2021年重庆市中考数学真题(A卷)（解析版）

重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A卷）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）

1.2的相反数是（）

A.--B.!C.2D.-2

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的概念解答即可.

【详解】2的相反数是-2,

故选D.

2.计算3-的结果是（）

A.3/B.2a5C.2a6D.3as

【答案】D

【解析】

【分析】根据单项式除以单项式法则、同底数寻除法法则解题.

【详解】解：3a6+4=31

故选：D.

【点情】本题考查同底数某相除、单项式除以单项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

3.不等式2在数轴上表示正确的是（）

AC

【答案】D

【解析】

【分析】根据在表示解集时"2"，要用实心圆点表示；"V"，”>〃要用空心圆圈表示，把已知解集表示在

数轴上即可.

【详解】解：不等式XW2在数轴上表示为：

--J।~•—>>.

-1012345

故选：D.

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟悉相关性质是解题的关键.

4.如图，△48C与△及孑'位似，点。是它们的位似中心，其中。后2。从则△A4C与△£)£产的周长之比是

()

C.1：3D.1：9

【答案】A

【解析】

【分析】利用位似性质得△ABCs△。石尸，OB：OE=1：2,然后根据相似三角形的性质解决问题.

【详解】解：•••△A6C与△/)石尸位似，点O为位似中心.

:AABCSADEF,OB：0E=1：2,

•••△48C与aOE尸的周长比是：1：2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

5.如图，四边形A8CQ内接于O。，若乙4二8()。，则NC的度数是()

A.80。B.100°C.110°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可.

【详解】解：•・•四边形A8CO内接于。O,

.*.ZC=18O°-ZA=1O()0,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补足解题的关键.

6.计算的结果是（）

A.7B.6&C.7&D.2b

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；

【详解】解:714x77-72

=V2X7X7-V2

=7&-&

=6\/2»

故选:B.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

7.如图，点8,F,C,E共线，/B=/E,BF=EC,添加一个条件，不等判断△A8Cg△£）£产的是（）

A.AB=DEB.NA=N。C.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题.

【详解】解：・・・BF=EC,

BC=EF

A.添加一个条件A8=。巴

又・.•BC=EF,/B=/E

:,小ABCm丛DEF（SAS）

故A不符合题意；

B,添加一个条件NA=N。

又BC=EF,NB=NE

.,.△ABC%DEF（AAS）

故B不符合题意；

C.添加一个条件4C=。/，不能判断△ABCgaOE尸，故C符合题意；

D.添加一个条件AC〃尸。

ZACB=ZEFD

又BC=EF/B=/E

.•.△ABC%DEF（ASA）

故D不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20〃?高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10$.甲、乙

两架无人机所在的位置距离地面的高度），（单位：加）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所

示.下列说法正确的是（）

B.10s时，两架无人机的高度差为20小

C.乙无人机上升的速度为8/Rs

D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60小

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度），（米）和上升的时

间上（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可.

【详解】解：设甲的函数关系式为用=以，把（5,40）代入得：40=5a,解得。=8,

*,*y甲=8x,

设乙的函数关系式为九二履+人，把(0,20),(5,40)代入得:

b=20」攵=4

‘5k+b=40'解得％=20,

:.、乙=4x+20,

A、5s时，甲无人机上升了40加，乙无人机上升了20〃?，不符合题意；

从10s时，甲无人机离地面8x1()=80〃?，

乙无人机离地面4x10+20=60〃],相差20〃?，符合题意；

40-20

C、乙无人机上升的速度为——=4^/5,不符合题意；

。、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m.

故选：B.

【点睛】本题考直了次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求次函数解析式，次函数的性质，

读懂图形中的数据是解本题的关键.

9.如图，正方形48CZ)的对角线AC,B。交于点。，M是边A。上一点，连接OM,过点。做。N_LOM,

交CO于点N.若四边形MONO的面积是1,则A8的长为()

A.1B.72C.2D.2万

【於】C

【解析】

【分析】先证明aMA。二△NOO(ASA),再证明四边形MON。的面积等于，△D4O的面枳，继而解得正

方形的面积，据此解题.

