小学数学二年级下册“有余数的除法”大单元整体教学设计

小学数学二年级下册“有余数的除法”大单元整体教学设计

  单元整体说明

  本单元“有余数的除法”隶属于“数与代数”领域，是学生在二年级上册已经掌握了表内乘除法意义、计算方法以及简单应用的基础上，进行的知识纵深拓展与认知结构重构的关键节点。它不仅是对除法意义的进一步完善（从“恰好分完”到“平均分后有剩余”），也是后续学习多位数除法、分数、小数乃至循环概念的重要认知基石。本设计秉持“大单元教学”理念，打破传统课时壁垒，以“理解余数产生之必然与意义，探索余数特性之规律，发展初步的模运算思想”为核心大概念进行整体架构。教学将深度融合操作体验、表征转化、规律探究与问题解决，引导学生经历从具体实物操作到数学符号抽象，再到规律发现与模型构建的完整数学化过程，同时有机渗透数形结合、归纳推理、函数萌芽等数学思想方法，并尝试与语文（周期现象描述）、美术（规律图案设计）、信息技术启蒙（简单循环逻辑）进行跨学科联结，旨在培养学生的运算能力、推理意识、模型观念和应用意识，提升数学核心素养。

  学习目标

  1.知识与技能目标：在具体的问题情境与操作活动中，理解余数产生的过程与意义，掌握有余数除法的横式与竖式写法，能正确列出除法算式表示平均分后有剩余的情况；理解并掌握“余数必须比除数小”的规律，并能运用此规律进行初步的判断与推理；能运用有余数的除法解决简单的实际问题，并能根据实际情况对结果进行合理的“进一法”或“去尾法”处理。

  2.过程与方法目标：经历“分一分”、“摆一摆”、“画一画”、“写一写”、“想一想”等系列数学活动，积累从具体情境中抽象出数学问题的活动经验；通过对比观察、操作验证、归纳概括，探索并理解余数与除数的关系，发展初步的归纳推理能力和探究意识；在解决实际问题的过程中，学会分析数量关系，尝试用数学语言表达思考过程，提升解决问题的能力。

  3.情感、态度与价值观目标：在操作与探究活动中，感受数学与日常生活的紧密联系，体验除法应用的广泛性；在发现“余数比除数小”的规律过程中，获得探究成功的愉悦感，增强学习数学的自信心；通过解决“至少”、“最多”等实际问题，体会数学的严谨性与实用性，初步形成从数学角度思考现实问题的意识。

  教学重点与难点

  教学重点：理解余数的意义，掌握有余数除法的横式与竖式写法；探索并理解“余数必须比除数小”的规律。

  教学难点：理解余数产生的现实意义与数学本质；在竖式计算中理解商与除数的乘积、余数与被除数各部分之间的关系；能灵活运用有余数除法的知识解决生活中的实际问题，并对商和余数做出合理解释。

  教学资源准备

  1.教师准备：多媒体课件（内含动态分物过程、规律探究动画、生活情境图片）、实物投影仪。

  2.学生准备：每小组一套学具（小棒或圆片若干，数量在20个左右）、学习任务单（内含操作记录表、规律探究表、分层练习题）、彩色笔。

  3.环境准备：教室桌椅按四人或六人小组式摆放，便于开展合作探究活动。

  教学实施过程（共四个课时）

  第一课时：分物中的“剩余”现象——有余数除法的意义

  一、情境导入，唤醒经验

  课件出示主题图：学校春季研学，二（1）班同学准备分享零食。情境一：把6块蛋糕平均分给2个小组，每组几块？情境二：把7个苹果平均分给2个小组，会出现什么情况？

  学生根据情境一快速口答，复习表内除法。对于情境二，学生凭借生活经验能说出“每组分3个，还多出1个”。教师追问：“这多出来的1个，还能再平均分给2个小组吗？”引发认知冲突，自然引出“剩余”概念。板书关键词：平均分、剩余。

