电路第二章电路分析

第二章线性电路分析的基本方法

电路分析，是指在已知电路结构和元件参数的条件下，分析计算电路

中的电流、电压和功率等。

本章介绍线性电路的三类基本分析方法：

1.方程分析法一选择不同的电压和电流作为求解变量，利用系统的方

法列出描述电路的方程：

2.叠加分析法一运用线性电路的叠加性质分析电路，使含有多个激励

的电路化简为单一激励电路：

3.等效分析法一将复杂结构的电路化为简单结构的电路。

“两类约束”是这些分析方法的基本依据。

§2-1电路的等效变换

“网络”是电路的别称。二端网络是指具有两个端子与外电路相联接

的电路，且进出这两个端子的电流是同一个电流；满足这个条件的这一对

端子为端口（或简称口），该条件也称为端口条件。二端网络亦称为单口网

络。根据二端网络内部是否含有独立电源，可将网络分为不含独立源的二

端网络和含独立源的一端网络。

在相同小i参考方向下，如果一个二端网络M端口的VAR和另一个

二端网络用端口的VAR完全相同，亦即它们在〃一i平面上的VAR曲线完全

重叠，则这两个二端网络便是等效的。“等效”是电路理论中的一个十分

重耍的概念，它将结构复杂的电路化为结构简单的电路，使之便于分析和

计算。

应当注意的是，M和总的内部结构和能量分配可能完全不一样，但对

任一外电路，它们端口都有相同的电压和电流。因此等效是对任意的外电

路而言，而不是指对某一特定的外电路等效。

一、不含独立源的二端网络的等效电路

1、电阻串联及分压公式

图2T7(a)所示串联电阻电路，可等效为一

个电阻Req,如图2-1-1(b)电路所示，其等效电阻iRiR?Rn

^->4Z_3-4ZD-4ZZh

+

Req=R\+R2+.......(2-1-1)

*=1

此式便是图2-1-1所示两个二端网络互为等效的条件。

(a)

显然,当满足式(2-1-1)条件时，图2TT(a)、(b)■

1

两电路端口的VAR完全相同，所以，这两个二端网

力Req

络等效。

串联电阻一般用于“分压”，其分压公式为

(b)

uk=„ku(2-1-2)图2-1-1

k=\

式中珠为〃个电阻串联时第攵个电阻的电压。

例2・1・1如图2-1-2所示，用一个满刻度偏转

电流为50uA,电阻网为2kQ的表头制成10V量程

的直流电压表，应串联多大的附加电阻Rk?

图2-1-2

解满刻度时表头电压为

Us=RJ=2kQX50uA=0.1V

附加电阻电压为

C/k=(10-0.1)V=9.9V

代入分压公式，得

图2-1-3例2-1-1图

解之得

Rk=198k。

2、电阻并联及分流公式

如图2-1-3(a)所示并联电路，可等效为一

个电阻Req,如图2-1-3(b)电路所示，其等效电隹

11.1..1T1

R1%%Rk(2-1-3a)

或Geq=Gi+Gz+.......+G1=£GA(2-1-3b)

上式是2-1-3所示两个二端网络互为等效的条

件。

并联电阻一般用于“分流”，其分流公式为

・Rk・

(2-1-4)

^=--!(b)

ERk

图2A3

k=\

式中，立为〃个电阻并联时第攵个电阻的电流。

对于只有两个电阻R和&并联的电路

(图2・1-4),等效电阻

R二R1R2

例-Ri+R2

此时，分流公式为

R

・=2_RI.

产21i2二瓦银(215)

