西藏自治区昌都市2025-2026学年高二数学上学期期末考试含解析

昌都市2025-2026学年高二上学期期末质量监测

数学试卷

一、单选题

1．复数z13i，其中i为虚数单位，则z（）

A．2B．2C．10D．5

x2

2．双曲线y21的渐近线方程为（）

4

11

A．y4xB．y2xC．yxD．yx

24

3．等比数列an中，已知a12，a416，数列an的公比为（）.

11

A．B．2C．2D．

22

π

4．在ABC中，a2，A，b23，则B（）

6

πππππ2π

A．B．C．或D．或

636233

5．在等差数列an中，a3a412，则S6（）

A．36B．24C．17D．16

π

6．若直线xmy10的倾斜角的大小为，则实数m（）

6

33

A．3B．C．D．3

33

7．已知直线l:xy20与圆C:x2y22，点A(1,1)，则下列说法正确的是（）

A．点A在圆C上，直线l与圆C相切B．点A在圆C内，直线l与圆C相交

C．点A在圆C外，直线l与圆C相切D．点A在圆C上，直线l与圆C相交

x2y2

8．已知F1､F2分别为双曲线1a0,b0的左､右焦点，过点F2的直线与双曲线的右支交于A､B两

a2b2

2

点，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1,BF1F2的内切圆I2的半径为r2，若r1r2a，则双曲线的离心率为

（）

35

A．B．2C．D．3

22

二、多选题

9．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（）

A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D．甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

10．给出下列命题，其中是真命题的是（）

1

A．若a1,1,2是直线l的方向向量，b2,1,是直线m的方向向量，则l与m垂直

2

B．若a1,1,1）是直线l的方向向量，n0,1,1是平面的法向量，则l

C．若n11,0,3，n20,1,2分别为平面，的法向量，则

D．若存在实数x，y，使MPxMAyMB，则P，M，A，B共面

11．已知点A1,2在抛物线y22px（p0）上，F为抛物线的焦点，Q1,0，则下列说法正确的是

（）

A．p2B．点F的坐标为2,0

C．直线AQ与抛物线相切D．AFAQ

三、填空题

12．以(1,2)为圆心，3为半径的圆的方程是．

2

*

13．已知数列an满足a13,anan11n2,nN，则a4.

3

14．已知正方形ABCD的边长为2，其中三个顶点在抛物线y22px(p0)上，则p.

四、解答题

15．某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示，求：

(1)直方图中a的值；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数．

(3)此年度消费金额的平均值．

16．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA13AB6，D为CC1的中点．

(1)求点B到直线A1D的距离；

(2)求异面直线AB1与BD所成角的余弦值．

17．已知公差d0的等差数列an的前n项的和为Sn，且a11，a1,a31,S4成等比数列.

(1)求数列an的通项公式;

(2)若数列bn满足anbnan11，求数列bn的前n项的和.

22

18．已知圆C：x1y14．

(1)过点P3,2向圆C作切线l，求切线l的方程；

(2)若Q为直线m：3x4y80上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求QM的最小值．

x2y231

19．已知椭圆E:1(ab0)，左右焦点分别为F1，F2，左右顶点为A1，A2，离心率为，点3,

a2b222

在椭圆E上．

(1)求椭圆E的标准方程；

3

(2)若P是椭圆E上的点，且以点P及焦点F1，F为顶点的三角形面积等于，求点P的坐标：

22

(3)若直线l:xmyn与椭圆E交于M,N两点，直线l不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴．设直线A2M和

11

A2N的斜率分别为k1，k2，用m,n表示．

k1k2

1．C

根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得.

【详解】因为z13i，则z12(3)210.

故选：C

2．C

利用双曲线方程可得渐近线方程．

x2x21

【详解】双曲线y21的渐近线方程为y20，即yx，

442

故选：C.

3．C

【解析】利用等比数列的通项公式列方程求解即可

n133=

【详解】数列an是等比数列，则ana1q，（q为数列an的公比），则a4a1q162q，解得q2.

故选：C.

4．D

根据给定条件，利用正弦定理求解即得.

π

【详解】在ABC中，a2，A，b23，

6

π

23sin

由正弦定理得bsinA3，

sinB6

a22

π5π

由ba，得BA，则B，

66

π2π

所以B或B.

33

故选：D

5．A

由等差数列求和公式及性质即可求解；

6aa

【详解】S163aa36，

6234

故选：A

6．D

先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解.

ππ3

【详解】若直线xmy10的倾斜角的大小为，则直线xmy10的斜率为ktan，

663

11

则m0，所以直线xmy10即直线yx，

mm

13

所以，解得m3.

m3

故选：D

7．A

首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断.

【详解】圆C:x2y22的圆心C0,0，半径r2，

又12122，所以点A在圆C上，

002

圆心到直线l:xy20的距离d2r，

1212

所以直线l与圆C相切.

故选：A

8．B

π

过I分别作AF､AF､FF的垂线，垂足分别为D､E､F，作出图形，结合双曲线的定义推到出IFI，

112121222

I1FF2F

再由三角形相似可得，最后得到(ca)2a2，再由离心率的定义解出即可；

F2FI2F

【详解】

过I1分别作AF1､AF2､F1F2的垂线，垂足分别为D､E､F，

则ADAE,F1DF1F,F2EF2F，

AF1AF22a，则ADDF1AEEF2F1FF2F2a，

又F1F2F1FF2F2c，则FF1OF1OFac，

OFa，即I1在直线xa上，

I1F2AI1F2F1,I2F2BI2F2F1，

π

则IFAIFBIFFIFFIFI,IFI，

12221212212211222

IFFF

12222

又，则I1FI2FF2F，即r1r2(ca)a，

F2FI2F

c

c2a，故离心率为e2，

a

故选：B.