  设计意图：从学生熟悉的平均分物品情境入手，在对比中制造认知冲突，使学生直观感受到“分不完”的情况，为理解余数的产生提供现实原型，激发探究欲望。

  二、操作探究，建构概念

  活动一：动手分一分，记录“剩余”。

  任务：请用手中的小棒（或圆片）代替苹果，动手分一分，验证一下7个苹果平均分给2个小组的结果。分完后，尝试用语言、图画或算式表达你的分法。

  学生小组合作操作，教师巡视指导，关注学生的不同表征方式。操作后，选取代表性作品通过实物投影展示：

  1.语言描述：“每份3个，多了1个。”

  2.图画表征：画出7个圆圈，每2个圈一起，圈了3份，剩1个。

  3.算式尝试：有的学生可能写出“7÷2=3……1”，有的可能只会写“7÷2=3”。

  教师引导学生聚焦算式表达，指出“7÷2=3”不能完整表示分的过程和结果，因为遗漏了“剩余”。由此引入新的数学表达方式：7÷2=3（个）……1（个）。带领学生认读算式，明确各部分名称：7是被除数，2是除数，3是商，1是余数。强调算式读作“7除以2等于3余1”，并让学生反复读、写，熟悉新算式。

  活动二：多样操作，丰富感知。

  任务单出示：分别用8根、9根、10根、11根、12根小棒，每4根一份，可以分几份？还剩几根？请先圈一圈，再列出算式。

  学生独立操作并完成记录表。汇报时，重点引导学生完整表述操作过程和算式意义，如：“12根小棒，每4根一份，正好分了3份，没有剩余，算式是12÷4=3。”“11根小棒，每4根一份，分了2份，还剩3根，算式是11÷4=2……3。”

  设计意图：通过两次层次递进的操作活动，让学生充分经历“平均分”产生“剩余”的具体过程。从操作到语言、图画、算式的多元表征，帮助学生完成从具体动作到符号抽象的思维飞跃，深刻理解有余数除法算式中每一个数的现实意义，特别是“余数”的本质就是平均分后不能再分的那部分。

  三、对比归纳，明晰意义

  将学生操作得到的一组算式（如：8÷4=2，9÷4=2……1，10÷4=2……2，11÷4=2……3，12÷4=3）集中呈现于黑板或课件上。

  引导学生观察、对比、思考：

  1.这些算式在分的过程中有什么相同点？（都是平均分，都用除法计算）

  2.这些算式的结果有什么不同？（有的正好分完，没有剩余；有的分完后还有剩余）

  3.像这样“平均分后还有剩余”的情况，我们用一种新的除法算式来表示，这就是“有余数的除法”。余数表示平均分后剩下的、不够再分一份的数量。

  教师小结并板书课题：有余数的除法。

  设计意图：通过有结构的材料对比，引导学生自主发现两类除法算式的联系与区别，从具体实例中归纳概括出“有余数的除法”的共同特征，从而完成对概念的意义建构，使“余数”的概念在学生头脑中清晰化、结构化。

  四、巩固应用，内化理解

  1.基础练习：看图写算式。（呈现多个平均分后有剩余的情境图，如分草莓、分气球等）

  2.操作表达：用13根小棒摆独立的正方形，可以摆几个？还剩几根？先摆一摆，再列出算式。

  3.生活链接：有11个羽毛球，每筒装5个。可以装满几筒？还剩几个？算式是（）。这个余数在现实中表示什么？

  设计意图：练习设计层次分明，从直观到半抽象，紧密联系生活实际。在应用中进一步巩固有余数除法的意义，并引导学生关注余数在具体情境中的现实含义，避免将余数视为一个孤立的数字符号。

  第二课时：从“横式”到“竖式”——有余数除法的计算方法

  一、复习迁移，搭建桥梁

  口算并说意义：12÷3=14÷3=（让学生说清第二个算式的意义和结果）

  回顾：上节课我们学习了用“13÷4=3……1”这样的横式来表示有余数的除法。今天，我们将学习一种新的、更清晰的计算和记录方法——竖式。

  设计意图：通过复习，巩固有余数除法横式的意义，为竖式学习做好铺垫，同时点明本课学习重点，激发求知欲。

  二、探究竖式，理解算理

  出示例题：妈妈买了13个苹果，每4个放一盘，可以放几盘？还剩几个？

  1.列出横式：13÷4=3（盘）……1（个）

  2.探究竖式写法：

  步骤一：搭建框架。教师引导：“除法竖式像一座‘小房子’，被除数住在里面，除数站在门外面。”板书竖式基本框架：先写“厂”字头（除号），里面写被除数13，左边写除数4。