例2-1-2某电流测量档的电路如图2-1-5所

示，其万用表的表头满刻度电流/b=lmA,内阻Rb=65

Q,且知&=925Q和分流电阻R.10Q,试求这一档

的电流量程(即表头指满刻度时图中/的数值)。

解根据分流公式，得

九"2)+&

图2-1-5

故

(改什&)+斗，925+65+10o

1=------/b=—"——10-3=0.1A

Rf10

例2-1-3求图2-1-6(a)所示电路中a,b端

的等效电阻。

解为了便于看清电路中各元件的联接关系，

可将无电阻的支路缩短，最好缩成一点，改画为图

(b)所示电路；然后按照串、并联形式将电路改

画为图(c)所示电路。在电路的改画中可以先标

出各节点代号，各元件与相应节点的联接关系不

变。由图(c)可得a,b两端的等效电阻

10x10+4)x18

TO+TO

Q=40+60=10。

。笨。+10x10

+4)+18

TO+TO

例2-1-4图2-l-7(a)所示为电桥电路，Ri、&、

图2-1-6

心和心为四个桥臂电阻。当对角线支路电阻飞无电

流通过时，电桥达到平衡状态。试推出电桥平衡时，

四个桥臂电阻的关系式。

解由于电桥平衡时，Rg支路无电流，所以可

将这条支路断开，得出如图2-1-7(b)所示等效电路,

则有

i\=i2Z3=Z4

又因为电桥平衡时，Rg中无电流，则无论为何

值(只要为有限值)，该支路电压等于零，即节点②

和④是等位点，所以可将这两点节点短路，得出如图

2-1-7(c)所示等效电路，则有

R\i\=R3l3/?2Z2=7?4Z4

把上两式相除，并把电流关系式代入，

得电桥平衡时四个桥臂电阻的关系式

&二豆

即R\RA=RIR3

上式表明，当电桥中两个相对桥臂电阻的乘积相等

时，则该电桥达到平衡，这即是电桥平衡的条件。此

时的电桥称为平衡电桥。图2-1-7

通过本例题的分析，可以得出如下普遍适应的

两个结论：

(1)对于电路中电流为零的支路可以断开；

(2)对于电路中电位相等的点可以短路。

利用这两个结论来分析电路，往往可以使电路

得到简化。

3、含受控源的二端网络的等效电路图2-1-8

①等效电路对于仅含电阻和受控源的二端

网络，其等效电路也是一个电阻，该电阻等于该

二端网络的输入电阻Rin。

②“外加电源法”

对于图2-1-8(a)所示的仅含电阻和受控源的

二端网络No,可用“外加电源法”求其输入电阻Rin,

即在端口1-1'处加一个电压源[图2-1-8(b)],或在

端口1-r处加一个电流源[图2-1-8(c)],写出端匚

的VAR方程式，则

Req=%=菅(2-1-6)

o------

对于仅含电阻的二端网络，若不能用串并联的V

(d)

方法求得其等效电阻，亦可以采用“外加电源法”。

图2-1-8

例2-1-5求2-1-9图示电路的等效电阻Req。

解该电路为含电阻和受控源的二端网络，不I

能通过电阻串并联等效化简的方法求其等效电阻，而

必须采用“外加电源法”。

在端口加一个电压源，由KVL得出端口的VAR

图2-1-9

方程式为U=R\I-rl

即U=(R\-r)I

10Q

所以Req=Rin=¥=R1一1

由上式可知，当r<Ri时，心q为正电阻；当/>/?!

时，Req为负电阻；当片&1时，Req=O0这里出现负

电阻和/?eq=0的原因是网络中含有受控源。

例2-1-6求图2-1-10示一端网络的等效电阻

Kabo

解在端口加一个电压源U,并将受控电流源

与电阻并联等效为受控电压源与电阻串联，由KVL

得出端口的VAR方程式为

U=-20/+20U-U/10)

即U=0

所以/?ab=0

二、星形联结与三角形联结的电阻电路的等效

变换

如图2T-11(a)所示，将三个电阻元件的一端

连接在一起，另一端分别连接到三个不同的端子上，

称为星形联结，简称Y形联结或T形联结。而如图

2-1-11(b)所示，将三个电阻依次接在三个端子的

每两个之间，使三个电阻本身联成一个三角形，称为

三角形联结，简称△形联结或口形联结。星形联结与

⑹

图2-1-11

三角形联结的电阻电路属三端电路，当这两个电路相

应端子的VAR完全相同时，也可以等效互换。

在电路分析中，为了将含Y形联结或△形联结

的电阻电路变成串、并联电路来求解，经常需要将Y

形联结的电阻电路等效变换成△形联结的电阻电路，

或反之，这种等效变换简称为Y—△变换。

1.已知Y形联结电路求A形联结等效电路

其等效变换条件是：

_氏1&+区24+氏3%

=n

《I(217)

氏］&+&&+&3Kl

区31=

品

2.已知△形联结电路求Y形联结等效电路

其等效变换条件是：

R_-2禽1

K12+&3+&1

&3处2

R)=---------------------

R12+&3+R31(2-1-8)

