2023年浙江省杭州求是高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在空间直角坐标系。一勾，z中，四面体OA3C各顶点坐标分别为：

。(0,0,0),40,0,2),假设蚂蚁窝在。点，一只蚂蚁从。点出发，需要在AB,AC上

分别任意选择一点留下信息，然后再返回。点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()

A.2夜B,711-721C.飞5+后D・2>/3

2.某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人,

且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有()种

A.240B.320C.180D.120

3.设集合A={x|x>0},B={x|log2(3x-1)<2},则().

(5B.An8=(0,；

A.0,-

l3

C.=D.AU8=(0,+8)

4.函数y=/(x)满足对任意XER都有/(X+2)=/(T)成立，且函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称,

/⑴=4,则〃2016)+/(2017)+〃2018)的值为()

A.0B.2C.4D.1

5.已知将函数/(x)=sin(@x+。)(0<G<6,—3<e<3)的图象向右平移g个单位长度后得到函数g。)的图

TT

象，若/(X)和g(X)的图象都关于工二:对称，则①的值为()

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

21

6.已知实数。满足〃+45,则一+；—的最小值为()

ab-\

A3+2加口3+4&「3+2&「3+4衣

4466

7.已知直线），=北（x-1）与抛物线C：V=4x交于A,B两点，直线j，=2A（x-2）与抛物线O：>，2=品交于〃，N

两点，设7=H3|-2|,WV|,贝IJ（）

A./><-16B.2=-16C.-12V2V0D.z=-12

8.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各

级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格

检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都

要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（）

A.12种B.24种C.36种D.72种

9.若直线2x+y+6=（）与圆/+2工+）产—2），-3二0相交所得弦长为26，则〃，=（）

A.1B.2C.75D.3

10.设集合M={邓vxW2},N={Hxva},若McN=M,则a的取值范围是（）

A.（-oo,l）B.C.（2,4-00）D.[2,+oo）

11.如图，在四边形A4co中，AB=\,BC=3,ZABC=120°,NACD=90。，NCD4=60。，则30的长度

为（）

A*

A.----B.2也

3

D.述

c.3x/3

12.已知尸是双曲线C:"2+）,2=4|k|a为常数）的一个焦点，则点尸到双曲线。的一条渐近线的距离为（）

A.2kB.4kC.4D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（幻二cosx-五在[。,+8）的零点个数为.

14.若非零向量万满足«,@二看，M卜6B十万卜近，则忸=.

15.己知实数X、y满足yW2x-l,且可行域表示的区域为三角形，则实数〃的取值范围为,若目标函数

x+y<m

2二工一7的最小值为・1,则实数〃?等于.

16.已知点P是椭圆二+与=1(。>力〉0)上一点，过点P的一条直线与圆/+)，2=/+/相交于A3两点，若存

a"b"

在点尸，使得|24|♦|23|="一/，则椭圆的离心率取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(幻=卜-。|(〃£/?).

(1)当。=2时，若/")+|3为一212M恒成立，求M的最大值；

⑵记闫21+1|-注-1|的解集为集合4,若1A,求实数。的取值范围.

18.(12分)已知椭圆C：£+/=1(。〉〃>0)的离心率为半，右焦点为抛物线y2=4x的焦点厂.

(1)求椭圆C的标准方程；

4

(2)。为坐标原点，过。作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为-不，求证：^MON

*-

的面积为定值.

19.(12分)如图(D五边形48CZ)E中，ED=EA,ABIICD,CD=2AB,

NEOC=150,将AEW沿AO折到A/W)的位置，得到四棱锥P-A3CQ,如图(2),点"为线段PC的中点，

且平面PCD.

(1)求证：平面Q4£>J_平面A8CO；

(2)若直线PCA8与所成角的正切值为I，求直线与平面所成角的正弦值.

2

20.（12分）已知数列｛%｝和｛〃〃｝满足，4=2,4=1,a“+i=2a,"wN*）,

b,H—b,T—aH---1—b—b.—\(HEN

23n'

(I)求凡与2；

——，〃为奇数，

（II）记数列｛c〃｝的前〃项和为7.，且q=<”「2,若对〃£N“，4”2AA恒成立，求正整数Z的值.

