2023-2024学年广东省揭阳真理中学十校联考最后数学试题含解析

2023-2024学年广东省揭阳真理中学十校联考最后数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在AABC,DE//BC中,分别在边A也AC边上，已知上=」，则怨的值为（）

DB3BC

3.如图，数轴上有三个点A、B、C,若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）

—1--------1---------1----1----1---------

ACB

A.-2B.0C.1D.4

4.如图1,在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A-BTC方向运动,当点E到达点C时停止运动，过点E作EF±AE

交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a

=3；②当CF=>!■时，点E的运动路程为灯或1或2,则下列判断正确的是（

4422

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

5.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

ii.ai1Mbii）

-3210123

A.a+b>0B.ab>0C.a-b<oD.a-rb>0

6.a、b互为相反数，则下列成立的是（）

A.ab=lB.a+b=OC.a=bD.—=-l

b

7.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

A百oN/5「2/n2。

A.----B.—C.------D.-----

3535

8.如图，直线AB与半径为2的。O相切于点C,D是。。上一点，且NEDC=30。，弦EF〃AB,则EF的长度为（）

A.2B.C.GD.2V2

9.在3,0,-2,-匕四个数中，最小的数是（）

A.3B.0C.-2D.一、:

10.运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是。O的直径，CD,EF是。O的弦，且AB〃CD〃EF,AB=10,

CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是（）

25万

A.——B.104C.24+4乃D.24+5〃

2

11.下列运算正确的是（）

(a2)3=a：C.(3ab)2=6a2b2D.a6-raJ=a2

12.下列长度的三条线段能组成三角形的是

A.2,3,5B.7,4,2

C.3,4,8D.39394

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在△ABC中，AB=AC,tanZACB=2,D在△ABC内部，J&AD=CD,ZADC=90°,连接BD,若ABCD

的面积为10,则AD的长为

14.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB，，若NB=48。，则NACB，=

=0的解为X二

16.如图，AG〃BC,如果AF：FB=3：5,BC：CD=3：2,那么AE：EC=

18.已知函数），='・1,给出一下结论:

x

①y的值随x的增大而减小

②此函数的图形与x轴的交点为（1,0）

③当x>0时，y的值随x的增大而越来越接近・1

④当烂!时，y的取值范围是肚1

以上结论正确的是（填序号）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知点A,B,C在半径为4的。。上，过点C作。。的切线交OA的延长线于点D.

(I)若NABC=29。，求ND的大小；

(II)若ND=30。，ZBAO=15°,作CEJLAB于点E,求:

①BE的长；

②四边形ABCD的面积.

20.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).请

在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△AiBiG；以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的!，

2

得到AA?B2c2,请在图中y轴右侧，面出AA2B2c2,并求出NA2c2B2的正弦值.

21.(6分)已知，关于x的方程x2+2x-A=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

x.X-.

(2)若刈，口是这个方程的两个实数根，求一^+—^7的值；

X+1x2+\

(3)根据(2)的结果你能得出什么结论？

—2

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线,交函数)，=-(x〈0)

x

的图象于B点，交函数y=9(x>0)的图象于C,过C作y轴和平行线交BO的延长线于D.

x

(1)如果点A的坐标为(()，2),求线段AB与线段CA的长度之比；

(2)如果点A的坐标为(0,a),求线段AB与线段CA的长度之比；

(3)在(1)条件下，四边形AODC的面积为多少？

23.（8分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面,

量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45。、木瓜B的仰角为30。・求C处到

树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：

24.（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E,使AE=AB,连接DE,AC

（1）求证：四边形ACDE为平行四边形；

（2）连接CE交AD于点O,若AC=AB=3,cosB=1,求线段CE的长.

25.（10分）如图，已知△ABC,以A为圆心AB为半径作圆交AC于E,延长BA交圆A于D连DE并延长交BC于F,

CE1=CFCB

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）如图1,若BE=CE=2G,求。A的面积；

⑶如图2,若tanZCEF=-,^cosZC的值.

