高等数学多元函数微分法考点冲刺卷考试及答案

高等数学多元函数微分法考点冲刺卷考试及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，则下列条件中错误的是（）A.f(x,y)在点P处连续B.f(x,y)在点P处偏导数存在C.f(x,y)在点P处沿任意方向的方向导数存在D.f(x,y)在点P处的全微分存在2.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处的方向导数最大值为（）A.1B.2C.√2D.03.若函数f(x,y)=x^3-3xy^2，则∇f(1,1)的值为（）A.(0,0)B.(3,-6)C.(-6,3)D.(6,-3)4.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的全微分为（）A.d(f)=dx+dyB.d(f)=2dx+2dyC.d(f)=1/(2+x^2+y^2)(2xdx+2ydy)D.d(f)=1/(x^2+y^2)(xdx+ydy)5.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且fxx(x,y)=fxy(x,y)，则fyy(x,y)等于（）A.fxx(x,y)B.-fxx(x,y)C.fxy(x,y)D.-fxy(x,y)6.函数f(x,y)=e^(x+y)在点(0,0)处的泰勒展开式中的x^2y项系数为（）A.1B.eC.e-1D.07.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处二阶偏导数存在，则下列条件中不一定成立的是（）A.fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)]^2>0B.fxx(x0,y0)>0且fyy(x0,y0)>0（当f取得极小值时）C.fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)]^2<0D.fxx(x0,y0)与fyy(x0,y0)符号相反8.函数f(x,y)=x^2+y^2在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值与最小值分别为（）A.1,0B.1,-1C.0,1D.2,09.若函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为（）A.1/2B.1C.2D.010.若函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)沿方向向量(1,1)的方向导数为（）A.2√2B.√2C.2D.1二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)沿方向向量(1,1)的方向导数为__________。2.若函数f(x,y)=x^3-3xy^2，则fxx(0,0)的值为__________。3.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的梯度向量为__________。4.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点P处的全微分表达式为__________。5.函数f(x,y)=x^2+y^2在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值为__________。6.若函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为__________。7.函数f(x,y)=e^(x+y)在点(0,0)处的泰勒展开式中的x^2y项系数为__________。8.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处二阶偏导数存在，则fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)]^2的值__________。9.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处的方向导数最大值为__________。10.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的全微分为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点P处连续。（）2.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处的方向导数为0。（）3.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处二阶偏导数存在，则fxx(x0,y0)>0。（）4.函数f(x,y)=x^2+y^2在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最小值为0。（）5.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为1/2。（）6.函数f(x,y)=e^(x+y)在点(0,0)处的泰勒展开式中的x^2y项系数为1。（）7.若函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值，且在该点处二阶偏导数存在，则fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)]^2>0。（）8.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的梯度向量为(1,1)。（）9.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,1)沿方向向量(1,1)的方向导数为2√2。（）10.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的全微分为1/(2+1^2+1^2)(2xdx+2ydy)。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微的定义。2.简述函数f(x,y)在点P(x0,y0)处取得极值的必要条件和充分条件。3.简述方向导数的定义及其计算公式。4.简述拉格朗日乘数法的原理及其应用步骤。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.求函数f(x,y)=x^3-3xy^2在点(1,1)处的全微分。2.求函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)在点(1,1)处的梯度向量及方向导数最大值。3.求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值。4.求函数f(x,y)=x^2+y^2在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值与最小值。【标准答案及解析】一、单选题1.D解析：函数在点P处可微，则全微分存在，但沿任意方向的方向导数不一定存在，例如f(x,y)=|x|+|y|在(0,0)处可微但沿任意方向的方向导数不存在。2.C解析：方向导数最大值为梯度向量的模，∇f(1,1)=(2,2)，模为√2。3.B解析：fxx(x,y)=6x，fxy(x,y)=-6y，∇f(1,1)=(6,-6)。4.C解析：f(x,y)=ln(x^2+y^2)，∇f(1,1)=(2/x,2/y)=(2,2)，d(f)=1/(2+1^2+1^2)(2xdx+2ydy)=1/3(2dx+2dy)。5.A解析：由克莱罗定理，fxx(x,y)=fxy(x,y)⇒fxy(x,y)=fyx(x,y)，所以fxx(x,y)=fyy(x,y)。6.D解析：泰勒展开式为e^(x+y)=1+(x+y)+1/2(x^2+2xy+y^2)+...，x^2y项系数为0。7.C解析：若f取得极值且二阶偏导数存在，则fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)]^2≥0，但不一定>0。8.A解析：最大值为1（在边界x^2+y^2=1上取得），最小值为0（在内部(0,0)取得）。9.A解析：用拉格朗日乘数法，设L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)，解得x=y=1/2，最小值为1/2。10.A解析：方向导数为∇f(1,1)•(1,1)/√2=(2,2)•(1,1)/√2=2√2。二、填空题1.√22.03.(2,2)4.f(x,y)dx+f(x,y)dy5.16.1/27.08.≥09.√210.1/3(2dx+2dy)三、判断题1.√2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√四、简答题1.解：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处可微，是指存在常数A,B，使得

f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)=AΔx+BΔy+o(√(Δx^2+Δy^2))，

其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，o(√(Δx^2+Δy^2))表示高阶无穷小。2.解：必要条件：fxx(x0,y0)=fxy(x0,y0)=0。

充分条件：若H>0（H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)]^2），则f取得极小值；若H<0，则f不取极值；若H=0，则需进一步讨论。3.解：方向导数是指函数沿单位向量u=(cosθ,sinθ)方向的变化率，

d(f)=∇f(x,y)•u=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ，

也可用极限定义：d(f)=lim(h→0)[f(x+hu,y+hu)-f(x,y)]/h。4.解：原理：通过引入乘数λ，将约束优化问题转化为无约束优化问题，

步骤：构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，

求解方程组{Lx=0,Ly=0,Lλ=0}，

其中g(x,y)为约束条件。五、应用题1.解：fxx(x,y)=6x，fyy(x,y)=0，fx(1,1)=6，fy(1,1)=0，

d(f)=6dx+0dy=6dx。2.解：∇f(1,1)=(2/x