-〃为偶数，

为

21.(12分)己知函数/(x)=、+〃3+21nx,inGR.

（1）讨论函数/（X）的单调性；

（2）已知/（“在X=1处的切线与y轴垂直，若方程〃力=，有三个实数解*、%、七（七<工2<刍），求证：

%1+2>x3.

22.（10分）在等比数列｛4｝中，已知4=1,4=：.设数列也｝的前〃项和为3,且々=-1,

82

（.n>2,7?GN*）.

（1）求数列｛《J的通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）是否存在等差数列｛%｝,使得对任意〃都有S〃Vq,Wq?若存在，求出所有符合题意的等差数列｛%｝；

若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

将四面体Q4BC沿着。4劈开，展开后最短路径就是八4。0的边O。'，在中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

将四面体。49C沿着04劈开，展开后如下图所示;

O'

最短路径就是的边OO'.

易求得/OAB=ZOrAC=30°，

由AO=2,0B上道知AB=±C

33

AC，百，BC=yj0B2-}-0C2=->/6

33

A6?十AC2一旌2

ncosZBAC=

2ABAC

16168

__4-__——

:333=3

44

2x4

由余弦定理知OO'?=40?+AO,2-2AO•AOf-cosNOAO'

其中AO=AO=2,cosZOAO,=cos(60°+ABAC)=一产

•*-OO,2=5+V21,=OO'=J5+历

故选：C

【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

2.C

【解析】

在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得

出结果.

【详解】

两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4,

又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为#-1J8=18O.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.

3.D

【解析】

根据题意，求出集合A,进而求出集合AIJB和分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，^={x|log2(3x-l)<2}=p||<x<|j>

则A5=(0,AcB=

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目，

4.C

【解析】

根据函数y=/(x—1)的图象关于点(1,0)对称可得/(x)为奇函数，结合/(x+2)=〃—x)可得/(x)是周期为4

的周期函数，利用f(0)=0及/(1)=4可得所求的值.

【详解】

因为函数y=/(%一1)的图象关于点(1,0)对称，所以y=/(x)的图象关于原点对称，

所以/(“为R上的奇函数.

由/(%+2)=」(一力可得)(％+2)=-/(力,故山+4)-2)=。(力,

故/(五)是周期为4的周期函数.

因为2016=4x504,2017=4x504+1,2018=4x504+2,

所以/(2016)+〃2017)+〃2018)=〃0)+〃1)+〃2)=4+〃2).

因为/(X+2)=/(T),故〃0+2)=〃-0)=-〃0)=0,

所以7(2016)+,“2017)十〃2018)=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函数/（x）满足/（丹。）=一/（"（。工0）,那么/（工）是周期

为2。的周期函数，本题属于中档题.

5.B

【解析】

因为将函数/（x）=sin（ox+e）（0<6><6,一5<。<?）的图象向右平移;个单位长度后得到函数g（x）的图象,

可得ga)=sin[dx一71

+(p=sinCOX---co+(p,结合已知，即可求得答案.

3>

【详解】

•.•将函数/a）=sin（公（0<^<6,—g<9<g）的图象向右平移9个单位长度后得到函数gG）的图象

71

g(x)=sincox—+。=sincox—co+(p,

\3J\3J

又•"3和小）的图象都关于户；对称‘

71,71

—CD±(p=k[兀十一

12(人儿wZ),

/.由、

7171.乃'~

-(O--CO+(p=k27T+—

得=（尤一区）万,（K，&wZ）,

即°=3（匕一为）（匕,eeZ）,

又<0<69<6,

。=3,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6.A

【解析】

21I21

所求一+「的分母特征，利用々+Q5变形构造。+(〃-1)=4,再等价变形:(一+「)[。+(〃-1)],利用基本不

ab-14ab-\

等式求最值.