2

D

26.（12分）某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一

项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级⑵班作为样本，对该班学生参

加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：

八年级⑵班参加球类活动人数情况统计表

项目篮球足球乒乓球排球羽毛球

人数a6576

八年级⑵班学生参加球类活动人数情况扇形统计图

务

根据图中提供的信息，解答下列问题：a=____,b=_____.该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的

人数约人；该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学（A,B,。和2位女同学（D,E）,现准备从中选取

两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.

27.（12分）为了进一步改善环境，郑州市今年增加了绿色自行车的数量，已知A型号的自行车比B型号的自行车的单

价低30元，买8辆A型号的自行车与买7辆B型号的自行车所花费用相同.

（DA,B两种型号的自行车的单价分别是多少？

⑵若购买A,B两种自行车共600辆，且A型号自行车的数量不多于B型号自行车的一半，请你给出一种最省钱的方案.

并求出该方案所需要的费用.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

根据DE/7BC得到△ADE^AABC,根据相似三角形的性质解答.

【详解】

解：・・•丝

DB3

AD1

:.——=-,

AB4

VDE/7BC,

.,.△ADE^AABC,

DEAD1

♦・---=----=—,

BCAB4

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键.

2、D

【解析】

根据特殊角的三角函数值得出即可.

【详解】

解：sin45°=—,

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中.

3、C

【解析】

【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数.

【详解】•・•点A、B表示的数互为相反数，AB=6

，原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3,点A对应的数为・3,

又••,BC=2,点C在点B的左边，

・••点C对应的数是1,

故选C.

【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置.

4、A

【解析】

由已知，AB=a,AB+BC=5,当E在BC上时，如图，可得△ABEs^ECF,继而根据相似三角形的性质可得y=-

-A：2+—x-5,根据二次函数的性质可得・,（史甘］+—•—-5=i,由此可得a=3,继而可得y=・

aaa\2）a23

2

|X+|X-5,把y=；代入解方程可求得x尸g,x2=1,由此可求得当E在AB上时，y=；时，x=?,据此即可

作出判断.

【详解】

解：由已知，AB=a,AB+BC=5,

当E在BC上时，如图,

YE作EF_LAE,

AAABE^AECF,

.ABCE

••----=-----9

BEFC

1。+5「

y=x"24--------X—J,

aa

.♦・当-2=3时,心+5]4+54+5「1

+----------------5=-

2a2a23

解得ai=3,32=y（舍去）,

1118

=一

4-4-3-3

解得X1=丁，X2=—>

22

当E在AB上时，y=，时，

4

111

x=3---=——，

44

故①②正确，

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运

用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

5、C

【解析】

利用数轴先判断出〃的正负情况以及它们绝对值的大小.然后再进行比较即可.

【详解】

解：由°、,在数轴上的位置可知：a<l,b>l,且|。|>网，

.*.«+/><1,ab<l,a-b<lta-vb<l.

故选：C.

6、B

【解析】

依据相反数的概念及性质即可得.

【详解】

因为a、b互为相反数，

所以a+b=l,

故选B.

【点睛】

此题主要考查相反数的概念及性质.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是1.

7、D

【解析】

过B点作BD_LAC,如图，

22

由勾股定理得，AB=71+3=Vio»AD=TF+F=2V2，

3=也;毕=矩

ABy/\05

故选D

8、B

【解析】

本题考查的圆与直线的位置关系中的相切.连接OC,EC所以NEOC=2ND=60"，所以△ECO为等边三角形.又因为

弦EF/7AB所以OC垂直EF故NOEF=30。所以EF=&OE=2后.

9、C

【解析】

根据比较实数大小的方法进行比较即可.根据正数都大于0,负数都小于0,两个负数绝对值大的反而小即可求解.

【详解】

因为正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值较大的数反而较小，

所以<-\3<

所以最小的数是一二，

故选c.

【点睛】

此题主要考查了实数的大小的比较，正数都大于0,负数都小于0,两个负数绝对值大的反而小.

