2024年宁夏高考数学(理)试题及答案 (二)

2024年宁夏高考数学（理）试题及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设z=5+i,则1+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】结合共蜿复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+i=5=5-i,z+2=l。，则i（5+z）=10i.

故选：A

2.集合4={1,2,3,4,5,9},8={目五£A卜则a（Ac8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合4的定义求出从结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},8={M«WA},所以^二{1,4,9,16,25,81},

则AQ3={1,4,9},6（At8）={23,5}

故选：D

4x-3y-3>0

3.若实数满足约束条件・4一2），-2«0,则z=x-5y的最小值为（）

2x+6y-9<0

A.5B.yC.-2D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】回出可行域后，利用Z的儿何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数MV满足，x-2），—2V0，作出可行域如图：

2x+6y-9<0

由z=x-5y可得y==z,

即z的几何意义为)，=gx—的截距的—1,

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y=过点A,

4x-3y-3=0解得即

联立"=5,A4，1

2x+6.y-9=0

故选：D.

4.等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若其=品)，«5=1.则卬=()

A.-2B,-C.1D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由1=So结合等差中项的性质可得4=0,即可计算出公差，即可得q的值.

【详解】由Sio-S5=〃6十%+%十6+4。=5仆=。，则/=。，

7

则等差数列｛q｝的公差d-%-1故4=%-4d=1-4x

333

故选：B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,T),点(-6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()

A.4B.3C.2D-夜

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2。，结合双曲线定义计算可得2%即可得离心率.

【详解】设£（0,T）、鸟（0,4）、尸（-6,4）,

则段=2c=8,|P"|=W+(4-4『=10,归曰=j6，+(4—4『=6,

则2a=俨耳日尸闾=10-6=4,

故选：C.

6.设函数/（另=士学1三,则曲线y=/（x）在（0,1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1+X

A.-B.-C.yD.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积

(eA+2cosx)(l+A2)-(e'+2sinx).2x

【详解】

(e(,+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

则/⑼==3,

(l+0『

即该切线方程为y-l=3x,即）、=3x+l,

令x=0,则y=l,令y=o,则x=-g.

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=1xlx-i=i

230

故选：A.

7.函数/（戈）=-/+3-01,卜imr在区间［-2.8,2.8］的大致图像为（）

A.*x=-3"是"a_LZ/的必要条件B."x="3"是''a!lb''的必要条件

C.'x=0"是的充分条件D.ux=-l+>/3"是''allb''的充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向星垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当〃_1人时，则〃/=(),

所以k(x+l)+2,v=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，〃=(1,0)力=(0,2),故am=0，

所以a_L〃，即充分性成立，故c正确；

对B,当时，则2(x+l)=f,解得X=1±G，即必要性不成立，故B错误；

对D,当％=_]+百时，不满足2(%+1)=/，所以a//。不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设a、4是两个平面，加、〃是围条直线，且。/="?.下列四个命题：

①若机〃小则〃〃a或〃//夕②若mJ_〃，则〃_La,

③若〃//a,且〃〃尸，则④若〃与。和£所成的角相等，则"?

其中所有真命题的编号是()

A.①③B.②④C.①2③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断1)；举反例即可判断②④"艮据线面平行的性质即可判断③

【详解】对①，当〃ua,因为〃7〃儿mu。、则〃///,

当〃u夕，因为〃?〃〃，〃?ua,则”/a,

当"既不在a也不在/内，因为/〃〃〃，mua、mu[3、则〃〃a且，?〃尸，故①正确；

对②，若mJ,〃，则〃与a,夕不一定垂直，故②错误；

对③，过直线〃分别作两平面与a,P分别相交于直线§和直线/.

因为过直线〃的平面与平面”的交线为直线$,则根据线面平行的性质定理知〃〃s,

同理可得〃〃人则$/〃，因为S0平面4，fu平面贝IJs//平面£,

因为SU平面a,aB=m,则s〃〃z,又因为〃//$,则相〃“，故③正确；

对④，若ac〃=〃z,〃与a和4所成的角相等，如果〃//%〃〃〃，则机〃小故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

9

11.在-A3C中内角A8,C所对边分别为a/,c,若9=：,b2=-ac,则sim4+sinC=()

34

A.-B.72C.立D.立

222

【答案】C

【解析】

IIQ

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=—,再利用余弦定理有/,再利用正弦定理得到

34

sir?A+sin2c的值，最后代入计算即可.