【详解】解：在正方形488中，对角线3O_L4C,

:.ZAOD=90°

•.•ONYOM

AMON=90°

...ZAOM=/DON

又•・•ZMAO=Z.NDO=45°,AO=DO

:.^MAO=^NDO(ASA)

•c-s

••乙MAO_34NDO

,•,四边形MOND的面枳是1,

,,S4nAe=1

•••正方形ABCD的面积是4,

:.AB2=4

:.AB=2

故选：C.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知

识是解题关键.

10.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND.甲在山脚点C处测得通信基站顶

端M的仰角为60。，测得点C距离通信基站M4的水平距离CB为30〃?；乙在另一座山脚点尸处测得点尸距

离通信基站N。的水平距离FE为5（）加，测得山坡。产的坡度，=1：1.25.若ND=*DE,息C,B,E,F

在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（）（参考数据：加乏1.41,、6。1.73）

A.9.0/nB.12.8/nC.13.bnD.22.1m

【答案】C

【解析】

【分析】分别解直角三角形RlZV）所和RSMBC,求出NE和MB的长度，作差即可.

【详解】解：・・・/石二50小，D尸的坡度片1：1.25,

ADE:EF=1:1.25,解得。E=40m,

AND=-DE=25m,

8

:.NE=ND+DE=65m,

VZMCB=60°,3c=30m,

・•・MB=BCtan60°=30G加，

・•・顶端M与顶端N的高度差为NE—MB=65—3073々13.1机，

故选：C.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键.

[3x-2>2（x+2）

11.若关于x的一元一次不等式组，八\’的解集为“26,且关于），的分式方程

u—LX<—5

y-2a+3y-8

=2的解是正整数，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

y-\y

A.5B.8C.12D.15

【答案】B

【解析】

【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到山^<6解得。<7,再解分式方程得到

2

y二皇，根据分式方程的解是正整数，得到。>-5,且。+5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数

。的值，最后求和.

3x-2>2(x+2)®

【详解】解:

a-2x<-5(§)

解不等式①得，x>6,

解不等式②得，x>—

2

•••不等式组的解集为：x>6

5+a,

------<6

2

:.a<J

解分式方程匕年+苧遇=2得

y-i1-y

)，-2Q3)-8=2

y-ly-\

y+2a-(3y-8)=2(y-l)

整理得了，二"2

,八E4+5,

v-l力0,则-----w1,

2

aw-3,

•••分式方程的解是正整数，

a+5八

------->0

2

.•.〃>一5,且々+5是2的倍数，

—5vav7,且。+5是2的倍数，

..•整数〃的值为・1,1,3,5,

.'.-1+14-3+5=8

故选：B.

【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知

识是解题关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形48CD的顶点。在第二象限，其余顶点都在第一象限，4B〃X轴，

AO1AD,AO=AD.过点A作AE_LCO,垂足为E,DE=4CE.反比例函数），=巴（大〉0）的图象经过点石，与

X

边A8交于点F,连接。£,OF,EF.若S®F=F，贝的值为（）

8

【解析】

【分析】延长E4交K轴于点G,过点尸作x轴的垂线，垂足分别为从则可得△OE4也△4G。，从而可得

DE=AG,AE=OG,若设CE=a,贝JOE=AG=4a,AD=DC=DE+CE=5af由勾股定理得AE=OG=3a,故可得点

E、A的坐标,由44与x轴平行,从而也可得点厂的坐标，根据S花”=S*/+S梯形,即可

求得。的值，从而可求得及的值.