&1禽3

Ra=---------------------

R12+R23+&1

当Y形电路的三个电阻相等，即R产R2=R3=RY

时，称之为对称Y形联结的电阻电路；当△形电路的

三个电阻相等，即Rl2=R23=/?31=R\时，称之为对称A

形联结的电阻电路。对称Y形电路经Y・△变换后得到

一个对称△形电路，反之亦然。并且

RA=3RY(2-1-9)a

1

RY=TRA(2-1-10)12a12a

图2-1-12所示为对称Y形电阻电路和对称A形

电阻电路的等效变换示例。

16am

例2-1-7求图2-l-13(a)所示电路的等效电阻4

b(>

解可利用Y—△等效变换把电路变换为串、并

联的电路，然后用串、并联等效化简方法求解。对于

图2-1-13(a)电路可以有四种变换方式：将节点1、

2、3之间或节点2、3、4之间的△形电路等效变换为

Y型电路；将与节点2相连或与节点3相连的Y形

电路变换为△形电路。

现将节点1、2、3之间的A形电路等效变换为Y

型电路，如图2-l-13(b)电路所示，由式(2-1-8)可

得

—二/WQ*"

再用电阻串、并电路的等效化简方法得到图(c)、图(d)

电路，可见

(c)

/?ab=8Q

三、实际电源的模型及其等效变换a

口8c

1.实际电源的两种电路模型

对于一个电池来说，如果没有接负载，处于开b

路状态，其端电压最高；随着负载电流的增大，其端

电压要逐渐下降，而且不成线性关系，其端口的VAR(d)

图2-1-13

曲线(亦称为电源的外特性)如图2-1-14(a)所示。

但是，在一定的负载电流范围内，这个下降的VAR曲

线，可以近似认为是一条直线，如图2TT4(b)所

示。该直线与〃轴的交点，相当于七0时的电压，即

开路电压以；与i轴的交点，相当于〃二。时的电流,

即短路电流晨。由图可得

u-〃但一△u

式中△〃为开路电压心与电压〃之差，它是由电源

内阻R、.引起的，故可知

△u=RJ

代入上式，得(b)

u~K?(2-1-11)图2-1-14

令以二〃心作出实际电源一种电路模型，如图2-1-15

(a)所示。它由电压源公和电阻K的串联组成，称

(I.

为实际电源的电压源模型。

将上式改写为-u

(a)

i

i=-^-Ge=—--------r**0

令'区及区代入上式得+

—，u

i-i-Gsu(2-1-12)

由此式可作出实际电源的另一种电路模型，如图

2-1-15(b)所示。它由电流源L和电阻G的并联(b)

图2-1-15

组成，称为实际电源的电流源模型。

在处理工程问题时，当实际电源内阻尼与外界的

负载电阻吊相比可以忽略不计(即兄。血)时,就可以

将实际电源近似为电压源；反之，若内阻尼远大于负

载电阻而(用＞＞而)，即时，可以将实际电源近似

为电流源。

2、两种电路模型的等效变换

由以上讨论可知，图2-1-15所示的实际电源的两种电路模型一电压源

模型和电流源模型,其端口的VAR,式(2TT1)和式(2-1-12)在一定的条件

下是完全相同的，因此这两种电路模型可以等效变换，其等效条件为

或RsJ(2-1-13)

以f=RJg]

R萨古J(2-1-14)

注意变换前后电压源以与电流源A的参考方向！它们两者采用的是不一

致的参考方向。

实际电源两种电源模型的等效变换，给我们进行电路分析带来许多方

便。而且，上述电源模型的等效变换可以推广至含独立源支路的等效变换，

即一个电压源与电阻相串联的组合和一个电流源与电阻相并联的组合也可以

进行等效变换，而这个电阻不一定就是电源的内阻。

具有串联电阻的电压源常称为“有伴电压源”，具有并联电阻的电流源

常称为“有伴电流源”。有伴电压源和有伴电流源才能进行等效变换。受控电

压源与电阻相串联的组合和受控电流源与电阻相并联的组合，也可以用上述

方法进行等效变换。此时，把受控源当作独立源处理，但应注意在变换过程

中，不要将控制量所在支路消掉。

四、含独立源支路的串联与并联的等效电路

1、电压源的串联

ab

设一二端网络由〃个电压源串联组成[图2-1-16

(a)],根据KVL,可以等效为一个电压源，如图

2-1-16(b)所示。其等效条件为

Ms=Msl-Ms2+,,,+Hsn=EWskD+U

(2-1-15)ab

在上式中当"sk的参考方向与外的参考方向一Cb)