  步骤二：试商。提问：“13里面最多有几个4？”学生回答“3个”。这个“3”就是商，写在哪里？商要写在被除数的个位上面（对应横式的结果），并与被除数对齐。

  步骤三：乘减。追问：“放了3盘，一共用掉了多少个苹果？”（3×4=12）这个12表示已经分掉的数量，写在13的下面，并且相同数位要对齐。然后画一条横线，用13减12，得到差1。

  步骤四：对比意义。指着竖式中的“1”提问：“这个‘1’是怎么得到的？它表示什么意思？”引导学生理解，这个“1”就是横式中的余数，表示还剩下1个苹果不够放一盘。

  3.完整表达：带领学生完整叙述竖式计算过程：13除以4，想13里面最多有3个4，商3，三四十二，13减12等于1，所以13÷4=3……1。

  4.书写规范指导：强调数位对齐、横线用直尺、余数的位置等书写细节。

  设计意图：将竖式计算过程与“分苹果”的操作过程、横式意义紧密结合，通过形象的比喻和逐步引导，让学生清晰理解竖式中每一步的算理，明白竖式只是将分物的逻辑过程用一种更简洁的数学语言记录下来，避免机械记忆步骤。

  三、分层练习，掌握算法

  1.模仿书写：根据横式，尝试写出竖式。如：15÷2=7……1，17÷5=3……2。教师巡视，重点纠正书写格式和计算顺序。

  2.看图列竖式：呈现分物过程图（如分小棒），要求学生先用横式表示，再用竖式计算，并说说竖式中每个数的含义。

  3.直接计算：出示如20÷6、22÷7等算式，要求直接列竖式计算，并汇报计算过程和结果。

  4.纠错小医生：呈现有典型错误的竖式（如商的位置不对、余数比除数大、减法算错等），请学生诊断并改正。

  设计意图：练习设计从模仿到独立，从直观到抽象，并设置纠错环节。通过多层次、多形式的练习，帮助学生牢固掌握有余数除法的竖式计算方法，深化对算理的理解，形成计算技能。

  四、沟通联系，深化认知

  将横式“13÷4=3……1”和竖式并列呈现。

  引导学生观察、讨论：横式和竖式之间有什么联系？竖式的哪几步对应了横式中的哪些部分？（竖式中的“商3”对应横式中的“3”；“4×3=12”对应分掉的12个；“13-12=1”对应得到余数1）

  小结：竖式是把横式计算时的思考过程，一层一层清楚地展示出来。它不仅能告诉我们结果，还能清楚地展示我们是怎么得到这个结果的。

  设计意图：通过横式与竖式的对比分析，帮助学生理解两者是同一数学事实的不同表达形式，竖式更具过程性。这有助于学生将新知纳入原有的认知结构，构建完整的除法计算知识网络。

  第三课时：发现“余数”的秘密——余数与除数的关系

  一、游戏激趣，引发猜想

  游戏“猜猜余数”：教师出示算式框架：□÷6=△……☆。神秘地说：“在这个除法算式中，除数是6。请你们猜一猜，余数☆可能是几？”

  学生自由猜测。可能会有多种答案，如0、1、2、3、4、5、6、7、8……

  教师不立即评价，而是说：“大家的猜想不一样，余数和除数之间到底有没有关系？有什么规律呢？让我们通过实验来寻找答案。”

