2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题

手机“套餐”优惠几何

摘要

随着通讯业的发展，手机的普及率越来越高，手机的资费问题也就成了大家

热切关注的问题。本文重要针对这些问题中的手机套餐及一些资费问题进行了以

下讨论：

1.针对问题（1）依据附表2的数据，根据套餐内和套餐外的本地主叫时间得

出北京、上海各套餐方案的资费il算分段函数，结合该函数运用MATLAB画出

相应的图形，通过图形中的交点得出不同需求的用户的套餐方案

2.针对问题（2）重要是运用折合单价模型进行简化，一方面，将客户通话

行为进行分解，从附件1我们可以计算出每种通话行为与总通话量中的比例权重,

该权重与每种通话行为的单价（附件2中已知）相乘后中累加，得到折合单价，针

对折合单价的大小来评判各种资费方案；

3.针对问题（3）我们从两个方面来说明：

“被叫全免费计划”方案分别与北京移动公司全球通“中外听99套餐”即推出

新方案之前的全球通从折合单价方面进行比较，。问题（2）已经计算出全球通

的折合单价为（）.7320元/分钟，同样得出“畅听99套餐”方案的折合单价为0.45

元/分钟，显然，全球通的折合单价大于“畅听99套餐”方案的折合单价，则“畅

听99套餐”相对全球通来说便宜。

然后，以一年的费用将“被叫全免费计划”方案与被叫不免费计划方

案进行比较，我们一方面假定主叫所占比重为60%,得出时，被叫不免费方

案处在优势，而时，则处在劣势。

4、在设计一个全球通资费方案时，我们所考虑的因素有地区人均收入情

况、人们对不同的业务的需求、运营商的收入情况及市场竞争因素。

从以上的因素中我们重要考虑了人们对不同业务的需求，运用线性规划以

及lingo软件编程方法求用户对不同需求所支付的费用的最小值，并且运营商的

收入减少不超过10%条件下使得模型最优化，从而得出其解。

关键词：手机套餐，分段函数，折合单价模型，线性规划。

一问题的重述

手机现已成为人们平常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近

年来通信业务量飞速增长。

手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实

质性变化。但是2023年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营

商都相继推出了“手机单向收费方案”--各种品牌的“套餐”，手机“套餐”

的把戏琳琅满目，让人眼花缭乱。

参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海

的“全球通68套餐”方案，建立数学模型分析研究下列问题：

(1)给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同(通话量)

需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户。

(2)提出对各种资费方案的评价准则和方法，据此对北京、上海推出的“套

餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。

(3)北京移动公司2023年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月

租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还规定用户至少在网一年。对

这个方案进行评价，并说明理由。

(4)设计一个全球通手机的资费方案，以及下写出考虑的各种因素。根据的研究结果和北京、

上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入减少不超过10%的条件下，用数学建

模方法设计一个合理的“套餐”方案。

二条件假设

1.由于北京“畅听99”套餐中的数据业务对于评价此套餐影响不大，所以不考

虑北京“畅听99”套餐中的数据业务。

2.在制定通话资费标准中，假定漫游权重为4,非漫游为6。

3.由于各国长途资费不一，为简化计算我们取平均值为3.6元/分钟

4.在评价三种资费时，短信'业务均不予考虑。

5.手机卡使用周期以月为计算单位。

三符号说明

-...........某一通话行为的资费标准(,)