【详解】

解：因为。>0/>1满足a+Q5,

11

-3>3+2

4--4-

当且仅当2("一。=，一时取等号,

ab-\

故选：A.

【点睛】

本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的

技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的

定值为目标⑶拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

7.D

【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得|A同=4+，，|A8|=4+，，然后计算，可得结果.

【详解】

联立，nk2x2-(2/+4卜+尸=0

y=4x

242+434

则niI司+七==2+至

KK

因为直线丁=刈X-1)经过C的焦点,

4

所以|A5|=x+毛+P=4+m.

K

2

同理可得|MN|=8+%y,

所以2=4-16=-12

故选：D.

【点睛】

本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

8.C

【解析】

先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有用种

方法，由分步原理可知共有CM；种.

【详解】

不同分酝方法总数为C：A；=36种.

故选：C

【点睛】

此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.

9.A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆/+21+产一2）,一3二0的标准方程（九+1）2+（），-1）2=5,圆心坐标为（一11）,半径为石,因为直线2工+），+m=0

与圆/+2工+/-2>一3=0相交所得弦长为2后,所以直线2工+），+根=0过圆心,得2、（-1）+1+,〃=0,即机=1.

故选：A

【点睛】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

10.C

【解析】

由McN=M得出M工N,利用集合的包含关系可得出实数。的取值范围.

【详解】

=（x|l<x<2},

\'MN=[x\x<a]AMryN=Mt:.a>2.

因此，实数a的取值范围是（2,+8）.

故选：C

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.

11.D

【解析】

设NAC3=a,在AA3C中，由余弦定理得AC?=10-6COS12()O=13，从而求得CO,再由由正弦定理得

ABAC

,求得sina,然后在ABC。中，用余弦定理求解.

sinasin120°

【详解】

设NA。-a,在AABC中，由余弦定理得AC?=]o_6cosl20。=13,

则AC=>/万，从而CD=

Al)AC,即sina=W=,

由正弦定理得二一

sinasin120°2V13

_73

从而8S/8。£）=85（90。+0）=一5皿二=—,

2V13

13G49

在MC。中，由余弦定理得：BD1=9+—+2x3x

3

则皿苧

故选：D

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

12.D

【解析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

v22

当攵之0时，等式如2+),2=41&|不是双曲线的方程；当k<0时,如2+),2=41&|=-42,可化为-2--―=1，可得虚

-4k4

半轴长〃=2,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【点睛】

本题考杳双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

本问题转化为曲线y=cosx,y=五。£[0,+8））交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数

y=cosx,），=&Cre[0,+8））的图象，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】

问题函数/（X）=COSX-五在0+8）的零点个数，可以转化为曲线y=COSX,），=五（工£[0,+8））交点个数问题.

在同一直角坐标系内，画出函数y=cosx,y=JI（X£[0,+8））的图象，如下图所示：

故答案为：1

【点睛】

本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.

14.1

【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出4=0,解方程即可得出答案.

【详解】

•/d+b=yj（a+b）2=+2d'b+b=V7

〃~+2xGxcos工xb+3=7,BP|Z?|2+31Z?|-4=0

6

解得151=1或|B|=-4（舍）

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

15.m>2m=5

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z=x-y的最小值，利用数形结合即可得到

结论.

【详解】

作出可行域如图，

则要为三角形需满足8（1,1）在直线=下方，BPl+l</n,m>2；

目标函数可视为）'=柒-z,则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，

该直线截距最大在过点4时，此时

直线%:y=x+L与A3：丁=2工-1的交点为4（2,3）,

该点也在直线AC：x+y=6上，故加=2+3=5,

故答案为：/??>2；m=5.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属

于基础题.

⑻阳

L2J

【解析】

设尸（七，）’0），设出直线A笈的参数方程，利用参数的几何意义可得IPAIIPBk,1"],由题意得到。2.2/，据此求

得离心率的取值范围.