图2-1-16

致时,必k的前面取“+”号,否则取“一”号。

2、电流源的并联

设一个二端网络由〃个电流源并联组成[图

2-1-17(a)],根据KCL,可以等效为一个电流源，

如图2-1-17(b)所示。其等效条件为

Zs=Zsi-Zs2+,,,+isn=Eisk(2-1-16)

在上式中，当氤的参考方向与is的参考方向一

致时，氤的前面取“+”号，否则取“一”号。(b)

图2-1-37

3、电压源与其它元件的并联

如图2-1-18(a)所示电路，其中N'可为除电

压源以外的其它任意元件。根据§1-5介绍的电压源

的特性，图(a)电路端口的电压恒为一定值，即

u=Ms(2-1-17)

因此整个并联组合可等效为一个电压为小的电压源，

如图2-1-18(b)所示。N的存在与否并不能影响

端口的VAR,所以从端口等效观点来看，2称为多

Cb)

余元件，在电路分析中可将其断开或取走，而对外部

图2-1-18

电路没有影响。但是，图(b)中的电压源和图(a)

中的电压源的电流和功率是不相等的。

若V为电压源，则其端电压大小和极性必须

与并联的电压源相同，否则不满足KVL,不能并联。

4.电流源与其它元件的串联

如图2T-19(a)所示电路，其中N'可为除电

流源以外的其它任意元件。根据§1-5介绍的电流源

的特性，图(a)电路端口的电流恒为一定值，即

曰(2-1-18)(b)

图2-1-19

因此整个串联组合可等效为一个电流为L的电流源，

如图2-1-19(b)所示。V的存在与否并不能影响

端口的VAR,所以从端口等效观点来看，N'亦称为

多余元件，在电路分析中可将其短路，而对外部电路

没有影响。但是，图(b)中的电流源亦和图(a)中

的电流源的电压和功率不相等。

若N'为电流源，则其电流大小和方向必须与

串联的电流源相同，否则天满足KCL,不能串联。

例2・1・8求图2-1-20(a)所示电路的电压U。

解根据前述的电压源与其它元件并联、电流

源与其它元件串联的等效变换；有伴电源的等效变

换；电流源并联的等效变换；电阻串、并联的等效变

换等知识，图2・l・20(a)所示电路依次化简为电路图

(b)、图(c)、图(d)电路。

由图2-1-20(d)得

乙丁乙丁JL

例2・1・9求图2-1-21(a)所示电路的电流i。

(d)

解利用等效变换，把受控电流源与电阻相并

图2-1-20

联的组合变换为受控电压源与电阻相串联的组合，如

图2-1-21(b)所示电路。其中uc=R2ic=2R2i,根据

KVL,有：

Rii+Rzi+gUs

即6升3汁2X3i=15

则z=lA

图2-1-21

§2-2支路电流法

以支路电流为求解变量，根据两类约束

列出数目足够且独立的方程组求解电路的方

法称为支路电流法。

如图2-2-1所示，该电路的节点数/7=2,

支路数8二3,各支路电流的参考方向和编号如

图所示。它能列出的独立方程有三个：一个

图221

节点电流方程和两个回路电压方程，恰好等

于电路的支路数，即等于电路的支路电流的

个数。

三个独立方程如下：

节点1-i-i2+i3=0

回路LiM3+凡久一人尸0L(2-2-1)