【详解】如图，延长以交x轴于点G,过点F作x轴的垂线，垂足分别为H

•・•四边形ABC。是菱形

：,CD=AD=AB,CD//AB

•・YB〃x轴，AELCD

，£G_Lx轴，ZD+ZDAE=90°

*：OA±AD

・・・NQA£+NGA0=90°

：.^GAO=ZD

'：OA=OD

：.ADEA^/\AGO(AAS)

:.DE=AG,AE=OG

设CE=a,则力属AG=4CE=4a,AD=AB=DC=DE+CE=5a

在阳△AE。中，由勾股定理得：AE=3a

/.0G=AE=3arGE=AG+AE=7a

：.A(3。,4。),E(3aja)

•・・48〃x轴，AG_Lx轴，H/_Lx轴

・•・四边形AG”/是矩形

:・FH=AG=3a,AF=GH

・•・t=21/

2

即Hn=——2la

vX

•・•「点在双曲线)，=义工上，且尸点的纵坐标为4〃

x

21。

..x=-----

4

即0H=—

4

:.GH=OH-OG=—

4

,**S&EOF=ShEOG+S梯形EG"-S』0H

.12rJ4\"121。411

..-x3ax7a+—(7a+4〃)x-----xx4a=—

224248

解得：«2=1

i7

.\k=21a2=2lx-=-

93

故选：A.

【点睛】

本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等

知识，关键是作辅助线及证明△O£Ag/\AGO,从而求得E、A、”三点的坐标.

二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)

13.计算：|3卜(p-l)u=_____.

【答案】2.

【解析】

【分析】分别根据绝对值的性质、。指数哥的运算法则计算出各数，再进行计算即可.

【详解】解：|3卜(/>-1)°=3-1=2,

故答案是：2.

【点睛】本题考查的是绝对值的性质、0指数累，熟悉相关运算法则是解答此题的关键.

14.在桌面上放有四张背面完全一样的卡片.卡片的正面分别标有数字-1,0,1,3.把四张卡片背面朝上,

随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率

是.

【答案】；

4

【解析】

【分析】画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果,

再由概率公式即可求得答案.

【详解】画树状图如图：

-1V

-1013-1013-1013-1013

积10-1-30000-1013-3039

共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个，

41

・••两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率=一=

164

故答案为：-y.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求

出相应的概率.

4—x

15.若关于x的方程一^+。=4的解是冗=2,则〃的值为_________.

2

【答案】3

【解析】

【分析】将42代入已知方程列出关于。的方程，通过解该方程来求a的值即可.

【详解】解：根据题意，知

4-24

亍+0=4,

解得a=3.

故答案是：3.

【点睛】本题考查了一元一•次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次

方程的解.

16.如图，矩形ABCO的对角线AC,8。交于点O,分别以点A,C为圆心,40长为半径画弧，分别交A8,

CO尸点&F.若8。=4,NCAB=36。，则图中阴影部分的面积为—_____.（结果保留/）.

・・

4

【答案】飞冗

【解析】

【分析】利用矩形的性质求得。4=OC=O8=OO=2,再利用扇形的面积公式求解即可.

【洋解】解：•・•矩形A8C。的对角线AC,4。交于点。，且8仄4,

：.AC=BD=4,0A=0C=0B=0D=2,

・s_oc_2X36^-X22_4

n

,,3阴影一N,扇形AOE一^77-7

4

故答案为：M4.

【点睛】本题考杳了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键.

17.如图，三角形纸片A8C中，点。，E,尸分别在边AB,AC,8c上，BF=4,CF=6,将这张纸片沿直

线DE翻折，点A与点厂重合.若DE〃BC,AF=EF,则四边形AOPE的面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据折叠的性质得到DE为△A/C的中位线，利用中位线定理求出OE的长度，再解&&CE求

出A/7的长度，即可求解.

【详解】解：•・•将这张纸片沿直线。月翻折，点A与点尸重合，

・・・。后垂直平分ARAD=DF，AE=EF，ZADE=4EDF，

,:DE〃BC,

；・ZADE=/B，ZEDF=/BFD,ZAFC=90°,

・•・4B=/BFD，

:.BD=DF,

：.BD=AD,即。为AB的中点，

・・・0E为8c的中位线，

・•・DE=LBC=5,

2

•:AF=EF,

・•・AAEF是等边三角形，

在RlAACE中，NC4产=60。，CF=6,

・•・AF=CF=2>/3,

tan60c

，AG=5

，四边形AOF£的面积为1oE・AGx2=5jj,

2

DFC

故答案为：5G.

【点睛】本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题的关键.