【详解】因为8=工,/=2。以则由正弦定理得sinAsinC=3sin28=1.

3493

由余弦定理可得:尸=a2+c2-ac=-ac.

4

131313

即:/+d=,,根据正弦定理得sin?A+sin2C=-sinAsinC=—,

4412

7

所以（sinA+sinC>=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因为AC为三角形内角,则sinA+sinC>0,^sin>4+sinC=—

2

故选：C.

12.已知力是d。的等差中项，直线〃r+勿+c=0与圆d+y2+4v_i=o交于A8两点，贝必同的最小

值为()

A.2B.3C.4D-2后

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为从。成等差数列，所以2%=a+c,c=2b-a,代入直线方程ar+力+c=0得

x-l=O

ax-iby+2b-a=0,即a(x-l)+〃(y+2)=0,令“)，+2=0得1

故直线恒过(1,一2),设尸(1,—2),圆化为标准方程得：+(y+2)'=5.

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当时，|44最小,

|PC=1,|/4C|=|r|=^,此时|AB|=2|4耳=2,4仁一PC2=2>/^T=4.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

10

13.'l+xl的展开式中，各项系数的最大值是

13J

【答案】5

【解析】

xlO-r\9-r

rr+,1

C->CJo

3J

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有,进而求出「即

\10-r\Il-r

>cr"1

♦-Jo3J

可求解.

【详解】由题展开式通项公式为（7=C；。-X"04r<10且

13J

”唱「

设展开式中第,—1项系数最大，贝叫

r

yC。>c'-

、29

r>——

42933

=«.即—r<—,又rwZ,故/，=8,

,3344

r<

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为，

故答案为:5.

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为4和弓，母线长分别为2（与一/;）和3（弓一/;）,则两个圆台

的体积之比白=.

【答案】旦

4

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高,再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解

【详解】由题可得两个圆台的高分别为%=也._切2_«_力=75（,

〃乙=，［3（〃一弓）y一6一弓『=2及（〃一G）,

诉1、1%_如+*+同如_际_6（…）8

吃*2+5+6^"）屹坛2&（。-4）4

故答案为：旦.

4

115

15.已知-----------7=--,则〃=_____•

log*I%42

【答案】64

【解析】

【分析】将log*a』og〃4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

1131,5z

【详解】由题■;-------------------------log2«=--,整理得（log、。）一510g2。-6=0,

log8alog“4log,a22\o./d

=>1。82。=-1或1。82。=6,又a>l,

所以log2〃=6=log22',故4=26=64

故答案为：64.

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记”

为前两次取出的球上数字的平均值，，?为取出的三个球上数字的平均值，则〃?与〃差的绝对值不超过！的

概率是_____.

【答案】看7

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为第三个球的号码为则

a-^b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=12。种，

设前两个球的号码为。,加第三个球的号码为j则〃+：+

故|2。-（。+/?）区3,故-3M2c-（〃+〃）43,

故a+〃-3<2。<。+〃+3,

若c=L则4+后5,则（〃例为：（2,3）,（3,2）,故有2种，

若c=2,则l«，+b«7,则（a⑼为：（L3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10种，

当c=3,则3«a+bW9,则（。⑼为:

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16种,

当c=4,则5Wa+〃Wll,同理有16种.

当c=5,则7Wa+bW13,同理有10种，

当c=6,则9W〃+bW15,同理有2种.

共加与〃的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为言=5.

故答案为：白7

IJ

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考

题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进

行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设7为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如果

万>〃+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据油取的150件产品的数据，能否认为

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(洞72.247)

n(ad-be)2

附：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.05000100.001

k3.841663510.828

【答案】（1）答案见详解

（2）答案见详解

【解析】

【分析】（1）根据题中数据完善列联表,计算K—并与临界值对比分析；

⑵用频率估计概率可得0.64,根据题意计算〃+1.65结合题意分析判断.