10、A

【解析】

【分析】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG,则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF,贝US扇形ODG=S扇形

OEF,然后根据三角形的面积公式证明SAOCD=SAACD,SAOEF=SAAEE,贝!1S阴影:S扇形OCD+S扇彤OEF=S崩形OCD+SJU形ODG=S半

国，即可求解.

【详解】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.

•・・CG是圆的直径，

・・・NCDG=90。，则DG=^CG1-CD1=>/102-62=8,

又，・・EF=8,

.*.DG=EF,

JDG=EF，

•'•S扇形（）DG=S崩形OEF，

•；AB〃CD〃EF,

SAOCD=SAACD>SAOEF=SAAEF,

.125星

；・S明影二S巾形OCD+S原形OEF=S扇彩OCD+S方形ODG=S半81=171x52=

22

故选A.

【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理.本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键.

11、B

【解析】

分析：本题考察塞的乘方，同底数幕的乘法，积的乘方和同底数募的除法.

解析：（。2丫=不，故A选项错误；公"=”4故8选项正确；（3必）2=94262故€：选项错误；/一〃=〃故口选项错误.

故选B.

12、D

【解析】

试题解析：A.・・・3+2=5,・・・2,3,5不能组成三角形，故A错误；

B.・・・4+2V7,，7,4,2不能组成三角形，故B错误；

C・・・・4+3V8,・・・3,4,8不能组成三角形，故C错误；

D.V3+3>4,A3,3,4能组成三角形，故D正确；

故选D.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、50

【解析】

作辅助线，构建全等三角形和高线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根

据三角形面积表示DH的长，证明AADG^^CDH(AAS),可得DG=DH=MG=作辅助线，构建全等三角形和高

线DH,设CM=a,根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证

明△ADGgZikCDH(AAS),可得DG=DH=MG=W,AG=CH=a+—,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.，

aa

AG=CH=a+—,根据AM=AG+MG,列方程可得结论.

a

【详解】

解：过D作DH_LBC于H,过A作AM_LBC于M,过D作DG_LAM于G,

VAB=AC,

ABC=2CM=2a,

VtanZACB=2,

AM=2a,

由勾股定理得：AC=V5a,

I

SABI)C=-BC*DH=10,

2

I

--2a*DH=10,

2

10

DH=—,

VZDHM—ZHMG—ZMGD—900,

・•・四边形DHMG为矩形,

.•.ZHDG=90o=ZHDC+ZCDG,DG=HM,DH=MG,

VZADC=90°=ZADG+ZCDG,

AZADG=ZCDH,

在^ADG^OACDH中,

^AGD=ZCHD=90°

・・[ZADG=ZCDH,

AD=CD

/.△ADG^ACDH(AAS),

10.10

.*.DG=DH=MG=—,AG=CH=a+—

aa

AAM=AG+MG,

,10,10

n即rt2a=ad-------1-----,

aa

a2=20,

在RSADC中，AD2+CD2=AC2,

VAD=CD,

.\2AD2=5a2=100,

・・・AD=S及或-5夜(舍)，

故答案为50.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG=CH

是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题.

14、6°

【解析】

N3=48\NAC"=90。，所以N4=42。，OC是中线，所以N8CD=NB=48。，

ZDCA=ZA=48°,因为N8CD=NOCB'=48。，所以N4CB'=480・46°=6°.

15、-1

【解析】

【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得.

【详解】两边同乘(x+2)(x-2),得：x-2-3x=0,

解得：x=-L

检验：当x=-l时，(x+2)(x-2)和，

所以x=・l是分式方程的解，

故答案为：・L

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

16、3:2；

【解析】

由AG//BC可得△AFG与ABFD相似,△AEG与ACEO相似，根据相似比求解.

【详解】

假设：AF=3X9BF=5X,

:•△A尸6与43*0相似

：.AG=3y,BD=5y

由题意EC:CO=3：2则3=2/

VAAEG-^ACEO相彳以

：.AE:EC=AG:DC=3:2.