18.某销售商五月份销售4、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4,A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：

1.六月份该销伯商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料

的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的仄C饮料增加的销售额之比

为2：1.六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与8饮料的销售额之比为2：3,则A饮料五月份的

销售数量与六月份预计的销售数量之比为.

9

【答案】—

10

【解析】

【分析】设销售A饮料的数量为3x,销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x,A种饮料的单价y.B、

C两种饮料的单价分别为2y、y.六月份4饮料单价上调20%,总销售额为m,可求A饮料销售额为3xy+/,

91171

8饮料的销售额为5封+5〃7,C饮料销售额：+—可求庶=15冲，六月份A种预计的销售额

4xy,六月份预计的销售数量与x,A饮料五月份的销售数最勺六月份预计的销售数最之比以：与x计算

即可

【详解】解：某销售商五月份俏售A、R.C三种饮料的数量之比为3：2：4,

设销售A饮料的数量为3x,销售B种饮料的数量2x,销售。种饮料的数量4x,

A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1.,

设A种饮料的单价y.B、。两种饮料的单价分别为2y、y.

六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m,

4饮料增加的销售占六月份销售总额的二

人饮料销售额为3xy+-^〃z,

A饮料的销售额与8饮料的销售额之比为2：3,

3（1'91

8饮料的销售额为33xy+—m=-xy^—m

1DN1v

8饮料的销售额增加部分为1（3孙+/）-4孙

・♦・C饮料增加的销售额为；m（3号，+2ni]-4xy

NL/11，7

_L3’一的，+4孙二卜，+如

・・・C饮料销售额:3xy+—m

22<•15

152104-20

/.〃?=153，

六月份A种预计的销售额3冲+工x15冲=4xy,

15

六月份预计的销售数量4w+（l+20%）y=%

109

・F饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比3x：工%=9:10=一

310

9

故答案为一

1（）

【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握

销售额:销售单价X销售数量是解题关键

三、解答题：（本大题7个小题，没小题10分，共70分）

19.计算（1）（x-＞）2+x（x+2y）；

（.aAcr-4

（2）1--------k-^------------.

Ia+2J6T+4.+4

【答案】（1）2/+y2；（2）-A-

。一2

【解析】

【分析】（1）利用完全平方公式和整式的乘法运算法则计算即可；

（2）根据分式混合运算的运算法则计算即可.

【详解】解：（1）+x（x+2y）

=x2-Ixy+y^^+lxy

=2J2+)2；

a]a1-4

(2)

a+2)/+4〃+4

a+2a、.（a+2）（。-2）

=（^~-I

Q+2a+2（a+2）~

2（4+2）2

-____x____________

Q+2（a+2）（。一2）

2

~~a^2.

【点睛】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是

解答的关键.

20.“惜餐为荣，殄物为耻“，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部

分班级某天的餐厨垃圾质量.从七、八年级中各随机抽取10个班的卷厨垃圾质量的数据（单位：kg）,

进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A.x<l,B.l<x<1.5,C.1.5<X<2,

D.x>2）,下面给出了部分信息.

七年级1。个班的餐厨垃圾质量：0.8,0.8,0.8,0.9,1.1,1.1,1.6,1.7,1.9,2.3.

八年级1。个班的餐厨垃圾质量中8等级包含的所有数据为：1。1.0,1.0,1.0,1.2.

七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表

年级平均数中位数众数方差4等级所占百分比

七年级1.31.1a0.2640%

八年级1.3b1.00.23W%

八年级抽取的班级

督用垃圾质易而形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表中小儿〃，的值；

（2）该校八年级共30个班，估L八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；

（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条

理由即可）.

【答案】（1）。=0.8力=1.0,m=20；（2）6个；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解。，〃的值，由扇形统计图可解得〃?的值；

（2）先计算在10个班中，八年级A等级的比例，再乘以30即可解题；

（3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分圻解题即可.

【详解】解：（I）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中，0.8出现的此时最多，即众数是0.8；

由扇形统计图可知/^=1-50%-10%-20%=20%,

八年级的A等级的班级数为10x20%-2个，八年级共调查10个班，故中位数为笫5个和笫G个数的平均数，

A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0,故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为

（1.0+1.0）4-2=1.0

m-20

a=0.8力=1.0,m-20；

（2）•・•八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%,

・•・估计该校八年级各班这一天的餐房垃圾质量符合A等级的班级数为：30x20%=6（个）；

答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合4等级的班级数为6个.