【小问1详解】

根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得片=150(26x30-24x70)2=75=4即

50xl(X)x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635.

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

【小问2详解】

96

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为y=0.64,

150

用频率估计概率可得万=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率〃=。.5,

则〃+L65、严LO.5+L65、尸于«0.5+1.65x-^-«0.568.

Y〃V15012.247

可知7>〃+1.65，〃“；"),

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.无S“为数列｛4｝的前〃项和，且4s“=3%+4.

(1)求也｝的通项公式；

(2)设5=(-1严叫,求数列也」的前〃项和为7；.

【答案】⑴4=4・(-3严

⑵7>(2〃-1)-3"+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛«,｝的通项公式.

(2)利用错位相减法可求7；.

【小问1详解】

当〃=1时，4S]=4%=3%+4,解得4=4.

当〃22时，4sl=3%+4,所以4s.-4S,i=4an=3an-34T即an=-3an.x,

而4=4H0,故可/0,故fJ=-3,

••・数列｛q｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以a”=4.(-3)1.

【小问2详解】

b,,=(-1)2•〃・4.=4〃.3"T,

所以7；="+4+4+…+〃=4-3°+8-3,4-12-32++4/7-3w-,

故37；=45+8—32+12・33+..+4小3”

所以一27；=4+43+4・32+3+4-3"T-4〃・3"

=4+4.3(；-：')_4〃.3“=4+23(3"T_1)_4〃.3”

=(2-4/?)-3,,-2,

.•.7；=(2〃-1)-3"+1.

19.如图，在以4B,C。，£尸为顶点的五面体中，四边形与四边形49中均为等腰梯形,

BC//AD.EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=阿FB=?6M为AO的中点.

(1)证明：BM//平面CDE；

(2)求二面角/一—E的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

⑵逋

13

【解析】

【分析】(1)结合已知易证四边形4CZW为平行四边形，可证4M〃CO,进而得证；

(2)作8O_LAO交AO于0,连接OF,易证。aO/),。尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公

式即可求解.

【小问1详解】

因为BC"AD,EF=2,AO=4,M为的中点，所以BCHMD,BC=MD,

四边形BCDM平行四边形，所以BM〃CO,又因为平面COE,

CQu平面COE,所以〃平面COE；

【小问2详解】

如图所示，作8O_LAO交A。于。，连接OF,

因为四边形ABC。为等腰梯形，BC/AD,AD=4,AB=BC=2,所以CQ=2,

结合(1)BCQM为平行四边形，可得BM=CO=2,又AM=2,

所以4AAM为等边三角形，。为AM中点，所以。8=石,

又因为四边形AOEF为等腰梯形，M为A0中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形为平行四边形，FM=ED=AF,

所以△AFM为等腰三角形，&ABM与△/1而底边上中点0重合，OF±AM.OF=\lAF2-AO2=31

因为08?+O尸2=B尸2,所以QB，QF,所以OB,ORO尸互相垂直，

以OB方向为X轴，0。方向为y轴，OF方向为Z轴，建立。一4yz空间直角坐标系，

F（0,0,3）,8（疯0,0）,M（0,l,0）,E（0,2,3）,8M=（-石尸=（一石,0,3）,

BE=（一J5,2,3）,设平面BFM的法向量为历二（玉,y,马），

平面EMB的法向量为〃=（毛,J3，z2）,

\m-BM=0->/3x.+y=0广

则即J「，令玉=G,得y=3,马=1,即〃7=(J5,3,1),

w-5F=()-J3X]+3Z]=0

n-BM=0一瓜?+y2=o

则即＜令W=J5,得必=3/2=-1

n-BE=0-\fix2+2y2+3z2=0

/r-\1111A、A

即〃=(63L1),8S〃7,”=瓯=EfTE'则sin〃叱等

故二面角/―8W—E的正弦值为三纪

13

20.设椭圆C:[+与=1（。＞人＞0）的右焦点为尸，点M在。上，且MFLx轴.

a-fr

（1）求C的方程；

（2）过点/4,0）的直线与。交于4.8两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线/W/于点。，证明：

AQJ.），轴.

［答案］⑴£.+£=|

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴设尸化,0）,根据”的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.

⑵设=—4）,A（x，y）,网占,必），联立直线方程和椭圆方程，用A8的坐标表示凹一%,

结合韦达定理化简前者可得X-凡=。，故可证AQ_L），轴.

【小问1详解】

设尸（c,0）,由题设有c=l且工=。，故土二1=3,故〃=2,故力=6,

a2a2

故椭圆方程为上+汇=1.

43

【小问2详解】

直线A8的斜率必定存在，设AB:y=&Q-4）,A（.j），J,8（七,乃），

x2-32k2x+Mk2-\2=0

故△=1024/一4（3+4公）（64攵2一］2）＞0,故_g＜上＜g,

。32k264&2-12

又$+%=而"也

3

而呜,0）,故直线BN：尸*口」|［故）,Q=W=言.

"）2一？X--£X2~J

'22

3%,x⑵3-5)+3)，2

所以）1一"=）'卢

2X2-52x,-5

-4)x(2&-5)+34(占-4)

2^-5

°64——12.32/…

2X]/-5(%+9)+83+4-3+4X

_K_K

2X2-52X2-5

128k2-24-160攵2+24+32A

=k----------3+4/-----------=0,

2X2-5

故y=)b，即AQ_L)，轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程,设交点坐标为(％,y),(4,必)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于“(或V)的一元二次方程，注意△的判断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为%+%、王%(或y+%、y%)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知函数f(x)=(”ox)ln(l+.E)-x.

(1)当〃=-2时，求/(力的极值；

(2)当工20时，〃同之。恒成立，求〃的取值范围.

【答案】(1)极小值0,无极大值.

(2)aS——

2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就'、—，＜。＜0、。之0分类讨论后可得参数的取值范围

22

小问1详解】

当a=-2时，f(x)=(I+2x)ln(1+x)-x,

故/'(x)=2ln(l+幻+^^—l=2ln(1+x)-一—+1,

1+x\+x

因为y=2111(1+4),)，=一个一+1在(-l,+8)上为增函数，

故/（幻在（—1,+8）上为增函数，而广（0）=0,

故当一1＜、＜0时，/（幻＜0,当x＞0时，f\x）＞0,

故/（X）在x=0处取极小值且极小值为/（0）=0,无极大值.

【小问2详解】

\-ax/、(〃+1)K

f(x)=-a\n(\+x)+---------l=-<71n(l+x)-^——

\+x------------'71+x

、c,\/、(4+l)x

设5(x)=-aln(l+x)j———,x>0,

,/—a(a+1)_a(x+l)+a+\_ax+2a+\

2="2

贝心”77r河广——(i+x)(i+A)1

当心一；时，5(X)>0,故s(x)在(O,+8)上增函数，

故s(x)>s(O)=O,即r(x)>0,

所以/(x)在［0,+8)上为增函数，故/(x)>/(0)=0.

,

当一1<4<0时，当0</<一2"+1时5(x)<01

2av7

故s(x)在(0,一等上为减函数，故在(0,-干■。上s(x)<s(O),

即在（0,-子上/'（工）＜0即/（》）为减函数，

故在（0,-子上/（x）＜/（0）=0.不合题意，舍.

当aNO,此时s'（x）＜0在（0,+8）上恒成立，

同理可得在（0,+8）上/（x）＜/（0）=0恒成立，不合题意，舍；

综上，a＜—.

2

【点睛】思路点睛：导数背曷下不等式，恒成立问题.往往需要利用导数判断函数单调件.有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

（-）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

力口汕！有志者事竟成

答卷时应注意事项

1、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有

几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；3、审题

,每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到

暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱

的地方也应该多读1强，比如从小到大，从左到右这样的题；

4、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有

被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注

意，仔细看看有没有遗漏的小题：

5、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再

来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌

了手脚，影响下面的答题；

6、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；

/、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否

有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，

所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果

与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好！经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用

你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。相信你是最棒的！

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点。为极点，1轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标