点问题进行小组讨论，鼓励学生表达观点，激发思维碰撞。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示函数图像和性质，直观呈现数学知识，提高学生的学习兴趣。

2.教学软件辅助：使用数学软件进行函数图像绘制和性质验证，增强学生的动手操作能力。

3.实物演示：结合教具演示函数变化，帮助学生理解抽象的数学概念。教学过程设计教学过程设计如下，总用时约45分钟：

一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的变量关系，如气温与时间、商品价格与销售量等。

2.提出问题：引导学生思考这些变量之间的关系，并提出问题：“你能用数学的方式描述这些关系吗？”

3.引入主题：通过学生的回答，引出变量和函数的概念，激发学生的学习兴趣。

二、讲授新课（20分钟）

1.函数的定义（5分钟）：讲解函数的概念，通过实例说明自变量和因变量的关系。

2.函数的性质（10分钟）：介绍函数的单调性、奇偶性等基本性质，并举例说明如何判断。

3.函数图像（5分钟）：展示函数图像，讲解如何从图像中获取函数的性质信息。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习题（5分钟）：发放练习题，让学生独立完成，教师巡视指导。

2.小组讨论（5分钟）：学生分组讨论练习题，互相解答疑问，教师参与讨论，引导思考。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对练习题中的难点问题进行提问，检查学生对知识的掌握情况。

2.学生回答：学生回答问题，教师点评并纠正错误。

五、师生互动环节（5分钟）

1.实物演示：使用教具演示函数变化，如温度计显示温度变化，让学生直观感受函数的性质。

2.互动讨论：教师提出问题，引导学生思考如何应用函数知识解决实际问题。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.数学建模：引导学生将实际问题转化为数学模型，如经济问题、物理问题等。

2.数学应用：鼓励学生运用所学知识解决生活中的实际问题，如预算规划、数据分析等。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

2.作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识，并鼓励学生课后进行拓展学习。教学资源拓展1.拓展资源：

-生活中的函数实例：收集并整理生活中的函数实例，如交通流量与时间的关系、人口增长模型等，这些实例可以用于课堂讨论或作业练习，帮助学生理解函数在现实生活中的应用。

-函数图像的变化规律：提供不同类型函数（如线性函数、二次函数、指数函数等）的图像变化规律，包括它们的增减性、对称性、极值点等，帮助学生深入理解函数的性质。

-数学史上的函数发展：介绍函数概念的发展历史，包括函数的定义演变、重要函数的发现等，让学生了解数学知识的演变过程。

-数学软件应用：介绍如何使用数学软件（如Mathematica、GeoGebra等）来绘制函数图像、分析函数性质，以及解决实际问题。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读关于函数和数学建模的书籍，如《数学建模导论》、《函数与图像》等，以拓宽学生的知识视野。

-在线课程资源：鼓励学生利用在线教育资源，如KhanAcademy、Coursera等平台上的数学课程，进行自主学习和练习。

-数学竞赛与活动：推荐学生参加数学竞赛或相关的数学活动，如数学建模竞赛、数学奥林匹克等，以提升学生的数学思维和解决问题的能力。

-实践项目：组织学生参与实际项目，如数据分析、工程设计等，让学生将所学函数知识应用于实际问题解决中。

-小组研究：鼓励学生组成学习小组，共同研究函数在不同领域的应用，如物理学、经济学、生物学等，通过小组合作培养学生的团队协作能力。

-创新课题：引导学生思考如何将函数知识创新应用于新的领域，如开发新的数学模型、设计新的算法等，激发学生的创新思维和科研兴趣。内容逻辑关系①变量与函数的关系

-变量的定义：变量是指在一定条件下可以取不同数值的量。

-函数的定义：如果一个变量y的值可以由另一个变量x的值唯一确定，那么y是x的函数。

-变量与函数的对应关系：变量之间通过一定的规则（函数关系）相互联系。

②函数的基本性质

-单调性：函数在某区间内，如果对于任意两个x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数在该区间内单调递增；如果f(x1)≥f(x2)，则称函数在该区间内单调递减。

-奇偶性：如果对于函数的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

-周期性：如果存在一个非零常数T，使得对于函数的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数是周期函数。

③函数图像的分析

-图像的绘制：根据函数表达式，利用坐标轴绘制函数图像。

-图像的识别：通过观察图像，识别函数的单调区间、极值点、拐点等特征。

-图像的应用：利用函数图像解决实际问题，如优化问题、方程求解等。典型例题讲解1.例题：

已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的顶点坐标和单调区间。

解答：

-顶点坐标：函数f(x)是一个二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。对于f(x)=x^2-4x+3，a=1,b=-4，所以顶点坐标为(2,-1)。

-单调区间：由于二次函数的开口向上（a>0），函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。因此，函数的单调递减区间为(-∞,2]，单调递增区间为[2,+∞)。

2.例题：

已知函数f(x)=|x-2|，求函数的奇偶性和对称轴。

解答：

-奇偶性：由于f(-x)=|-x-2|=|x+2|≠|x-2|，函数不是奇函数也不是偶函数。

-对称轴：函数的图像关于直线x=2对称，因为当x=2时，函数值f(x)=0，且对于任意x≠2，f(x)=|x-2|。

3.例题：

已知函数f(x)=e^x，求函数在x=0时的导数。

解答：

-导数：根据导数的定义，f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。对于f(x)=e^x，有f'(x)=e^x。因此，f'(0)=e^0=1。

4.例题：

已知函数f(x)=ln(x+1)，求函数的定义域和导数。

解答：

-定义域：由于ln函数的定义域为正实数，所以f(x)的定义域为x>-1。

-导数：f'(x)=1/(x+1)，因为ln(x+1)的导数是1/(x+1)。

5.例题：

已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求函数的最小正周期。

解答：

-最小正周期：由于sin(x)和cos(x)的周期都是2π，所以f(x)的周期也是2π。因此，函数的最小正周期为2π。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：在讲解函数概念时，我尝试将抽象的数学知识融入具体的情境中，比如通过分析经济数据来引入函数模型，这样能让学生更直观地理解函数的应用。

2.多元化教学：在课堂教学中，我尝试结合多种教学方法，如小组讨论、案例教学等，以激发学生的主动性和参与感。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：我发现学生在数学基础和理解能力上存在较大差异，这导致部分学生在理解函数性质时感到困难。

2.课堂互动不足：虽然我尝试了多种互动方式，但感觉课堂上的师生互动还不够充分，有些学生可能没有充分表达自己的观点。

3.评价方式单一：目前主要依赖作业和考试来评价学生的学习成果，这种方式可能无法全面反映学生的学习过程和进步。

反思改进措施（三）改进措施

1.针对学生基础差异，我将设计分层教学方案，针对不同层次的学生提供相应的学习材料和辅导。

2.为了增加课堂互动，我计划在课堂上设置更多的讨论环节，鼓励学生提出问题并分享自己的思考。

3.在评价方式上，我将引入形成性评价，通过课堂表现、小组合作、日常作业等多种方式来综合评价学生的学习情况。同时，我也将尝试使用在线学习平台，让学生能够在家中进行自我学习和评价。作业布置与反馈作业布置：

为了巩固学生对本节课所学函数概念、性质和图像的理解，以下是布置的作业内容：

1.完成课本中的练习题，包括函数的定义、性质和图像绘制题目。

2.分析并解决实际问题，如利用函数解决简单的优化问题。

3.小组合作项目：设计一个生活中的函数问题，并尝试用数学方法