（3）七年级各班落实“光盘行动''情况更好，因为：

①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1。

②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%；

八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为：

①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低「七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1：

②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26.

【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难

度较易，掌握相关知识是解题关键.

21.如图，在oABC力中，AB>AD.

B

（l）用尺规完成以下基本作图：在48上截取4,使得AE=AD；作NBC。的平分线交A8于点E（保留

作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接。E交C产于点P,猜想AC。尸按角分类的类型，并证明你的结论.

【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；

（2）先证明N4Q后NCQE,再利用平行线性质”同旁内角互补”，得出/。2。=90。即可得出答案.

【详解】解：（1）解：如图所示：E,尸即为所求；

21题答图

（2）△CDP是直角三角形.

•・•四边形A3CO是平行四边形，

：.AB//DC,AD//BC.

：,^CDE=ZAED,NAOC+NBCD=180。,

•：AD=AE,

・•・4ADE=NAED.

：,^CED=ZADE=—ZADC.

2

・・・C尸平分N8CD,

：.^DCP=­/BCD,

2

・•・NCDE+NDCP=90°.

・•.ZCPD=90°.

・•・△CD。是直角三角形.

【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应

用的过程•以下是我们研究函数）,=£=匚的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.

X4-1

（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

•••

X-5-4-3-2-1012345•••

4-x22112

•••3

y,~26040•••

X*+1172

2

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；

（3）已知函数），=_gx+3的图象如图所示.根据函数图象，直接写出不等式犬+3＞纪二的解集（近

22x2+1

似值保留一位小数，误差不超过0.2）

1y轴；(3)x<-0.3J<x<2

【解析】

【分析】（1）直接代入求解即可；

（2）根据函数图象，写出函数的性质即可；

（3）根据图象交点写出解集即可.

【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：

221726

函数图象如图所示.

22题答图

（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是），轴；

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当x=0，函数取得最大值4；

③当x<。是，y随x的增大而增大；当x>0是，y随▲•的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）

3d-Y2

（3）当x=-0.2时，一二x+3=3.3,

2x2+l

32

当工=-0.4时，一一x+3=3.6,-tZ±v_«3.3i；

2x2+\

34—r2

所以x=-0.3是一+3=?二的一个解;

2x2+i

a4_2

由图象可知x=l和x=2是一=2二r的另外两个解;

2x2+\

34-x2

+的解集为x<-0.3,lvx<2.

2x2+l

【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象

解题是关键.

23.某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产8产品，去年两个车间生产产品的数量相同

且全部售出.已知A产品的销售单价比8产品的销售单价高100元，1件A产品与1件8产品售价和为500

元.

（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间

改造为专供用户定制4产品的生产车间.预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加〃％；

8产品产量将在去年的基础上减少4％,但B产品的销售单价将提高九%.则今年A、B两种产品全部售出

?9

后总销售额将在去年的基础上增加=4%.求。的值.

25

【答案】（1）A产品的销售单价为300元，6产品的销售单价为200元：（2）20

【解析】

【分析】（1）设8产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（A+100）元，根据题意列出方程解出即

可；

（2）设去年每个车间生产产品的数量为，件，根据题意根据题意列出方程

（?91

300（l+Q%）4+2（）（）（l+3Q%）・r（l-Q%）=5001.1+—〃％解出即可；

k25/

【详解】解:（I）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（X+100）元.

根据题意，得

X4-（X+100）=500.

解这个方程，得x=200.

则工+100=300.

答：A产品的销售单价为300元，8产品的销售单价为200元.

（2）设去年每个车间生产产品的数量为“牛，根据题意，得

（?9\

300（1+〃％）•/+200（1+3〃％）•r（1-〃％）=5（）0/•1+—〃％

设。%=加，则原方程可化简为一"2=0.

解这个方程，得叫%=。(舍去).

Aa=20.