【详解】

/、[x=An+1cosa

设P5,为),直线的参数方程为.，〃为参数)

[)，=.%+/sina

代入圆x2+y2=a2+h2,

化简得：*+2(Mcosa+%sina)r+W+)一/一从=。，

.1PAIIPB1=,闯=忖+>o-a2-b2\=a2+〃—(片+)片)，

•・•#+#G[Z?2,6/2],

.■.|必|「印4铲,/],

•・•存在点P,使得|PAPPB|=〃2一火

:.a2-b2..b2,即/..2〃，

/.心2c2,

21

..€…-1

2

——<e<\»

2

故答案为：[告,1)

【点睛】

本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4「5一

17.(1)一；(2)-1,-

3L2」

【解析】

(1)当〃=2时，由题意得到|x-2|+|3x-2|ZM,令g(x)=|x-2|+|3x-2],分类讨论求得函数的最小值，即可求

得M的最大值.

(2)由XE时，不等式/。闫2]+1|-|2.1-1|恒成立，转化为x—2WaWx+2在XE上恒成立，得到

Cv-2)m£X<67<(x+2)min,即可求解.

【详解】

(1)由题意，当4=2时，由,f(x)+|3x-2|NM,可得归一2|十段-2|之"，

令g(x)=|x-2|+|3x-2],则只需且让濡之“，

2

当x<一时，j?(x)=4-4x；

3

2

当至二无«2时，g(x)=2x：

当x>2时，g(x)=4x-4；

244

故当x=§时，晨冷取得最小值即M的最大值为

(2)依题意，当六pl时，不等式/。闫21+1卜|2]-1|恒成立，

即|x-a|+|2x-l区|2x+1|在xe-,1上恒成立，

所以|X—4+2X-1W2X+1,即|x—4工2,即一2Wx-a42,

解得x-2WaWx+2在工£上恒成立，

则(x—2)皿Kq“x+2)mm，所以一1三。工|,

所示实数〃的取值范围是一1，(.

【点睛】

本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理

与计算能力.

22

18.(1)—+^=1；(2)见解析

54

【解析】

(1)由条件可得C=l,再根据离心率可求得则可得椭圆方程；

(2)当MN与x轴垂直时，设直线A/N的方程为：x=«—后v/v石」=0),与椭圆联立求得",N的坐标，通

过OM、QV斜率之积为-：列方程可得/的值，进而可得/XMON的面积；当MN与无轴不垂直时，设

N(w，%)，/WN的方程为)，="+〃7,与椭圆方程联立，利用韦达定理和。M、QN斜率之积为-5可得

2〃/=5^+4,再利用弦长公式求出MN,以及。到MN的距离，通过二角形的面积公式求解.

【详解】

(1)抛物线,尸=41的焦点为产(1,0),

.*.<?=1,

6cV5

•/e-——，..—=——，

5a5

/?—2,

22

•••椭圆方程为工+工=1;

54

(2)(i)当MN与x轴垂直时，设直线MV的方程为：x=/(-石v/v石,/。0)

45T24

5V5

解得：/、==5,

2

(ii)当的V与x轴不垂直时，设M(x，y),NCq,%)，MV的方程为广如+相

y=kx+m

由。:1=>(4+5公卜2+1。5a+5*—20=0,

54

由A>0n5攵2+4>1①

10h〃5疗-20

X,+X^=---—―Y,X.-X,=------7

4+5公124+5公

4

k°M&QV=

5

"I,

•7y%+4中2=。

Xx25

即（5公+4）%•占+5〃戊（％+占）+5〃，=0

5〃/-2010km、

.•.（5攵2+4〉+5tnk-+5m2=0

4+5A?4+5/,

整理得：2>=55+4

代入①得：加工0

\MN\=Jl+公］（耳+/）2-4芭工2

’5〃/一2（）、

I4+5乙

,\m\

0到MN的距离d=—

Jl+二

-S^M0N=^\MN\d

2同7帖公+4-62

4+5?

2\[5同\j2m2-m2

~2n?

=亚

综上:5,次=6为定值•

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.