【点睛】

本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

17、x+1

【解析】

先通分，进行分式的加减法，再将分子进行因式分解，然后约分即可求出结果.

【详解】

解：—+—

x-l1-X

_____1

X-1X—1

x2-\

~x-\

=(2)(1)

x-\

=x+l.

故答案是：X+1.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键.

18、②③

【解析】

(1)因为函数》=,-1的图象有两个分支，在每个分支上y随X的增大而减小，所以结论①错误;

X

(2)由[-1=0解得：x=[t

X

.•・)，二’-1的图象与'轴的交点为(1,。)，故②中结论正确；

X

(3)由丁='-1可知当x>0时，y的值随x的增大而越来越接近-1,故③中结论正确；

x

(4)因为在)，二^-1中，当戈=1时，)，二一2,故④中结论错误；

x

综上所述，正确的结论是②③.

故答案为：②©.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)ZD=32°；(2)@BE=276;②86+4

【解析】

(I)连接OC,CD为切线，根据切线的性质可得NOCD=90。，根据圆周角定理可得NAOC=2NABC=29Ox2=58。，根

据直角三角形的性质可得ND的大小.

(II)①根据ND=3。。.得到NDOC=60。，根据NRAO=15。.可以得出/AOB=150。，进而证明△ORC为等腰百角三

角形，根据等腰直角三角形的性质得出3C=夜03=4&,

根据圆周角定理得出/ABC=1/4OC=300,根据含30角的直角三角形的性质即可求出BE的长；

2

②根据四边形ABCD的面积=SAOBC+SAOCD-SAOAB进行计算即可.

【详解】

(I)连接OC,

VCD为切线，

AOC1CD,

:.ZOCD=90°,

VZAO€=2ZABC=29°X2=58°,

:.ZD=9D0-58°=32°；

(II)①连接OB,

在RtA0CD中,VZD=30°,

AZDOC=60°,CD=6OC=4瓜

VZBA0=15°,

AZOBA=15°,

AZAOB=15()°,

AZ()BC=1500-60=90°,

AAOBC为等腰直角三角形,

•*-BC=6()B=4yfi,

•：ZABC=-ZAOC=30°,

2

在RtACBE中，CE=、BC=2C，

2

:・BE=»CE=2几

②作BHJLOA于H,如图,

VZBOH=180°-ZAOB=3()°,

/.BH=-0B=2,

2

**•四边形AB('D的面积=SAOBC+SAOCD-SAOAB

=—X4X4+—X4X4A/3——x4x2=8\/3+4.

222

【点睛】

考查切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，含30角的等腰直角三角形的性质，三角形的面积公

式等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中.

20、(1)见解析(2)叵

10

【解析】

试题分析：(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案.

试题解析：(1)如图所示：AA山iG,即为所求；

(2)如图所示：AAzB2c2,即为所求，由图形可知，ZA2CZB2=ZACB,过点A作AD_LBC交BC的延长线于点D,

由A(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),故AD=2,CD=6,ACM、6；=,而，

/.sinNACB==—,即sinNA2c2B?=.

AC2®1010

考点：作图-位似变换；作图-平移变换；解直角三角形.

21.（1）^>-1；（2）2；（3）A>-1时，+的值与无无关.

X）+1X24-1

【解析】

（1）由题意得该方程的根的判别式大于零，列出不等式解答即可.

（2）将要求的代数式通分相加转化为含有两根之和与两根之积的形式，再根据根与系数的关系代数求值即可.

XX

（3）结合（1）和（2）结论可见，文时，一的值为定值2,与A无关.

【详解】

（1）,・♦方程有两个不等实根，

.*.△>0,

即4+4A>0,：.k>-\

（2）由根与系数关系可知

xi+xz=-2,x\xi=-k,

...工+^1_

•,X]+1x2+1

_%（尤2+1）+8（匹+1）

（xt+l）（x2+1）

2中2+4+々

1+内+々+玉大2

-2-2k

=2

~~\-k

（3）由（D可知，k>・l时,

―+―的值与A无关.