答:a的值是20.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程.

24.如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成4x8,其中A与8都是两位数，A与8的十位数

字相同，个位数字之和为10,则称数A7为“合和数”，并把数M分解成M=的过程，称为“合分解

例如♦.♦609=21x29,21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,

「.609是“合和数”.

乂如・.・234=18x13,18和13的十位数相同,但个位数字之和不等于10,

.•.234不是“合和数”.

(1)判断168,621是否是“合和数”?并说明理由;

(2)把个四位“合和数”M进行“合分解"，即”=月入6.A的各个数位数宇之和与8的各个数位数宇

之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与3的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令

当G(")能被4整除时，求出所有满足条件的M.

Q(W

【答案】(1)168不是“合和数”，621是“合和数，理由见解析；(2)M有1224,1221，5624,5616.

【解析】

【分析】(1)首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解

成Ax3,其中A与4都是两位数，A与的十位数字相同，个位数字之和为10,则称数M为“合和数”,

再判断168,621是否是“合和数”；

(2)首先根据题目内容，理解“合分解”的定义.引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来

P(M)

表示8.然后整理出：G(M)=£E，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M.

2(M)

【详解】解：(1)

168不是“合和数”，621是“合和数”.

•.•168=12x14,2+4W10,

.♦.168不“合和数”，

v621=23x27,十位数字相同，且个位数字3+7=10,

「.621是“合和数”.

(2)设A的十位数字为〃?，个位数字为〃(加，〃为自然数，且34根<9,1W〃W9),

则A=10〃?+几，B=1Om+10—n.

P(A/)=〃?+〃+〃?+10-〃=2〃z+10,Q(M)=|(m+〃)-(〃z+10一〃)|=|2〃-10|.

P(M)_2///+10_m+5

・・・G(M)==4&(攵是整数).

(2(M)~|2n-10|~|/?-5|

3<m<9»

.,.8<//Z4-5<14,

•・•)是整数,

〃z+5=8或〃z+5=12,

①当m+5=8时，

〃i+5=8〃z+5=8

,一5|=1或|«-5|=2*

二.M=36x34=1224或M=37x33=1221.

②当m+5=12时，

m+5=\2，〃+5=12

|«-5|=1-戈|/?-5|=3，

.•.M=76x74=5623或M=78x72=5616.

综上，满足条件M有1224,122b5624,5616.

【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的

过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+加:经过A(0,-1),B(4,1).直线AB交x轴于点

C,P是直线48下方抛物线上的一个动点.过点P作PO_L/W,垂足为。，尸石〃x轴，交A8于点£

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当^PQE的周长取得最大值时，求点P的坐标和4PDE周长的最大值；

(3)把抛物线y=Y+云+。平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点，N

是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐

标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

【答案】(1)y=x2--x-l；(2)/=2HJ\△POE周长取得最大值，最大值为生5+8，点P的坐标为

25

(2,-4)；(3)满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12),过程见解析

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求函数表达式即可；

(2)先求出直线48的函数表达式和点c坐标，设尸，/一其中ou<4,则笈2r-7/,r2-1r-iy

证明△PQEs/XAOC,根据周长之比等于相似比可得

/=3^+5.[-2(/-2)2+8]=-6^+1°(r-2)2+^^+8>根据二次函数求最值的方法求解即可；

555

(3)分以下情况①若48是平行四边形的对角线：②若4松是平行四边形的边，1)当时：2)当

NM〃AB时,利用平行四边形的性质分别进行求解即可.

【详解】解(1)'・•抛物线y=V+Z?x+c经过点A(0,-I),点B(4,1),

116+4/?+c=1

b=--

解得12,

c=-i

7

・•・该抛物线的函数表达式为一耳工一1；

(2)VA(0,-I),B(4,I),

・•・直线AB的函数表达式为y=Jx-1，

AC(2,0),

(7'

设Pr,r一一t-\,其中o<f<4,

I2J

•・•点E在直线y=上，PE〃工轴，

2

r.£|2r-7r,r--r-lI，NOCA=NDEP,

I2)

・•・PE=-2t2+8r=-2(r-2)2+8.

PDA.AB,

：,ZEDP=/COA,

:ZDEsXAOC、

'：AO=\,OG2,

AZC=75，

・•・△AOC的周长为3+石，

令kPDE周长为/,则21.=4£,

/PE

.[3\/5+5「z。\26行+10/。\224\/5。

,•1=-------2(t-2)+8=---------(r-2)+----+8，

555

・•・当仁2时，周长取得最大值，最大值为丑叵+8，

5

此时点尸的坐标为(2,-4),

(3)如图所示，满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y=f—4x,对称轴为直线x=2.

①若A〃是平行四边形的对角线,

当MN与A6互相平分时，四边形AN3M是平行四边形，

即经过A4的中点C(2,0),

•・•点N的横坐标为2,

・••点M的横坐标为2,

・••点M的坐标为(2,-4)；

②若A8是平行四边形的边，

1)MN〃A8时，四边形A8NM速平行四边形，

VX(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

・••点M的横坐标为2-4=-2,

，点M的坐标为(-2,12)；

2)当NM〃/W时，四边形是平行四边形，

,:A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

・••点M的横坐标为2+4=6,

・••点M的坐标为(6,12),

综上，满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

I尸!阳)

【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边

形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类

讨论的思想方法进行探究、推导和计算.

四、解答题：(本大题1个小题，共8分)

26.在6c中，AB=AC,。是边3C上一动点，连接4。，将AO绕点A逆时针旋转至AE的位置,

使得ZZME+ABAC=180°.

E

（1）如图1，当N8AC=90。时，连接破，交AC于点厂.若应:平分NABC,80=2,求A/7的长;

（2）如图2,连接取BE的中点G,连接4G.猜想AG与C。存在的数量关系，并证明你的猜想;

（3）如图3,在（2）的条件下，连接。G,CE.若NH4C=120。，当BD>CD,ZAEC=150°

请直接写出处二型的值.

CE

【答案】（1）V2：（2）AG=^-CD,证明见解析：（3）BD-DG=旦.

2CE2

【分析】（1）连接CE,过点/作/7/_L3C,垂足为“，证明△然方丝△HBf'，得：AF=HF，再在

等腰直角△"/（?中，找到777=立CE，再去证明△人:£为等腰三角形，即可以间接求出A/的长;

2

（2）作辅助线，延长至点〃，使/W=A8,连接£M,在△应五中，根据三角形

的中位线，得出再根据条件证明：ZXADC^AABf,于是猜想得以证明；

2

（3）如图（见解析），先根据旋转的性质判断出应是等边三角形，再根据NA3C+NAEC=180。证

出A,8,C,£四点共圆，然后根据等腰二角形的二线合一、角的和差可得石是等腰直角二角形，设

CE=DE=2a,从而可得AD=2凡。。=20。，根据三角形全等的判定定理与性质可得

NBDP=NBAP=120°,从而可得NAGD=NGOP=NAPO=90。，根据矩形的判定与性质可得四边形

AGOP是矩形，DG=AP,最后根据等量代换可得BD-DG=AC-AP="解直角三角形求出

CECECE

。夕=而即可得出答案.

【详解】解：（I）连接CE,过点/作垂足为”.

E

DH

•.•BE平分NABC,ZBAC=90°,

:.FA=FH.

\-AB=AC,

/.Z4BC=ZACB=45°,

.\FH=—CF，

2

ZBAC+NDAE=180°,

:.ZBAC=ZDAE=90°,

;"BAD=NCAE，

AB=AC

在△A3。和中，=

AD=AE

.^ABD^ACE(SAS),

.•.BD=CE=2,ZABD=ZACE=45。,

;"BCE=9Q。,

•.•跖平分/ABC,

;.ZABF=/CBF.

ZAFB=/BEC,

•：ZAFB=/EFC,

:"BEC=/EFC,

:"CEB=/EFC.

AF=—CF=42.

2

(2)AG=-CD

2

延长84至点M，使=连接EM.

M

・.・G是比的中点，

:.AG=-ME.

2

ZBAC+ZDAE=ZBAC+NC4M=180°，

:.