19.（1）见解析（2）汉2

7

【解析】

试题分析：（D根据已知条件由线线垂直得出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证得成立；（2）通过已知条件求

出各边长度,建系如图所示，求出平面PDB的法向量，根据线面角公式代入坐标求得结果.

试题解析：（1）证明：取“。的中点N,连接AN,MN,则MN//CD,MN=LCD,

2

又AB//CD,AB=、CD,所以MN//AB,MN=AB,则四边形ABMN为平行四边形，所以AN//BM,

2

又JL平面PCD,

・・・AN_L平面PC。，

・••ANSD,AN工CD.

由=即尸£>=E4及N为产。的中点，可得△抽。为等边三角形，

；・NPDA=600,

又NEDC=150°,，NCQA=90°,・・・CZ)J_A。，

:.CDJ_平面PAD,CDu平面ABCD,

,平面P4£>_L平面ABCD.

(2)解：

•

—

/7?\

W-77/5

/〃

A8//CD,・・・NPCO为直线PC与48所成的角，

PD1

由(1)可得NPOC=90°,・・・tan/PCO=——=-,：.CD=2PD

CD2f

设PD=1»则CD=2,PA=AD=AB=}t

取的中点。，连接尸0,过。作A8的平行线，

可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则0,0)，呜,1,0),C(—；,2,0),尸0,0专

/.A/f-i-J,—\

144)

所以丽=(1,1,0),而=丽=(_：,0二

---cx+y=0

/、n-DB=0-

设力=(jv,y,z)为平面PBO的法向量，贝心一，即｛i&,

n-PB=0-x+y--z=0

22

取x=3,则万=(3,-3,-G)为平面尸30的一个法向量，

/-百A万丽一32百

..cos(/7,BM)==--------广=--—

,同网4X避7，

2

则直线BM与平面PDB所成角的正弦值为—.

7

点睛：判定直线和平面垂直的方法:①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该

直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.平

面与平面垂直的判定方法:①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.

20.(I)勺=2"，包=，?；(II)1

【解析】

(I)易得｛凡｝为等比数列，再利用前〃项和与通项的关系求解｛〃｝的通项公式即可.

(n)由题可知要求匕的最小值,再分析-5,-2的正负即可得Q随〃的增大而增大再判定可知k=1即可.

【详解】

(I)区为q+产2%97£%)故｛4｝是以％=2为苜项,2为公比的等比数列，故。“=2".

又当〃=1时，”=瓦-1,解得a=2.

当〃22时，及4—b>4—by+•••H—b—h.—1...(T)

23n

〃22).1q=1

①•②有-bn=%-%即冬=%当〃=时也满足.故媪为常数列,

nn+\n1n

所以组=3=1.即仇=〃.

n\

故。“=2”也=〃

(n)因为对〃£N',写“2恒成立・故只需求T2n的最小值即可.

£=，

设o则T2n-T2t)_2=c2n_]+,(〃£M),

1__1________1__________11I

又=%.-四用一乙=(2〃_])(2〃+])_*=^?一/，

又当〃T时号一《《一；>仇〃时11

7=2—>0.

4n2-l4”1516

当〃23时，因为4〃=(C)+C+C；+...+C：)2〃

2（端+。：+屐）"=81+77+-^——L=4772+4Z?+8>4Z?2-1.

2

故高于。・

上可知.故匕随着〃的增大而增大，故

综C2,,_,+c2n>0T2n>T2^k=]

【点睛】

本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据

题意求解匕的通项，并根据二项式定理分析其正负，从而得到最小项.属于难题.

21.⑴①当〃后-2&时，/（x）在（。,+8）单调递增,②当机<-20时，“X）单调递增区间为

—m-J—8]（—ni+\Jm2—8）乂g…—r一门（一〃？—J—8—m+\lm2-8

0,-----------------,-----------------，+8，单调递减区间为-------------,-------------

\/\7\）

（2）证明见解析

【解析】

（1）先求解导函数，然后对参数加分类讨论，分析出每种情况下函数/（工）的单调性即可；

（2）根据条件先求解出〃?的值，然后构造函数例x）（0<x<2）分析出之间的关系，再构造

函数02。)=/(v)-/(4-x)(l<JT<4)分析出x2,.r3之间的关系，由此证明出药+2>x3.