  设计意图：以猜谜游戏开场，激活学生思维，制造悬念。开放的猜想能暴露学生的前概念（可能认为余数可以比除数大），从而产生强烈的探究内驱力。

  二、合作探究，发现规律

  活动：小组探究“余数与除数的关系”。

  提供探究单：以除数为6进行系统研究。

  1.用一堆小棒（数量从7开始，逐步增加），每次拿出6根摆一个独立的六边形（或其他图形）。边操作边记录。

  记录表：

  小棒总数|摆的图形个数|剩余小棒数|除法算式

  （学生填写）

  2.操作并填写记录表，至少完成从7根到20根小棒的情况。

  3.观察“剩余小棒数”这一列，你发现了什么？

  学生小组合作，动手操作，记录数据。教师巡视指导，确保操作和记录的准确性。

  汇报交流：

  各组汇报数据，教师将典型算式有序地板书：7÷6=1……1，8÷6=1……2，9÷6=1……3，10÷6=1……4，11÷6=1……5，12÷6=2，13÷6=2……1，14÷6=2……2……

  引导学生聚焦观察“余数”一列：1,2,3,4,5,0,1,2……

  提问引发思考：

  1.当除数是6时，余数有哪些？最大是几？最小是几？

  2.有没有出现余数是6或比6大的情况？为什么？

  学生通过观察和数据对比，能够发现：余数总是1、2、3、4、5、0，最大是5，最小是0（正好分完），不会等于或超过6。

  追问：为什么余数不能等于或大于除数6？结合操作情境解释。（如果余数等于6，就说明还能再摆一个图形，应该分在商里；如果余数大于6，比如7，那肯定还能再分一份。）

  设计意图：提供结构化的探究材料和任务，让学生在系统化的操作、记录、观察、比较中，自主发现“余数比除数小”的规律。结合操作情境的解释，使抽象的规律变得直观易懂，理解其必然性。

  三、验证推广，形成结论

  1.验证：其他除数是不是也有这样的规律？快速用除数是5、7、8等的情况举例验证（可以口算或简单画图）。

  2.归纳：引导学生用完整的数学语言概括规律：在有余数的除法中，余数一定要比除数小。

  3.深化理解：这个规律对我们有什么帮助？（可以帮助我们检查除法计算是否正确。如果发现余数比除数大或等于除数，说明计算有误，商小了。）

  4.应用检查：出示几个有余数除法的竖式，其中有一个余数比除数大，请学生运用规律进行快速判断和修正。

  设计意图：从特殊（除数为6）到一般（任意除数），通过举例验证，帮助学生将发现的规律进行推广和确认，形成普遍性结论。并引导学生理解该规律的工具性价值，将其应用于计算的检验，提升计算的准确性和反思能力。

  四、拓展延伸，思维进阶

  1.逆向推理：□÷5=4……☆，☆可能是（）。□最大是（），最小是（）。

  引导学生思考：根据余数比除数小，☆可能是1,2,3,4。再根据“被除数=商×除数+余数”，分别计算。最大是被除数=4×5+4=24，最小是被除数=4×5+1=21。

  2.周期现象初探（跨学科联系语文）：出示一组按“红、黄、蓝”顺序循环排列的气球，问：“第16个气球是什么颜色？”引导学生用16÷3=5……1来思考，余数1表示在新的一轮循环中排第1个，所以是红色。初步感受有余数除法在解决周期问题中的应用。

  设计意图：设计富有挑战性的逆向思维题和简单的周期问题，将规律的应用从正向检验扩展到逆向推理和解决实际问题，培养学生的逆向思维和模型应用能力，并为后续学习埋下伏笔，体现思维的深度和广度。

  第四课时：灵活应用与问题解决——“进一法”与“去尾法”