X)+1x2+1

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识点是解答关键.

22、(D线段AB与线段CA的长度之比为!；(2)线段AB与线段CA的长度之比为!；(3)1.

33

【解析】

试题分析：

(1)由题意把y=2代入两个反比例函数的解析式即可求得点B、C的横坐标，从而得到AB、AC的长，即可得到线

段AB与AC的比值；

(2)由题意把y=a代入两个反比例函数的解析式即可求得用“a”表示的点B、C的横坐标，从而可得到AB、AC的长,

即可得到线段AB与AC的比值；

(3)由(1)可知，AB:AC=1:3,由此可得AB:BC=1:4,利用OA=2和平行线分线段成比例定理即可求得CD的长，

从而可由梯形的面积公式求出四边形AODC的面积.

试题解析：

(1)VA(0,2),BC〃x轴，

AB(-1,2),C(3,2),

AAB=1,CA=3,

，线段AB与线段CA的长度之比为:；

5A

(2)・・飞是函数y=----(x<0)的一点，C是函数y=—(x>0)的一点，

XX

a

26

/.AB=-,CA=-,

aa

・・・线段AB与线段CA的长度之比为?；

,AB1

••=-9

BC4

又・・・OA=a,CD〃y轴,

,OAAB\

.---------=-9

CDBC4

/.CD=4a,

・•・四边形AODC的面积为=工(a+4a)x-=l.

2a

23、解：设OC=x,

在RSAOC中，VZACO=45°,.\OA=OC=x.

n

在RtABOC中，VZBCO=30°,/.OB=OC?tan3O°=—x.

3

VAB=O4-OB=x-—x-2,解得x=3+6«1+1.73-4.73。5.

3

・・・OC=5米.

答：C处到树干DO的距离CO为5米.

【解析】

解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值.

【分析】设OC=x,在RtAAOC中，由于NACO=45。，故OA=x,在RtABOC中，由于NBCO=30。，故

OB=OC?tan30°=—x,再根据AB=OA-OB=2即可得出结论.

3

24、(1)证明见解析；(2)472.

【解析】

(1)已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CI),又因AE=AB,可得AE=CD,

根据一组对边平行旦相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ACDE是平行四边形；(2)连接EC,易证AREC是

直角三角形，解直角三角形即可解决问题.

【详解】

(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB/7CD,AB=CD,

VAE=AB,

/.AE=CD,VAE/7CD,

・・・四边形ACDE是平行四边形.

(2)如图，连接EC.

E

/.△EBC是直角三角形，

VcosB=-^=-^-»BE=6,

ABC=2,

***EC=VBE2-BC2=762-22=4V2-

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

4

25、(1)AABC为直角三角形，证明见解析；(2)12兀；(3)

【解析】

(1)由CE2=CICB，得△CEFs^CBE,：./CBE=NCEF,由BD为直径，得NAOE+NASE=90。,即可得NOSC=90。

故443c为直角三角形.(2)设N/mC=/£C8=x,根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质易得—30。，则N48£=60。

故A3=8E=26，则可求出求。A的面积；⑶由(1)知NO=NCFE=NC3E,故tanNCBE=J,设£尸=。产£=2〃,利用勾股

定理求出BD=2BF=2后,得AD=AB=瓜,OE=28E=4a,过F作尸K〃BD交CE于K,利用平行线分线段成比例得

FKFFICFIRFK3

-=求得—CF=-a即可求出tanNC=工二二?再求出cos/C即可.

ADDE4BF33CF4

【详解】

解：♦；CE?=CFCB,

.CE_CB

^~CF~~CE"

1.△CEFsACBE,

：.NCBE=NCEF,

•：AE=AD,

・•・NADE=NAED=NFEC=NCBE,

为直径,

AZAD£+ZABE=90°,

NC8£+NA8E=90。，

:.NO5c=902ABC为直角三角形.

(2)VBE=CE

：.设N