【详解】

(1)/(X)=—+77ZX+2InX,/(幻=X+"2+2=X+如+2=m+2夜

2xxx

①当初2-2及时，r（x）20恒成立，则/（X）在（0,+8）单调递增

②当〃?<-2立时，令/'（6=0得工2+如+2=0,

Axjze——\l—8—〃z+J〃厂-8

解骨X.=----------------'X)=-----------------

122

x.+x、--m>0

又)八,0<%|<x

N/=2o>02

・,.当xwj。,一&时，/z(x)>0,/(x)单调递增；

当/4力一甲1加+厂］时,八x)<。，小)单调递减；

当-〃7卜时，/'(X)>O,/(_¥)单调递增.

\7

(2)依题意得，/'(1)=3+6=0,则加=一3

由(D得，/(月在(0,1)单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,y)上单调递增

二若方程/(力=/有三个实数解与,工2，&(与<七<毛)，

则0<内V1<42V2V为

法一：双偏移法

,224(x-H2

设a(x)=/(x)_/(2_x)(0〈x<2),则%(x)=_+；；------4=—―->()

x2-xxi2-x)

・・・/(/)在(0,2)上单调递增，・・・Dxc(0,l),%(x)〈例⑴=0

・•・.(%)=/(%)—/(2—石)<0(0<%<1),即从内)<〃(2—％)

其中£

Vf(xt)=/(x2)=r,/./(x,)</(2-x,),41,2),2-^G(1,2)

・・,/(力在(1,2)上单调递减，・・・/>2-玉，即%+%>2

，./、，/、s八，/、22「2。-2八八

设。,(幻=/(幻-/(4一1)(1</<4),(p^x)=-+-------2=-------->0

x4-xx(4-x)

・・・他红)在(1,4)上单调递增，・・・Vx«l,2),%“)<0(2)=0

即〃/)</(一

/.(p2(x,)=/(^)-/(4-x2)<0(1<x2<2),45)

/(x2)=/(x3)=^•e•/(A3)</(4-X2)»其中FE(2,+OO),4-Xje(2,3)

:/(x)在(2,+oo)上单调递增，・・・占<4-%，即占+演<4<王+%+2

/.x,+2>x3.

法二：直接证明法

在上增，

Vx1+2>2,X3>2,(2,+8)单调递

・,・要证司+2>当，即证/(石+2)>/(刍)='=/(5)

in./、/,/mrn,i、、222(X—>/3+1)(X+-\/3+1)

设夕(x)=/(x+2)-/*)*>0),贝！J(p(x)=-----------+2=---------------------------

x+2xx(x+2)

・•・9(x)在(0,百-1)上单调递减，在(6-1,十可上单调递增

AVx,e(0,l),仪6_1)=/(6+1)_/(6_1)=2[111(2+6)+6_3]>0

。(％)=/(%即/(玉

+2)­/&)>0,+2)>/(%)=/(x3)

(注意：若ln(2+6)+G—3>0没有证明，扣3分)

关于m(2+6)+百一3>0的证明：

(1)\/人>0且犬。一时，Inxvex—2(需要证明)，其中e<2.72<J5+1

e

/.In(2->/3)<^(2-V3)-2<(x/3+l)(2-V3)-2=>/3-3

/.ln(2+x/3)=ln——==-ln(2-x/3)>3-x/3

2-V3

・・・ln(2+百)+百-3>0

(2),:&\>2.73>e,・・・ln(4+2扬=21n(l+扬>2Ine=2

••In2+ln(2+>/3)>2>即ln(2+V^)>2-ln2

V2,o=1024,e7>2,77>1046,A210<e7,则101n2v7=ln2<0.7

/.ln(2+V3)>2-ln2>2-0.7=1.3>3-^

【点睛】

本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.(1)对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分

类讨论函数单调性；(2)利用导数证明不等式常用方法：构