A......................月租费

------------“畅听99套餐计划”方案的木地主叫通话时间，分钟

-------------“畅听99套餐计划”方案国内IP长途通话时间,分钟

a-------------为主叫比重

0--------------移动通话占的比重

0..............IP长途电话在通话中占的比重

---------------移动用户一个月平均通话时间，分钟

--------------全球通折合单价，元/分钟

〃---------------全球通的手机户使用的月数

f------------北京移动全球通“畅听99套餐”月资费计费（i=l-4）

g-------------上海移动公司“仝球通68套餐”月资费计费（/=1.--3）

四问题的分析

1.对于问题（1）的分析：

北京、上海各套餐方案的资费是针对用户的不同通话量的需求，所以我们可

以省去对数据业务的考虑，从附件2可以得之，各套餐拨打长途资费及呼喊转移

的资源都相同，所以，最终可以不必考虑这些问题，我们通过度段函数和图形来

说明各种“套餐”方案的合用情况。

2.对于问题（2）的分析：

附件2中给出了三种资费方案:全球通、神州行及动感地带观测三种资费方案，在

通话方面三者有一定的共同点，收费大体可以分为以下几个方面：本地主叫、国

内长途、国际长途（港澳台）及IP电话（对于各别短信套餐不以考虑）。于是，我

们提出“折合单价模型”。其定义是：将客户的通话行为进行分解、按照每种通

话行为的单价相乘后累加，得到的数值即为折合单价。用折合单价作为作为评判

方案的准则。

通过计算出的折合单价，与北京、上海套餐进行比较，用Matlab做出相关图形进

行比较。

3.对于问题（3）的分析：

北京移动公司推出的“被叫全免费计划”方案。分别与现行全球通资费标准，以

及北京移动公司推出的“畅听99套餐”方案进行。进而对这个“被叫全免费计

划”进行评价。

五模型的建立与求解

问题1）:

对于北京移动“畅听99套餐”方案。

以月为一个资费计算周期，为简化问题，不妨不考虑数据业务。运用分段函

数对此套餐进行计费。

_]99+0.1*/0<x<280

'"一(99+0.35**-280)+0.1*，x>280

139+0.1*/0<x<560

加工）=

139+0.25*(x-560)+0.1*rx2560

199+0.1*/0<A<1000

£（幻=，

199+0.20*U-1000)+0.1*/x>10000

299+0.1*/0<.v<2000

力（幻=

299+0.15*(x-2000)+0.1*/xA2000

同理，对于上海移动公司“全球通68套餐”方案,得出资费计算方法，如下:

680<x<360

g3=68+0.18*(x-360)x>360

1280<x<800

&（幻=

128+0.16*(x-800)x>800

1880<x<1200

188+O.13*(x-12OO)x21200

由于“畅听99套餐”中的各方案拨打IP长途费用相同，因此用户选择方案时可

以忽略对它的考虑，故画图时只需作话费与时间的函数关系图来参照，可用

Matlab程序得出以下图形：

900

图1：北京（蓝）上海（红）套餐话费时间图

由上图我们可以得知：

根据北京用户通话时间的不同，来选择不同的套餐。所选套餐的基本情况如下表:

0<x<394用户选择月基本费为99元/月的套餐

394<x<800用户选择月基本费为139元/月的套餐

800<x<1500用户选择月基本费为199元/月的套餐

x>1500用户选择月基本费为299元/月的套餐

根据上海用户通话时间的不同，来选择不同的套餐。所选套餐的基本情况如下表:

0<x<694用户选择月基本费为68元/月的套餐

694<x<1069用户选择月基本费为128元/月的套餐

x>1()69用户选择月基本费为188元/月的套餐

问题2):

根据附件1可以得到移动电话用户46108.2万户；移动通话总量为：16868.7亿分

钟。其中本地通话时长1588.7亿分钟、国内长途通话时长977.8亿分钟、国际长

途撕长4.2亿分钟、港澳台时长4.0亿分钟。IP电话通话总量为：1488.6亿分钟。

其中国内长途通话时长1465.6亿分钟,国际长途通话时长12.3亿分钟，港澳台

通话时长10.7亿分钟。

移动通话占的比重为0=3空=91.89%。IP长途电话在通话中占的比重为

18357.3

。=0=8."%。

18357.3

移动一个月的平均L端鬻%=3。5分伊/月

IP—个月的平均”若韶:81分钟/月

通过附件1,求出了移动通话中的本地通话、国内长途、国际长途、港澳台

在通话的比重分别为，，0,

IP中的国内长途、国际长途、港澳台依次为a=98.455%、^,=0.862%、

@=0.719%

图3:移动通话各种资费占的比重图

在建立模型前。我们引入一个概念一一折合单价。其定义：是将客户的通话行为

进行分解，按照每种通话行为在总通话量中的比例赋予权重，该权重与每种通话

行为的单价相乘后累加，得到的数值即位折合单价。

将引用“折合单价模型”对“全球通”、“神州行”、“动感地带”三种资费

方案进行评价。

对于“全球通”，由于其有月租，折合单价要涉及月租。其算法如下:

移动电话的折合单价*其比重+IP电话的折合单价*其比重

移动：折合单价二

IP:折合单价二

根据上面折合单价公式求出三种方案的资费标准如下：

1.全球通移动通话资费标准：

本地通话：

国内长途：

国际长途：

港澳台：

全球通IP通话：

2.神州行移动通话：

本地通话：

国内长途：

国际长途：

港澳台：

神州行IP通话:

国内长途:

国际长途：

港澳台：

3.动感地带移动通话：

本地通话：

国内长途：

动感地带IP通话：

国内长途：

于是求出全球通的折合单价为=pj&=°・7683元/分钟。

1X

“神州行”折合单价pja=66914元/分钟

动感地带“折合单价p工P,.*Q,+3*Z〃,.*〃产0・3807元/分钟

由上述三种资费方案的折合单价大小的比较，可以看出，“动感地带”套餐

最为优惠，“神州行”套餐次之，“全球通”最贵。

可以看出对于北京推出的“畅听99”套餐，其折合单价介于0.25-0.45元/

分钟之间，与现行“全球通”、“神州行”套餐资费标准相比，“畅听99”套餐更

优惠。如图；

图3:全球通（红）与畅听99（蓝）话费时间图

由1)题中知:上海“全球通68”套餐在绝大部分时间范围内比北京“畅听99”

套餐便宜，进而得知：上海“全球通68”套餐比现行“全球通”、“神州行”套餐

资费标准便宜。

对于问题3)

1.北京移动公司推出的“被叫全免费计划”方案。分别与现行全球通资费标准,

以及北京移动公司推出的“畅听99套餐”方案进行。进而对这个“被叫全免

费计划”进行评价。

I)与北京“畅听99套餐”进行比较：

全球通折合单价为0.7230元/分钟。而“畅听99套餐”中“99元/月基本费”

中的折合单价最多为0.45元/分钟

对于全球通：也就是说

当全球通“被叫全免费计划”主叫时间低于68分钟时。用全球通“被叫全

免费计划”更划算。

当全球通”被叫全免费计划”高于68分钟时，由于“畅听99”的折合单

价比全球通”被叫全免费计划”折合单价要小，所以用“畅听99”更优惠。

2)与现行“全球通”资费标准进行比较：

在2)问题已求出移动用户每月平均使用时间为305分钟。折合单价为0.7230

元/分钟。以一年为周期进行比较。

“被叫全免费计划”的计费方式是：

现行“全球通”资费标准的计费方式是：

设”=(0+4)*〃-(即/+4)*〃-(12-〃)*20通过得到”值的正负来判断

哪种资费更优惠。

化简H代入数据得：

为方便比较不妨设，

即:

由于是以一年为计算周期（其中n为月数），所以我们得出以下结果:

77>3

因此“被叫全免费计划”方案的用户使用时间多于三个月就处在劣势；

不在超过三个月的情况下就处在优势，所以，从一年的角度来讲“被叫全免

费计划”处在劣势。

问题4）

在设计一个全球通手机的资费方案，我们所考虑的因素有地区人均收入情

况、人们对不同的业务的需求、运营商的收入情况及市场竞争因素。

在设计过程中，我们要考虑以下儿个原则：

“双方共赢”的原则

一个成功的业务套餐一定是用户与运营商双赢的套餐，在让用户获得优惠的

同时，运营商也必须可以从套餐活动中增长业务收入或者提高用户忠诚度

“有效区隔”的原则

在市场细分的基础上，要拟定可以享受业务套餐的条件，以达成有效区隔目的

用户的目的

“品牌优化”的原则

用户不也许同时去理解和接受许多套餐，这就规定套餐必须方便用户的记

忆和理解。

套餐设计的六个重要环节

Stopl:假设用户参与套餐的概率分布用户选择套餐除了受自身的消费弹性

影响之外，尚有两个重要的影响因素，一个是用户的历史消费水平与套餐规定

最低消费值之间的差额,差额越少，用户参与套餐的概率越高：假如历史消费高

于套餐的保底额，那么可以假设理性的用户参与的概率为100%。另一个因素是

可以消费的倍数，可消费的倍数越高，用户参与套餐的动力越大，概率越高。

Step2:为高档套餐设计保底值与封顶值保底值与封顶值是套餐设计

的两个重要元素。保底值设定应当遵循两个原则:一方面，取值在该区间的相对

波峰之前，否则容易使大量的用户参与套餐后，电信公司的总体收入下滑。另一

方面，保底值考虑在整卜整百的后面取值如88,99,199元等，让用户觉得所支

付的保底收入和封顶值有较大差距，获得的免费通话时间较长。在封顶值设定上

也有三个原则:一是高档优惠的倍数应当高于中档套餐优惠的倍数，这样才干鼓

励用户尽量选择高档套餐，从而增长收入。二是取值在该区间的相对波峰之后，

同样也是为了减少收入的流失。三是考虑为整十整百，可以提高用户的消费价值

感。

Step3：计算高档套餐的增量、减量况，评价套餐的收益性就单个用户

而言，他也许选择高于自己历史ARPU的套餐，也有也许选择低于自己ARPU的

套餐。前者给电信公司带我收入的增长，而后者则带来收入的下滑。作为套餐的

设计者需要做的最重要的工作就是，观测总体上套餐也许获得的收益。

增量=单用户增长攻入X用户参与概率义用户数

减量=单用户减少i攵入*用户参与概率X用户数

净增量=增量一减量

假如净增量为正数，那么该套餐能给运营商增长收入。通过多方案比较，选择增

量最大的套餐为最优方案。但在竞争环境比较恶劣的时候，可选择净增为负的套

餐设计，其中损失最少的套餐为最优方案

Step4:执行套餐并分析用户的通话行为变化套餐对用户之所以有吸引力，

在于用户选择套餐之后可以获得部分免费通话时间，这样用户的消费潜力将得

到释放。当用户选择套餐、释放出消费潜力的时候，原有的合账后用户消费数据

也许发生变化，并且稳定在高于历史消费ARPU的水平上。此时要观测用户参与

套餐的概率是否基本上符合我们前期假设的概率。假如有较大的偏差应当及时修

改这些概率假设，以便下次更新套餐时使用。

Step5:依次设计中、低档套餐套餐设计的基本目的就是增量增收，原

则上我们鼓励用户优先选择高档套餐与多元素组合套餐。在多数高端用户稳定较

高档套餐的基础上，可循环Step2—5,设计并推出中低档套餐。

Step6:套餐之间的对比检查套餐的设计其实也是电信组合资费个性

化的一个过程，为了使运营商利润最大化，同时又能满足不同用户对电信资费

个性化的需求，在这个过程中需要做充足的对比检查。

重要涉及以下三方面：

横向检查：相称资费水平单业务与组合业务比较，组合业务优惠水平

应当高于单业务的优惠水平；同样，相称资费水平业务多功能组合套餐的优惠水

平要低于单功能或少功能套餐的优惠水平。比如：相称资费水平小灵通单业务套

餐的优惠应当低于小灵通+固定电话的套餐优惠；本地网+长途的优惠应当高于

本地网套餐的优惠。

纵向检查：相同的组合业务形式（如都是有灵通+固定电话），相同的组合

功能形式（如组合的功能都是月租费+本地通话费），高ARPU比低ARPU用户享

受的优惠水平更高。比如“99元”可以消费“180元”，那么“150元”可以

消费”400元”，通过高ARPU高优惠吸引用户使用高档套餐。延续性检查：保

持新旧套餐的可比性。同时避免客户频繁变更套餐类型，或新套餐冲击旧套餐带

来没有必要的损失。

套餐实行要点与风险规

稳定高端用户是关键就用户的消费弹性而言，高端用户的消费弹性往往低于中

低端用户。这重要是由于高端用户与中低端用户的消费原则不同。中低端用户的

消费基本上还停留在“按额度消费”水平上，他们往往通过自己的收入结构

来控制通信消费预算，只有当用户平常收入增长后才有也许提高通信消费额度。

所以用户的潜在消费需求还是比较大的，在套餐的优惠吸引下消费潜力也许会

积极地释放出来。但是.高端用户的ARPL.本来就比较高，多数用户的通信费用可

以报销，或者其他因素使得用户对价格已经不敏感，基本上实现了“按需消费”

目的。即使套餐的优惠再大，用户也已经没有多大的消费需求可以释放，假如这

些高端用户使用套餐，必然会带来运营商收入的下降。但是在竞争环境下，竞争

对手对高端用户的争夺十分剧烈，所以运营商在发展高档套餐用户时，应当将

注意力放在用户忠诚度的哺育匕通过提高用户忠诚度与扩大高端用户群来增

长收入。组合套餐给用户市场细分带来困难，分析用户消费结构是关键市场细分

是电信运营商市场营销工作的基础。一方面通过用户特性、消费习惯等细分维度

将总体用户市场划提成为具有明显特性的若干细分市场，然后结合不同的细分

市场特性制订针对性策略，有效开发并满足特定市场的消费需求。组合套餐一方

面是多元业务的组合，多元业务的组合导致原有单业务的细分市场之间产生复

杂的交叉关系。比如：用户在移动电话、小灵通等语音方面需求量很大，但也许

没有宽带需求或者宽带需求比较小，这时用户选择“移动电话+小灵通+宽带”

的组合套

餐之后，原有的细分市场之间就产生了交叉，电信运营商制定统一的针对性营

销策略的困难限度就增长了。所以，研究组合套餐用户的消费行为不仅要观测用

户的总消费量，还必须关注用户在不同业务上的消费结构变化，这样制定出的

营销策略才也许更加准确，套餐也难以应对竞争者的“直接降价”，用户忠诚度

管理是关键设计套餐是为了满足用户消费的个性化需求，套餐之所以能对用户

产生吸引力，最基础的假设就是用户对价格的需求弹性。在恶劣的竞争环境中，

竞争对手也许采用简朴的降价或者其他恶性竞争手段。套餐在恶性竞争的环境下

也许难以发挥应有的作用，所以运营商在实行套餐的时候应当加强对用户忠诚

度的管理，涉及用户协议的签订等。

我们对原有的套餐进行设计之后，月租费为，但我们可以通过调整本地主叫

及国内长途的使费用比先前的低，且本地主叫及国内长途的标准资费为，表

达拨打不同业务所花费的时间,则对于北京移动”畅听39套餐”的目的函数为：

minZ=w2*r2+1+(305-%)

M表达通讯的一年成本，叫表达不同套餐超过套餐部分本地主叫的计费标准应

为移动所使用的用户

则卬2*4+/+K*（305一卬]）＞90%*[A+网*（叱-BJ1

同样,我们对上海的现有套餐进行比较，月租费为T,本地主叫及国内长途的标

准资费为九，吗表达拨打不同业务所花费的时间，则对于上海套餐的目的函数为

minZ=p2*w2+J+k（305一叫）

M表达通讯的一年成本，码表达不同套餐超过套餐部分本地主叫的计费标准，q

为移动所使用的用户

贝I」Zy；*w；+/>90%*[A+叫*（应—耳）]

i=l

以北京为例：按照品牌优势，假设月基本费为88得到“88套餐”方案。以移动

通话平均时间305分钟为例。88套餐”方案与“畅听99”套餐相比较。

minZ=%*弓+88+K*（305-%）

r2*w2+88+K*（305-%）之90%*[A+"<*（叫一g）+0.1*卬/

运用lingo程序得出结果：

Localoptimalsolutionfoundatiteration:32

Objectivevalue:96.97500

VariableValueReduced

Cost

R21.231557

0.000000

W20.000000

0.9000019E-01

K0.42000.000000

W1269.020.000000

RowSlackorSurplusDual

Price

196.97500

-1.000000

20.000000-1.000000

最后，可以得出拨打本地主叫费用计算在月基本费里面，通话时间

269.02分钟。超过套餐本地主叫基本费用为0.4200元/分钟。

增长一些短信套餐等业务，按照上述模型，可以得到类似的结论。

七模型的优缺陷

1对于评价三个套餐资费方案时使用了折合单价模型，这样可

以直观的

比较哪个方案更优惠。

在假设漫游和非漫游比重上，漫游假设的比重为04也许与实际相差

较大，以至我们算出的折合单价较高。

3.按照品牌优势，我们得到了“88套餐”的费用，只是合用打电话较少的

用户。

A参考文献

1.孙祥,徐流美,吴清,Matlab7.()版教程.北京：清华大学出版社,2023

2.姜启源等，数学建模，北京：高等教育出版社,2023

3.赵静等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社,2023

4.姚庭宝，语言及编程技巧，长沙：国防科技大学,2023

附：

1:以下是图1MATLAB编写程序

%北京月租99元通话时间x与费用y关系的图形

x=1:0.1:280;

y=99;

plot(x.y.'b')

holdon

x=280:20:2500;

y=99+0.35*(x-280);

plot(x.y.'b')

holdon

%北京月租139元通话时间x与费用y关系的图形

x=1:0.1:390;

y=139;

plot(x,y；b')

holdon

x=390:20:2500;

y=139+0.25*(x-390);

plot(x.y.'b')

holdon

%北京月租199元通话时间x与费用y关系的图形

x=l:01:10()():

y=199;

plot(x,y,'b')

holdon

x=1000:20:2500;

y=199+0.2*(x-l(XX));

plol(x,y,'b')

holdon

%北京月租299元通话时间x与费用y关系的图形

x=1:0.1:2023