  一、情境再现，提出问题

  课件连续呈现多个真实生活情境：

  情境A（租船）：22个同学去划船，每条船最多坐4人。他们至少要租多少条船？

  情境B（钉纽扣）：每件衣服需要钉5颗纽扣。现有28颗纽扣，最多能钉几件这样的衣服？

  情境C（乘车）：40名师生乘车去博物馆，每辆车限乘7人（含司机）。至少需要几辆车？（此情境需稍作讨论，明确司机占一个座位，实际乘客为6人）

  引导学生逐一读题，找出已知条件和要求的问题。提问：这些都可以用我们学过的除法解决吗？列式试试看。

  设计意图：选取典型的、需要根据实际情况处理商和余数的生活问题，让学生感受到数学学习的现实意义。复杂情境的引入，促使学生更仔细地审题和分析。

  二、对比分析，策略初建

  1.独立列式：学生尝试为三个情境列出除法算式。

  情境A：22÷4=5（条）……2（人）

  情境B：28÷5=5（件）……3（颗）

  情境C：40÷6=6（辆）……4（人）（讨论后得出实际每车载客6人）

  2.聚焦讨论：“商”和“余数”在這些情境中分别表示什么？我们最终要的答案，是直接用“商”，还是要对“商”进行处理？

  以情境A为例展开深度讨论：

  算式22÷4=5（条）……2（人）表示，坐满5条船后，还剩下2人。

  提问：这剩下的2人怎么办？（也需要坐船）需要再租一条船吗？（需要）所以，总共需要几条船？（5+1=6条）

  教师小结：像这样，为了保证所有人都有船坐，即使剩下的人不够坐满一条船，也需要再增加一条船。这种方法，我们可以称之为“进一法”。

  同理，分析情境B：28÷5=5（件）……3（颗）表示钉完5件衣服后，剩下3颗纽扣。

  提问：这剩下的3颗纽扣够钉一件衣服吗？（不够）所以，最多能钉几件衣服？（就是5件，不能再多了）

  小结：像这样，剩下的部分不够再完成一份，就不能算进去，只能舍去。这种方法，可以叫作“去尾法”。

  情境C讨论：剩下4人，必须再要一辆车，所以用“进一法”，6+1=7辆。

  设计意图：通过对三个情境算式的对比分析和深入讨论，引导学生关注“余数”在具体情境中的实际含义，理解“进一”和“去尾”的必要性。在讨论中帮助学生初步建立根据问题实际意义灵活处理计算结果的策略模型。

  三、建模应用，巩固策略

  1.策略判断练习：出示多个实际问题，请学生先独立列式计算，再判断该用“进一法”还是“去尾法”得出最终答案，并说明理由。

  例如：①有25米布，做一套衣服用3米，最多能做几套？②每张书页能贴8个邮票，有45个邮票，至少需要几页来贴？

  2.综合应用练习（跨学科联系美术/信息技术思维）：学校艺术节，二年级同学要用彩色正方形纸拼成一个大型图案。他们决定按“红、黄、蓝、绿”的顺序循环排列。现在有35张纸。

  （1）按这个顺序排，最后一张纸是什么颜色？（35÷4=8……3，蓝色）

  （2）如果想让最后一张是绿色，至少需要增加或减少几张纸？为什么？（增加1张，变成36张，36÷4=9，正好；或者减少3张，变成32张，32÷4=8，也正好。但“至少增加”1张。）

  3.错例辨析：呈现一些直接采用“商”作为答案而导致不合理结论的例子，请学生分析错误原因并提出正确解法。

  设计意图：通过判断、综合应用、错例辨析等多种形式的练习，让学生在变式情境中反复体验和运用“进一法”与“去尾法”，促进策略的内化。跨学科的综合题，既巩固了周期知识，又培养了学生分析、优化和解决问题的能力。

  四、全课总结，单元回顾

  1.引导学生回顾本单元学习历程：我们从分物品有了剩余开始，认识了（有余数的除法），学会了它的（横式和竖式）写法，还发现了余数一个重要的秘密（余数必须比除数小），最后我们用它来解决生活中的问题，知道了有时候要对结果“进一”，有时候要“去尾”。

  2.思维导图建构：师生共同梳理本单元知识结构图（可板书核心概念与联系）。

  3.情感升华：数学源于生活，又服务于生活。希望同学们能用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去解决生活中更多有趣的问题。

  设计意图：对整个单元的学习内容与方法进行系统梳理，帮助学生形成结构化、网络化的知识体系。通过总结，提升学生的元认知能力，并强化数学的应用价值观念。

  作业设计与评价建议

  作业设计遵循“基础巩固、能力提升、综合实践、个性拓展”的分层原则。

  1.基础性作业（必做）：完成课本配套练习中关于有余数除