9．ACD

求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.

31

【详解】对于A，甲胜和乙胜的概率都是=，所以游戏是公平的，故A正确；

62

对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，

所以甲胜的概率小，所以游戏不公平，故B错误；

261

对于C，甲胜和乙胜的概率都是=，所以游戏是公平的，故C正确；

522

2C1C112C1C11

对于D，甲胜的概率是44，乙胜的概率是44，所以游戏是公平的，故D正确.

882882

故选：ACD

10．AD

根据空间向量的坐标运算和相关概念结合空间中线面关系逐项分析判断.

1

【详解】对于选项A：因为ab121120，

2

可知ab，所以l与m垂直，故A正确；

对于选项B：因为an1011110，

可知an，所以l或l∥，故B错误；

对于选项C：因为，

n1n210013260

所以平面，不相互垂直，故C错误；

对于选项D：若存在实数x，y，使MPxMAyMB，

则MP,MA,MB为共面向量，所以P，M，A，B共面，故D正确；

故选：AD.

11．AC

将A1,2代入抛物线可得p2，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解.

【详解】将A1,2代入y22px中可得42p，故p2，F1,0,A正确，B错误，

yx1

2

kAQ1,则AQ方程为yx1，则2x2x10，0，故直线AQ与抛物线相切，C正确，

y4x

由于AFx轴，所以AFAQ不成立，故D错误，

故选：AC

12．(x1)2(y2)23

根据给定条件，直接写出圆的方程即可.

【详解】依题意，所求圆的方程为(x1)2(y2)23.

故答案为：(x1)2(y2)23

13．3

由递推关系代入计算可得．

2

【详解】因为a3,aa1，n2，

1n3n1

222

所以a313，a313，同理a313.

233343

故答案为：3.

14．2

2

根据题意，不妨设A在坐标原点，根据正方形和抛物线的对称性，得到点B和点D关于x轴对称，求得点B

的坐标，代入计算，即可求解.

【详解】因为正方形ABCD的边长为2，其中三个顶点在抛物线y22px(p0)上，

根据抛物线和正方形的对称性，不妨设A在坐标原点，则点B和点D关于x轴对称，

由正方形ABCD的边长为2，所以B(2,2)，D(2,2)，

12

所以(2)22p2，解得p.

22

故答案为：2.

2

15．(1)3.0

(2)6000人

(3)0.537万元

（1）根据各组频率之和为1即可求得答案；

（2）根据频数的求法即可得答案；

（3）根据平均数的求法，即可得答案.

【详解】（1）根据各组频率之和为1，得0.11.52.5a2.00.80.21，解得a3.0；

（2）由图可知消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.132.00.80.2100006000人；

（3）由图可得此年度消费金额的平均值为

0.350.150.450.250.550.300.650.200.750.080.850.020.537（万元）.

16．(1)2390

13

(2)4130

65

（1）取BC的中点O，连接OA，即可证明AO平面BB1C1C，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点

B到直线A1D的距离；

（2）求出直线AB1与BD的方向向量，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）取BC的中点O，连接OA，因为三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，

所以ABC为正三角形，所以AOBC,

又BB1平面ABC，BB1平面BB1C1C，所以平面ABC平面BB1C1C，

又平面ABC平面BB1C1CBC，AO平面ABC，所以AO平面BB1C1C，

以O为坐标原点，直线OB，OA分别为x，z轴，在面BB1C1C内过O作BB1的平行线作为y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则A0,0,3，B1,0,0，B11,6,0，A10,6,3，D1,3,0．

所以BD2,3,0，A1D1,3,3，

22

所以BDA1D2133037，BD2313，

2

22，

A1D13313

2

2

BDA1D492390

则点B到直线A1D的距离dBD13.

AD1313

1

（2）因为AB11,6,3，BD2,3,0．

AB1BD164130

所以cosAB1,BD．

AB1BD1321065

4130

所以异面直线AB1与BD所成角的余弦值为．

65

17．(1)an2n1

n

(2)

2n1

2

（1）根据题意结合等比中项可得a31a1S4，即可得公差和通项公式；

1

（2）由题意可得bn，利用裂项相消法运算求解.

anan1

2

【详解】（1）因为a1,a31,S4成等比数列，则a31a1S4，

221

且a11，则4d46d，即2d3d20，解得d2或d（舍去），

2

所以an12n12n1.

（2）设数列bn的前n项的和为Tn，

11111

因为anbnan11，则bn，

anan12n12n122n12n1

11111111n

所以Tn11.

23352n12n122n12n1

18．(1)x3或5x12y90

(2)5

（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求

得参数值；

（2）确定直线与圆相离，由切线长公式QC最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切

线长的最小值．

【详解】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为x3．

若切线l的斜率存在，设切线l的方程为y2kx3，即kxy3k20．

2k35

因为直线l与圆C相切，所以圆心C1,1到l的距离为2，即2，解得k，

k2112

5

所以切线l的方程为y2x3，即5x12y90．

12

综上，切线l的方程为x3或5x12y90．

348

（2）圆心C到直线m的距离为32，直线m与圆C相离，

32(4)2

22

因为QMQC4，所以当QC最小时，QM有最小值．

348

当QCm时，QC最小，最小值为3，

3242

所以QM的最小值为3245．

x2

19．(1)y21

4

3333

(2)1,或1,或1,或1,

2222

4m

(3)

n2

x2y23ca2b23

【详解】（1）由椭圆E: