2024-2025学年八年级上册数学期末考点大串讲（北师版）压轴真题必刷03 平行线和三角形内角和定理（压轴30题5种题型训练）解析版

压轴真题必刷03：平行线和三角形内角和定理

【题型归纳】

题型一：平行线的性质

1.（2022上•广东深圳•八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，ZABC=ZACB,BD,CD,AO分别平分，A8C

的内角/ABC,外角44CF,外角NE4C.以下结论：①AO〃3C；②NAC3=2Z/VM；③NBQC=gN84C；

2

@=45°-1zCD«;⑤N47）C+Z48O=90。.其中正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】根据角平分线的定义得出，"BC=2ZABD=2/DBC,ZEAC=2ZEAD,ZACF=2/DCF,根据三角

形的内侑和定理得出，ZBAC+ZABC+ZACB=180°,根据三角形外角性质得出NE4C=N48C+乙4CB,

ZACF=ZABC+ZBAC,根据己知结论逐步推理，即可判断各项.

【详解】解：①-AD平分/E4C,

.".ZEAC=2ZE4D,

•.NEAC=ZABC+ZACB,/ABC="B,

/.ZE4C=2ZABC,

AZEAD=^ABC,

:.AD//BC,故①正确;

②ADBC,

ZADB=ZDBC,

Q8O平分NA8C,NABC=ZACB,

ZABC=ZACB=2ZDBC=2^ADB,故②正确；

®-.ZDCF+ZACD+ZACB=\SO°,^ACD=ZDCF,

A2ZDCF+ZAC£?=180°,

;/BDC+/DBC=/DCF,

2ZBDC+2ZDBC+ZACB=180。，

/.ZABC+2ZBDC+ZACB=180°,

ABAC+AABC+ZACB=180°,

乙BAC=2/BDC,

.•.N8DC=g/8AC,故③正确；

④Q8D平分/ABC,

:.ZABD=/DBC,

AD\BCt

:.ZADB=ZDBC,

:.ZABD=ZADB,

CO平分NACE,

ZACF=2/DCF,

ZADB+ZCDB=ZDCF,2ZDCF+Z4CB=180°,

?.2NDCF+ZABC=2NDCF+2ZABD=180%

/.ZDCF+ZABD=90°,

/.NADB+NCDB+NADB=90°,

/.ZABD=45°--ZCDB,故④正确；

2

⑤由④得，ZDCF+ZABD=90°,

AD\BC,

ZADC=NDCF,

..ZAZX?+zL4BD=90°,故⑤正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学

生的推理能力，有一定难度.

2.(2022下•陕西西安•八年级校考期末)如图，平行四边形A8CZ)中，人8=6,47)=9,BE平分/ABC,交A。于

E,CF上BE交BE于点N,交A。于点孔作MN〃C。交AO于点M,则MN=()

【答案】D

【分析】由平行四边形的性质以及三用形内角和的性质可.得m4。，DF=DC,求得防-3,再根据MN〃8,

得到MN=gfT"即可求解.

【详解】解：平行四边形ABCQ中，AD//BC,AB//CD

,/座平分N'A6c

JZABE=NCBE

'：AD//BC

：.4CBE=ZAEB,/DFC=/BCN

AZAEB=ZABE

AE=AB=6

•：CF1BE

:、Z5NC=90°

:.ZA®C+ZA^C5=90°

•/AB//CD

・••ZABC+ZDCB=180°,即ZABE+ZNBC+ZNCB+NDCN=180。

••・ZABN+NDCF=90。，即Z/VBC+NDCN=90。

：/DCN=4BCN,

：.4DCN=4DFC

・••DF=DC=6

'：AE=6

：-AF=DE

：.EF=AE+DF-AD=3,

；MN；/CD

：.MN//CD//AB

・•・4MNE=ZABE

・•・ZMNE二/MEN

:・MN=ME

*：Z£ArF=90°

・•・AMEN+/EFN=^MNE+AMNF=90°

13

:.MN=MF=ME=—EF=-

22

故选：D

【点睛】此题考查/平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是熟练学

握相关基础性质.

3.（2022下•陕西榆林.八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，点E是边。上一点，且BC-EC,

b_L5E交于点尸，。是反延长线上一点，则下列结论：①BE平分NCBF：②C尸平分NOC8；®BC=FB；

®PF=PC.其中正确结论的有()

A.®®®B.®®④C.@®@D.①®®④

【答案】D

【分析】根据等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质即可证明①正确；根据线段垂直平分线的判定即可证

明②正确；根据平行线的性质，等角对等边即可证明③正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明④正确；即可

得出答案.

【详解】解：证明：・・・8C=EC,

:"CEB=/CBE,

四边形人58是平行四边形，

..DC//AI3,

:"CEB=NEBF,

:"CBE=/EBF,

二.BE平分NC8r,①正确；

.BC=EC,CF1BE,

zlECF=ZBCF,

.•.b平分N£)C8,②正确；

DC//AB,

:"DCF=/CFB,

・；NECF=NBCF,

:"CFB=/BCF,

:.BF=BC,

.••③正确；

;FB=BC,CF1BE,

.•.8点一定在广。的垂直平分线上，即依垂直平分"C,

:.PF=PC,故④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，正确

应用等腰三角形的性质是解题关键.

4.（2021上呐蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在ABC中，内角/8AC与外角NE8。的平分线相交于点P,

BE=BC,。在AC延长线上，PG〃AD交BC于品文AB于G，连接CP.下列结论：①NAC6=2/A尸6；②

SPAC-SPAR=AC:AB；③“尸垂直平分CE；④NPCF=NCPF；⑤G尸+R7=G4,其中正确的有（）

A

A.①②③®B.®@®©C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】D

【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式

即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；

⑤由④的结论得尸C=卬，根据平分与平行条件可得GA=GP,则可得出Gf'+RTuGA.

【详解】解：ZACB=NCBE-NCAB=2NPBE-2/PAB=2（NPBE-NPAB）=2ZAPB,

故①正确；

4尸平分/8AC,

••・。至上4。，A8的距离相等，

:•S.PAC：S.PAB=AC'AB,

故②正确；

•：BE=BC,BP平分NCBE,

・・・82垂直平分。石（三线合一），

故③正确；

丁NBAC与NC8E的平分线相交于点P,

・••点尸到AE,A。的距离相等，点P到AE,8c的距离相等，

・••点尸到AC,AO的距离相等，

.•.点。也位于N88的平分线上，

：・ZDCP=4PCB,

又：PG//AD,

・••乙CPF=4DCP,

JZPCB=ZCPF,即ZPCF=ZCPF,

故④正确；

由④得：FC=FP,

:・GF+FC=GF+FP=GP,

YAP平分N84C,PG\AD,

/.ZG4P=/CAP=NGPA,

：.GA=GP,

:.GF+FC=GA,

故⑤正确；

综上可知，①②③④⑤正确.

故选D.

【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合

运用上述知识是解题的关键.

5.(2022下•广东深圳•七年级深圳外国语学校校考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点4,E重合)，在AE

同侧分别作等边aABC和等边△ECDAO与8E交于点0,AQ与3C交于点P,座与C。交于点。连接PQ.以

下五个结论正确的是()

①AD=BE；©PQ//AE,@AP=13Q；®DE=DP；⑤408=60

A.①③⑤B.®®®©C.①②③⑤D.①②③④⑤

【答案】C

【分析】①由于△48。和^CDE是等边三角形，可知4C=8C,CD=CE,NAC8=NOCE=60。，从而证出^ACD经4BCE,

可推知AO=BE；②由△ACOg△BCE得NC8E=NOAC,力口之/ACB=NDCE=60。，AC=BC,得到ACQ8g△。以

(ASA),再根据NPCQ=60。推出△PCQ为等边三角形，乂由NPQONOCE,根据内错角相等，两直线平行，可知

②正确；③根据②△CQ80△84(ASA),可知③正确；®ZDQE=ZECQ+ZCEQ=6()°+ZCEQ,ZCDE=60°,

可知NDQ与NCOE,可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到/C8E=NOEO,

于是NAOB=/DAC+NBEC=NBEC+4DEO=/DEC=60°,nJ知⑤止确.

【详解】解：•・•等边AABC和等边△COE,

；.AC=BC,CD=CE,ZAC8=NDCE=60。，

/.ZACB+ZBCD=ZDCE+/BCD,即ZACD=NBCE,

・•・AC恒,BCECSAS),

：.AD=BE,

•••①正确，

VACD^/BCE,

，NCBE=/DAC,

又•••ZACB=ZDCE=60°,

AZBCD=60°,即ZAC尸=N3CQ,

又AC=BC,

-CQ哙CPKASA）,

:,CP=CQ,

又・・・NPa2=60。可知△PCQ为等边三角形,

:・/PQC=/DCE=6U。,

，PQ〃AE®正确，

VAC0B^ACM,

：,AP=BQ,③正确，

，：AD二BE,AP=BQt

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

■:NDQE=NECQ+/CEQ=*。+/CEQ,NCDE=60。,

/./DQE"CDE,

:•DE丰DP,故④错误；

*/ZACB=ZDCE=60%

/.N8360。，

•・,等边ADCE,

/EDC=60o=NBCD,

：.BC//DE,

/./CBE=/DEO,

/.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

•••⑤正确.

故选：C.

【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运

用.要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大.

6.（2019上•江西吉安•八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC,AD是NBAC的平分线，AE是NBAC

的外角平分线，ED〃AB交AC于点G,下列结论：①BD=DC；②AE〃BC；③AE=AG；®AG=|DE.正确的

是一（填写序号）

【答案】①②④

【分析】根据等腰三角形的性质与判定、平行线的性质分别对每一项进行分析判断即可.

【详解】解：①:△ABC中，AB=AC,AD是NBAC的平分线，

，BD=DC,

故本选项正确，

②:△ABC中，AB=AC,AD是NBAC的平分线，

AADIBC,

，AE〃BC,

故本选项正确，

③・.,AE〃BC,

，NE=NEDC,

•・・ED〃AB,

AZB=ZEDC,ZAGE=ZBAC,

AZB=ZE,

・・・NB不一定等于NBAC,

•••NE不一定等于NAGE,

/.AE不一定等于AG,

故本选项错误，

④「ED〃AB,

・・・NBAD=NADE,

VZCAD=ZBAD,

AZCAD=ZADE,

，AG=DG,

<AE〃BC,

，NEAG=NC,

•」NB=NE,NB=NC,

AZE=ZC,

，/EAG=NE,

/.AG=EG,

，AG=；DE,

故答案为：①②④

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，用到的知识点是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，关键是

熟练地运用有关性质与定理进行推理判断.

题型二：平行线判定和性质的综合

7.(2023上•河北邢台•八年级统考期末)在A8C中，延长8。到。，使CO=A8,点E是8。下方一点，连接

AE,DE,CE,RZB=ZACE=ZCDE,

(1)如图1,求证：aDCE^BAC；

⑵如图2,若NAC8=90。，将。石沿直线CD翻折得到。尸，连接CF,连接AF交CE于G,当AEcm,AFED

时，求AG的长度；

(3)如图3,若AC=BC,将OE沿直线C。翻折得到。连接C尸，连接加、交CE于G,交于H,若

DF=n'A片〃求线段C”的长度(用含〃?，〃的代数式表示).

【答案】(1)见解析

(2)4cm

⑶〃一小

【分析】(1)根据条件和/ACD=/ACE+/£〉CE=N8+/C48可得NDCE=NC48,即可证明;

(2)根据条件和.DCE丝B4C可得C4=b,进而得到CG_LAE即可求出；

(3)证明。/二。"〜〃，CD=AB=nt可得结论.

【详解】(1)证明：VZACD=ZACE+^DCE=ZB+ZCAB,

又,：NB=ZACE,

/./DCE=NCAB,

在△£)€£和8AC中，ZD=ZB,CD=AB,ZDCE=ZCAB,

・•・DCEWBAC(ASA)；

(2)解：由(1)可知，DCE/BAC

ZDEC=ZACB=900,CE=CA,由翻折变换的性质，CF=CE,

：,CA=CF,

•/AF/7ED,

：・NCGF=NCED=90。,

・・・CG_AE,

VC4=CF,

JAG=GF=-AF=4cm；

2

(3)解：由(1)可知，DCE^^BAC,

AAB=CD=n,AC=CB=EC=ED,

由翻折变换的性质可知，CE=CF=CA,

••・ZCAF=ZCFA,

丁NCDF=/CDE=NCBA,

DFAB,

，NDFH=ZFAB=^FAC+^CAB,

•：NDHF=NFCH+ZCFH,NFCH=NDCE=ZCAB,

：・ZDFH=4DHF，

・•・DF=DH=m,

：.CH=CD-DH=n-mt

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性

质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

8.(2023下•四川成都•八年级统考期末)如图，AAC3中，AC=CB,NAC8=90。，点力是BC边上一动点，将D4

绕点。逆时针旋转90。得到。尸，交AB边于点、E,连接过点。作OG平分NA。/交A4边于点G,连接

(1)求证：AG=FG；

(2)判断跖与CD的数量关系并证明；

(3)当FG〃瓦)时，若CD=1,求△ADG的面积.

【答案】(1)见解析

(2)Bb=yflCL)»证明见解析

(3)1

【分析】(1)证即可；

(2)过点〃作“垂直CA延长线于先证DFHWADC,再推理证明△灯仍是等腰直角三角形，即可得到

BF=6CD:

(3)再过点。作/)/垂直人8于/，根据已知和(1)、(2)中的结论先证AO是284C的平分线，得CO=O/=1,

再推理得到△尸“8、AFBG、△80和ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边和斜边的关系

等量代换算出AG,最后根据SADG=^AGDf计算即可.

【详解】(1)D4绕点。逆时针旋转90°得到。尸，OG平分NAOF,

:.DA=DF,ZADG=NFDG,

在△4)6和△阳G中，

DA=DF

Z.ADG=4FDG,

DG=DG

MADG且.FDG(SAS),

AG=FG

(2)如下图，过点尸作由垂直C8延长线于〃

乂D4绕点。逆时针旋转90。得到。F,

.\DF=AD,?ADF90?,

?.ZDFH+/FDH=ZADC+ZFDH=90。,

:"DFH=ZADC,

在m和AAPC中

ZDHF=/ACD

<4DFH=Z/ADC

DF=AD

1DFH乡&ADC（AAS）

:.DH=AC,HF=CD>

又AC=CB,

:.DH=CB,即BD+BH=BD+CD

：.BH=CD

:.HF=BH

乂=FHB=90。,

1"仍是等腰直角三角形，

BF=>/2BH=y/2CD

（3）如下图，再过点。作W垂直人8于/

FG//BD,AC=CB,ZACB=9OC,

:.ZFGB=NCBA=4CAB=4GFB=4FBH=45。，AFHB、AFBG、和工5c都是等腰直角三角形,

又由（I）得怂△FDG,

1800+45°

ZFGD=ZAGD=———=112.5°,

2

ZADG=45°,

ABAD=180°-45°-ll2.5°=22.5°=-N4AC,

2

二4£）是284C的平分线，

=1（角平分线上的点到角两边的距离相等），

.•.R。=0。/=应，

BF=BG=y/2CD=y/2^

:.AC=BC=BD+CD=y/2+\^

AB=6AC=2+6，

;.AG=AB-BG=2+应-6=2,

：.S.=-AGD/=-x2xl=l.

•八wx22

【点睛】本题考查了全等三角形的证明、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，画出图象、推理证明是解题的

关键.

9.（2017上•陕西西安•八年级校考期末）如图1,直线与直线AB、CD分别交于点E、F,NI与/2互补.

（1）试判断直线48与直线C。的位置关系，并说明理由;

⑵如图2,4即与/日7）的角平分线交于点P,样与8交于点G,点”是MN上一点，且GH1EG,求证:

PF//GH,

（3）如图3,在（2）的条件下，连接M，K是GH上一点使/PHK=/HPK,作PQ平分NEPK,问NHPQ的大小

是否发生变化？若不变，请直接写出其值.

【答案】（1）人38；见解析

（2）见解析

（3）/HPQ的大小不会发生变化，其值为45。，见解析

【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知NAEE+NCFE=180°,进而可证A8CD.

（2）利用（1）中平行线的性质推知/3历+/£7「。=180。，然后根据角平分线的定义、三角形内角和定理证得

NET年'=90。，结合GH1EG,可证PF〃G〃；

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得NKPG=90。-NPKG=90。-2N/7PK；再由邻补角的定义、角

平分线的定义推得NQPK=：NEPK=45O+/HPK,然后由图形中角与角的和差关系求得N”PQ=45。即可.

【详解】（1）如图1,・・・/1与N2互补，

・•・Zl+Z2=180°.

XVZ1=ZAEF,/2=NCFE,

AZA£F+ZCFF=180°,

工ABCD；

（2）如图2,由（1）知，A3CD,

・•・ZB£F+ZEFD=180°.

又：4所与N/D的角平分线交于点P,

・•・NFEP+NEFP=g（/BEF+NEFD）=90°,

：.ZEPF=90°,即EG_LPr.

'：GHLEG,

，PF//GH；

(3)/"PQ的大小不会发生变化，其值为45。理，由如下:

4PHK=4HPK

/PKG=24HPK

'：GHLEG

••・NKPG=180°—90。一NPKG=90。一2N”/,K

，/EPK=180°-NKPG=9()°+2/HPK

•••〃。平分/EPK

：.NQPK=gNEPK=45°+ZHPK

NHPQ=NQPK-/HPK=45°

•••/"PQ的大小不会发生变化，其值为45。.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定是由

先的数量关系判断两百线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

10.（2023上•四川达州•八年级统考期末）如图I,G,E是直线A4上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与

过点上的直线叱交于点儿直线PE交直线CD于点”，满足点E在线段P“上，/PGB=/PHD—/P.

图2备用图

（2）如图2,点。在直线44,C。之间,PH平分@D,GF平分4PGB,点、F,G,。在同一直线上，且

2NQ+/〃=120。，求的度数;

⑶在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线交直线/W于点N,点N在点6左侧，请直接写出/MN8

和/PHM的数量关系.（题中所有角都是大于0。且小于180。的角）

【答案】（1）见解析

(2)160°

(3)点N在点R左侧，NMNB和NPHM的数量关系是/MNB+NPHM=100。或4MNB—4PHM=8/或

【分析】（1）根据三角形外角性质得到=即可判定AB〃CD：

（2）过点Q作QK〃AG,则NGQK=NEG〃，由角平分线的定义可知，LPGB=2/EGF=24iQK,£QHD=EHD；

由NPGB+NP=/PHD,得/QHD="PHD=2/PGB+2/P=4NGQK+2/P,由2NGQ"+NP=120。，可得

2/GQK+2/HQK+/P=120°,对两式进行整理可得结论；

（3）根据点M和点N的位置不同，分三种情况讨论即可.

【详解】（1）解：证明：/PGB=NPHD-/P,“GB+/P=NPEB,

:.NPEB=NPHD,

:、ABUCD、

（2）过点。作QK〃AB,如图，

则NGQK=4EGF,

由(1)知：AB//CD,

QK//CD,

:.ZHQK=ZCHQ,

NGQH=NGQK+NHQK

=HEGF+^CHQ,

.G/平分/PG8,

/.4PGB=2/EGF=2NGQK,

QPH平分NQHD,

/QHD=2/PHD,

4PGB+ZP=4PHD,

：./QHD=24PHD=2乙PGB+2N〃=44GQK+2/〃，

2NGQH+NP=12伊,

2NGQK+24HQK+ZP=120°,

/.24GQK+ZP=120°-2/HQK=120°-2乙QHC,

4QHD=4NGQK+2/尸=2(1200-2/QHC)=240°-4/QHC,

/QHC=180。-/QHD,

/QHD=240°-4(180°-NQHD),

解得NQ/m=16(r；

即NQH。的度数为160。；

(3)在(2)的条件下，若点M是直线FG上•点，直线交直线于点N,点N在点力左侧，沙1NB和

的数最关系是/MNB+NPHM=T(X)°或ZMNB—/PHM=80°或NMNB+NPHM=8b,理由如下：

在(2)的条件下，NPHD=；NQHD=80°,

AB/；CD,

:./HEN=/PHD=W,

4MNB+4PHM+ZHEN=18伊,

ZMNB+/PHM=180°-/HEN=1(X)0

若点、M在PGI'.,

AB//CD,

...N/ffiV=//W=80°,

ZMNB=ZPHM+ZHENf

:.AMNB-/PHM=ZHEN=W；

若点用在GP的延长线上，

HD

AB//CD,

;.NHEN+NPHD=l&r,

：.=180°—乙PHD=100",

^HME+Z.PHM+ZHEN=180°,ZMNB=/HNE,

Z2MNB+/PHM=18O0-Z7/EV=80°.

综上所述，点N在点3左侧，NMN3和的数量关系是NMV3+NP”M=100°或ZAA®-N阳M=80°或

/MNB-4PHM=&)°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质.解题过程中，注意“数形结合”、

“分类讨论”数学思想的运用.

11.（2023下•河北石家庄•七年级石家主市第二H••一中学校考期中）如图1,直线A8〃CO,直线E尸与AB,。。分

别交于点G,H,NEHD=a.将一个直角三角板丽按如图1所示放置，使点N,M分别在直线48,CO上，且

在点G,”的右侧，已知NPMN=60°.

（1）若//扒m=1（乂）。，则/尸的度数为二

Q)若/ANM=/EHM+/PMN,对〃所说明理由;

（3）如图2,已知NMNG的平分线NO交直线C。于点O.

①当NO〃EF,PW〃即时，求。的值;

②现将三角板PAW保持〃斯，并沿直线8向左平移,在平移的过程中，直接写出NMON的度数（用含。的

代数式表示）.

【答案】（1）40°

（2）见解析

(3)@a=60°；②NM0V的度数为30。+?或60。-5a

【分析】（1）根据平行线的性质，得出NNMD=/4NM=100。，根据NPMN=60。，求出结果即可；

（2）根据平行线的性质，得出NNMD=NANM,结合J知条件得出,最后根据平行线的判定得出

结论即可；

（3）①根据M9〃E/LPM//EF,得出NO〃PM,根据平行线的性质得出NOVM=ZPM?V=6（r,根据角平分线

的定义，得出NANO=NONM=60。，根据A8〃C£）,NNOM=NANO=60。，根据NO〃即，得出

ZEHD-ZNOM-60。即可得出答案：

②分两种情况：当N在点G的右侧，当点N在G点的左侧，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】(1)解：VAB//CD,ZAW=100°,

/.小MD==100°,

•.*NPMN=6()。，

,ZPMD=4NMD—4PMN=40°；

故答案为：40°.

(2)记明：VAB//CD,

，ANMD=ZANM,

•/zLNMD=ZPMN+ZPMD,

/.ZANM=4PMN+乙PMD,

ZANM=/EHM+/PMN，

:・"MD=NEHM,

:.PM〃EP:

(3)解：①♦:NO〃EF,PM//EV,

:.NO；/PM,

：,4ONM=/PMN=dr,

,:NO平分4MNG,

/.ZA/VO=ZOW=60°,

•・•AB/!CD,

・•・/NOM=Z4M9=60。，

•：NO//EF,

/./即£>=Z7VOM=60。，

即a=60。：

②当N在点G的右侧时，如图所示：

：・4PMD=/EHD=a,

：./NMD=々PMN+/PMD=60°-w,

■:AB//CD,

：,ZGNM=ZNMD=60°-Hz，

NO平分NMNG,

・,.NGNO=』NGNM=300+LI,

22

•「AB//CD,

:.NMON=4GN0=300+*；

当点N在G点的左侧时，如图所示:

••・4PMD=/EHD=a,

：・4NMD=4PMN+/PMD=(^Pri,

VAB/fCD,

J/GNM+/NMD=T80。,

，NGMW=180°—60°Y=120°-a,

,：NO平•分4MNG,

AZGNO=-ZGNM=60°--^,

22

*/AB//CD,

：.4M0N=NGNO=60。g；

综上分析可知，NMQV的度数为30。+：。或60，ga.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行公理的应用，解题的关键是数形结合，画出相应的

图形，并注意分类讨论.

12.(2018下•湖南张家界•七年级校联考期末)问题情境：

PE//AB,请你接着完成解答

(2)如图3,AO〃8C,点P在射线O例上运动，当点P在4、A两点之间运动时，^ADP=Za,£BCP="试

判断N。。、Na、N/之间有何数量关系？（提示：过点尸作PE〃4。），请说明理由：

⑶在（2）的条件下，如果点尸在A、8两点外侧运动M（点尸与点A、6、O三点不重合），请你猜想NCFD、Na、邛

之间的数量关系.

【答案】（1）见解析

（2）NCPO=Na+〃，理由见解析

⑶当。在曲延长线时，ZCPD=ZZ?-Za；当P在8。之间时，ZCPD=Za-ZZ7.理由见解析

【分析】（1）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到同旁内角互补的关系，直接求解；

（2）作出平行的辅助线，根据平行线的性质和判定得到内错角相等的关系，直接求解；

（3）分类讨论尸点的位置，同（1）（2）可证角度的数量关系，直接求解.

【详解】（1）过P作

•・,AB//CD,

，AB/!CD//PE,

・•・ZAPE=\80°-NA=50°,NCPE=180°-ZC=60°,

/.ZAPC=50o+60o=lI0°；

（2）£CPD=Na+",理由如下：

如图3,过户作交

VAD//BC,

：,PE//AD//BC,

：.Za=ZDPE,4/3=乙CPE、

：,/CPD=/DPE+4CPE=Na+；

图3

（3）当。在84延长线时，NCPD=N，-Na；

如图4,过P作庄〃AO交。。于E,

丁AD/7BC,

/.PE//AD//BC,

：.Na=NDPE,N£=XCPE,

・•・乙CPD=Z.CPE-ZDPE=-Na；

当P在3。之间时，ZCPD=Za-Z/?.

理由：如图5,过尸作PE〃AD交C。于E,

■:AD//BC,

：.PE//AD//BC,

：./a=/DPE,〃=NCPE,

J.Z.CPD=ZDPE-Z.CPE=Za-Z/7.

【点睛】此题考查平行线的性质和判定，解题关键是平行线的判定为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同

旁内角互补；两直线平行，同位角相等.

题型三：三角形内角和定理

13.（2022上•浙江杭州•八年级翠苑中学校联考期中）如图，48c中，BF、Cb分别平分N48C和/AC8,过点尸

作交A8于点O,交AC于点E,那么下列结论：

①NDFB=/DBF；②二£FC为等腰三角形；③VAOE的周长等于△8%1的周长；④/8FC=90其中正

确的是（）

A.①②B.①③C.®@®D.①②③④

【答案】C

【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出NOB尸=/。/B；②同理不得②的结论；③

用特殊值法，当A6C为等边三角形时，连接AF,根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便

可得出8b==进而得8/+B>AC,便可得出；VAOE的周长不等于△BW的周长；④利用两次三角形

的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的/8FC和/刖C之间的关系式.

【详解】解：①・・・M是NABC的角平分线，

:・ZABF=NCBF,

又DE//BC,

:.ZCBF=ZDFB,

：.ZDFB=ZDBF.故①正确：

②同理NEB=NEFC,

:.EF=EC,

.工瓦C为等腰三角形故②正确；

③假设ABC为等边三角形,贝IJAB=A8=BC,如图，连接人尸，

■:QBF=/DFB,4ECF=/EFC,

..BD-DF,EF-EC,

「.VAOE的周长=AD+OF+£F+/£>+8D+A£+EC=AB+AC,

•・•广是乙48GNAC8的平分线的交点，

，第三条平分线必过其点，即■平分/84C,

•・•:ABC为等边三角形,

•••ZE4C=ZBC4=ZABC=60°,

ZFAB=ZFBA=ZFAC=ZFCA=30°,

:.FA=FB=FC,

QFA+FOAC,

:.FB+FC>ACt

FB+FC+BC>BC+AC,

FB+FC+BC>AB+ACf

即48尸。的周K>V4)E的周长，故③错误；

④在A8C中，N8AC+ZA8C+ZAC8=180。(1),

在ABFC中，/BFC+/FBC+/FCB=T80°,

即N8FC+'/48C+』NAa=180。：2),

22

(2)x2-。)得N8尸C=90+；/A,故④正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔

细解答,尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法.

14.(21)22上•湖北武汉•八年级统考期末)如图.中，/C4A=/C/M=4X。，点。为AAAC内一点，/CAR

=12°,ZOBC=\^°,则NAC0+NA08=()

【答案】D

【分析】作CO_L48干点。，延长4。交C。于点P,连接AP.由题意可求出N/WP=Z/WC—NO3C=30。.由所

作辅助线可判断CO为A8的垂直平分线，即得出R4二相，从而得出4P=NABP=30。，进而可求出

ZCAP=ZCAB-ABAP=18°.由图易求出40)=90。-NC4O=42。，由三角形外角性质可求出

^AOP=ZOAB+ZOBA=42°,即NAOP=NAC尸=42。.再根据NQ4P=N84P-NB4O=18。，即得出

NC4尸=/。4F=18°,从而可证明一6尸三”MP(ASA),即得出AC=AO.由等腰三角形的性质和三角形内角和定理

可求出NACO的值，再根据三角形内角和定理可求出NAO8的值，相加即可.

【详解】如图，作CO_LA8于点。，延长60交COF点P,连接AP.

由题意可求出N45P=NA5C—NO5C=30°,

,?ZC4B=ZCBA,

：,CA=CB.

VCD1AB,

二.CD为A8的垂直平分线，

/.PA=PB,

/.ZBAP=Z4BP=30°,

/.ZC4P=ZC4B-ZBAP=18°,

•.*ZACD=90°-ZCAD=42°,ZAOP=ZOAB+NOBA=42°,

・•・ZAOP=ZACP=42°.

,/ZOAP=/BAP-ZBAO=18°,

，ZCAP=ZOAP=\S0.

又：AP=AP,

A^CAP^OAP(ASA),

：,AC=AO.

•・•ZCAO=ZCAB-ZBAO=36°,

・•・NACO=Z4OC=g(180—NC40)=72。.

•・•ZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=138°,

/.ZACO+ZAOB=72o+138o=210°

故选D.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形

全等的判定和性质，综合性强，较难.正确做出辅助线是解题关键.

15.(2020上•辽宁葫芦岛•八年级统考期末)如图，△ABC中，AD1BC交BC于D,AE平分NB4C交BC于E,F

为8C的延长线上一点，/GJ_4E交AD的延长线于G,AC的延长线交尸G于〃，连接8G,下列垢论：①NDAE=

ZF；②2ND4E=/A8O—NACE；®S^AEB：SAAEC=AB：AC；®ZAGH=ZBAE+ZACB.其中正确的结论有

()个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到ND4斤NF；②根据角平分线的定义得NE4C=gN84C,由三角

形的内角和定理得ND4E=9()o-NAE。，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S^AEB：S^EC=AB：CA-,

④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到N4G〃=NBAE+N4cB.

【详解】解：如图，AE交G/于M,

①・・・AZ)J_BC,FG1AE,

JZ4DE=Z4MF=90°,

*//AED=/MEF,

•••NOgNB故①正确；

②TAE平分N84C交8C于E,

：.ZEAC=^ZBAC,

ZDAE=900-ZAED

=900-(ZACE+ZE4C)

=90。-(NACE+g/BAC)

=：(1800-2NACE-NBAC)

二(^ABD-ZACE),

：,2ZDAE=ZABD-NACE；

故②正确；

③TAE平分N/MC交BC于£,

・•・点七到AB和AC的距离相等，

：.SAAEB：SAAEC=AB：CA；故③正确，

④•・•/DAE=/F,ZFDG=ZFME=90°,

•••NAGH二/MEF,

*/NME尸=NC4E+NACB,

・•・ZAGH=ZCAE+ZACBt

AZAGH=ZBAE+ZACB；故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的定义知性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的

识别图形是解题的关键.

16.(2021上•湖北孝感•八年级校考期末)如图，AC=BC,ZACB=90°,平分NZMC,BFLAE,交AC的延长

线于点F,且垂足为E,下面的结论：①AD=BF；②8F;AF：③AC-CKAB：@AB=BF；⑤4D=2B£其中正确的

是（）

A.①②③B.①③⑤C.②®④D.②④⑤

【答案】B

【分析】根据NAC8=90°,BFLAE,得出N4CB=NBE/）=NBb=9O°,推出/产二乙4。。，证MbwAAS,根据

全等三角形的性质即可判断①②；假如AC+CD=A8,求出“+〃7?C=90。，即可判断③©,证根据全等三角形的

判定4sA得出="E4,推出8E=£F,即可判断⑤.

【详解】解：•.NAC8=90。，I3F±AE,

ZACB=/BED=ZBCF=90°,

:./F+乙FBC=90"ZBDE+NFBC=9O>,

:"F=/BDE,

ZBDE=ZADC,

ZF=ZADC,

AC=BC,

:.A8CF=AACD,

.•.AO=A/，，①正确;

AF>AD,

.•.加>.4尸②错误；

A^CFsMCD,

：.CD=CF,

AC+CD=AF,

:.CD=CF,

：.AC+CD=AF,

4E平分N84C,

.\ZBAE=ZFAE.

BFLAE,

:.ZAEB=ZAEF=90Q,

AE=AE,

A£*(ASA),

:.AB=AF,

AC+CD=AB.

・••③正确；

BF=AC,AC<AF=ABf

AB>BFf

，④错误;

由MC厂三AACQ,

：.AD=BF,

AE平分AE1BF,

.•.4E4=/FE4=90°,ZBAE=ZFAE

AE=.4E,/.AflE4=AAE4,

:.BE=EF,

⑤正确；

故答案为：①③⑤.

FCA

故选：B.

【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，垂线，等腰三角形的

性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是证此题的关键.

17.（2。18下•湖北黄冈•七年级阶段练习）如图，AB工BC,AE平分/BAD交BC于点、E,AE1DE,Nl+N2=90。，

何，N分别是B4,C。延长线上的点，ZEW和NEQN的平分线交于点P.下列结论：①AR//CD：②

NA£8+NAPC=180。；③OE平分N4DC：④/r为定值.其中正确的有（）

MM

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】先根据4BJ_8C,AE平分/BAD交BC于点E,AE1DE,ZI+Z2=90°,NE4M和NEZW的平分线交于

点F,由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论.

【详解】解：AE±DE,

・・・N1+NA£8=9O°,ZDEC+ZAEB=90°,

:.—DEC,

又•••Nl+N2=90。，

••・NDEC+N2=90。,

/.ZC=90°,

/.ZB+ZC=180°,

：.AB//CDf故①正确；

J/ADN二/BAD,

'：NADC+NADN=180。,

，NB/1Q+N4OC=180°,

又：ZAEB丰/BAD,

AAEB-ZADC#180°,故②错误；

VZ4+Z3=90°,Z2+Zl=90°,而N3=N1,

/.Z2=Z4,

•••EO平分NA。。，故③正确；

VZ1+Z2=9O°,

JZEAM+ZED/V=3600-90o=270°.

VZEAM和/EDN的平分线交于点F,

・•・ZEAF+ZEDF=x270°=135°.

9：AEA.DE,

：.Z3+Z4=90°,

/.ZMD+ZFDA=135°-90°=45°,

/.ZF=180°-(XFAD+ZEDA)=180-45°=135°,故④正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平:分线的计算，熟知三

角形的内角和等于180。是解答此题的关键.

18.（2020上•黑龙江齐齐哈尔•八年级统考期中）如图，已知△ABC中，AB=6,BC=5,AC=4,ZABC,ZACB

的平分线相交于点F,过点F作DE〃BC,交AB于点D,交AC于点E,连AF,则下列结论：®DE=BD+CE；

②NBFC=90°+g/ABC；③4ADE的周长为10；®SAABF：SAACF：SABCF=6：4：5.正确的是()

A.①③④B.①②③C.①@③④D.②③④

【答案】A

【分析】根据角平分线的定义得出NDBF=NCBF,ZECF=ZBCF,根据平行线的性质得出NDFB=NCBF,ZEFC

=ZBCF,求出/DFB=NDBF,ZEFC=ZECF,根据等腰三角形的判定得出BD=DF,CE=FE,即可判断①；

根据角分线的定义得出NFBC=g/ABC,=根据三角形的内角和定理得出NA8C+NACB=18OV

-ZBAC,求出NFBC+NFCB=90。-J/BAC,根据三角形的内角和定理求出NBFC=180。-(ZFBC+ZFCB)

2

=90°+^ZBAC,即可判断②；求出DE=BD+CE,求出△ADE的周长=AB+AC,即可判断③；过F作FMJ_AB

于M,FN_LBC于N,FQJ_AC于Q,求出FM=FN=FQ,根据三角形的面积即可判断④.

【详解】解：・・・/ABC,/ACB的平分线相交于点F,

••・NDBF=/CBF,NECF=/BCF,

•・・DE〃BC,

・・・NDFB=NCBF,ZEFC=ZBCF,

AZDFB=ZDBF,ZEFC=ZECF,

，BD=DF,CE=FE,

ADE=DF+EF=BD+CE,故①正确；

VZABC,NACB的平分线相交于点F,

AZFBC=yZABC,NFCB=；NACB,

VZABC+ZACB=180°-ZBAC,

AZFBC+ZFCB

=；(ZABC+ZACB)

=；(180°-ZBAC)

=90°-yZBAC,

AZBFC=180°-(ZFBC+ZFCB)

=180°-(90°-^-ZBAC)

=90°+yZBAC,故②错误；

VBD=DF,CE=FE,

，DE=DF+EF=BD+CE,

VAB=6,AC=4,

AAADE