回路L>2-RZi2~斤3i3+〃s2=CJ

联立求解上述方程组，即可求得个支路

电流。根据元件的VAR和功率计算式，则不

姓计算各元件(支路)电压和功率。

支路电流法分析电路的步骤如下：

(1)选定各支路电流的参考方向，并标示

于电路图中；

(2)根据KCL对(〃-1)个独立节点列出节

点电流方程；

(3)选取+1)个独立回路(平面电路

一般选网孔作为独立回路)；指定回路的绕行

方向，根据KVL列回路电压方程，并将各元

件电压用支路电流表示；

(4)联立求解方程组得出各支路电流，根

据需要求出其它待求量。

例2-2-1列写用支路电流法求图2-2-2

所示电路中各支路电流的方程。

解此电路的支路数力二6,需列出6个

独立方程求解各支路电流。

设各支路电流参考方向如图所示。选取

节点1、2、3为独立节点，用KCL列节点电

流方程

图222

-/l+/4+/5=0

-h-/5+/6=0

h-h-k=0

选取L1、L2、L3网孔为独立回路，设各

独立回路的绕行方向为顺时针方向，根据

KVL列回路电压方程，得

50/4-1075-40/6=0

20/1-10/2+1075-50+20=0

10/2+5/3+40/6+10-20=0

联立上述方程求解，可得各支路电流。

对于支路数较多的电路，可用计算机求解。

支路电流法是以各支路电流为未知量列

方程的，当电路含电流源时，则该电流源支

路的电流已知，因而可以少列一个方程。由

于电流源的端电压是未知的，故在选取独立

回路时，应避开含该电流源支路的网孔。

例2-2-2电路如图2-2-3所示，试求电

流/和电压U\。

解先指定各支路电流的参考方向。4为

电流源的电流值，即4二1A

对节点a列KCL方程，有

-/-1+7=0

以顺时针方向为绕行方向，对左面的网

孔列KVL方程，有

10/>+15/=20

图2-2-3

解上述两方程可得1=1.2A1=0.2A

则〃尸（1QX0.2）V=2V

如果电路中含有受控源，需将受控源视

为独立源列写电路方程。当其控制量是支路

电流时，列写方程的方法不变；当其控制量

不是支路电流时，则在列写支路电流方程后，

再补列一个用支路电流表示控制量的辅助方

程。

例2-2-3电路如图2-2-4所示，试用

支路电流法求解各支路电流。

解设支路电流力、/.2、选取独立回

路1、2如图2-2-4所示°

图2-2-4

首先，对节点1列KCL方程，有

-Z1+Z2+Z3=O

然后，以顺时针方向为绕行方向，分别对回路1、2

列KVL方程，有

2zi+i3T0=0

2Z2-13+u\=0

补列辅助方程

u\=2i\

解得zi=3AZ2=-1A/3=4A

§2-3网孔电流法

一、网孔电流

网孔电流是一种沿网孔边界流动的假想

电流的代数和，与支路电流参考方向一致的

网孔电流取“+”号，反之，取“一”号。

由于流入节点的网孔电流一定流出该节

点，所以每个节点的网孔电流自动满足KCL,

亦即网孔电流不受KCL约束。所以，用网孔

电流作为变量时，只需按KVL列写方程。

二、网孔电流法

以网孔电流为求解变量，根据KVL和元件VAR对网孔列出

电压方程求解电路的方法称为网孔电流法。由于全部网孔是一组独

立回路，故这组方程是独立的。

在图2-3-1所示电路中，设网孔的绕行方向与网孔电流方向相

同，根据KVL和元件VAR列写网孔的电压方程如下：

网孔1/?lZMl+/?2(ZMI-ZM2)—Ms1=0)

I[2,-3-1)

网孔27?3ZM2—7?2(ZMl-ZM2)+Ms2=0J

上述方程组，简称为网孔方程。为了便于求解，将求解变量

按顺序排列并加以整理得

（R1+R2）ZMl—/?2/M2=Msl]

-7?2ZMl+（/?2+7?3）ZM2=_Us2J（232）

从式（2-3-2）可知，前的系数（RI+«2）是网孔1的所有

电阻之和，称为网孔1的自阻，用R”表示。iM2前的系数（一R2）

是网孔1和网孔2之间的公共支路上的电阻，称为互阻，用心2表

示。同理，网孔2的自阻R22二R2+R3,网孔2和网孔1之间的互阻

R2i=-R?。由于网孔绕行方向和网孔电流方向取为一致，故R1]和

&2恒为正值。互阻为负值，是因为流经公共支路的两个网孔电流

方向相反；若通过公共支路的两个网孔电流方向相同，则互阻为正

值。可见，当各网孔电流的方向和网孔的绕行方向均设为顺时针方

向时，则互阻总是负值。若两个网孔的公共支路上的电阻为零（如

公共支路仅有电压源），则互阻为零。在本电路中，/?12=7?21=-/?2；

而对于含受控源的电路，有些互阻RjkWRkj。式（2・3・2）右边项分

别是网孔1、网孔2各电压源电压升的代数和；当电压源由负极到

正极的参考方向与网孔绕行方向一致时取号，否则，取“一”

号，可分别记为〃si1,Ms22；本电路中的Wsl1=Msl»Ms22=-Ws2o

为便于列写电路的网孔方程，将方程组（2-3・2）写成

R\IZMl+/?12ZM2=WslI、

。・皿・C（233）

/<2HMl+/?22/M2=Ms22

这就是具有两个网孔电路的网孔方程

的一般形式。

对于具有m个网孔的电路，其网孔方程的一般形式可参照

（2-3-3）得出为

Rll，Ml+Rl2iM2+…+=I

/?21，Ml+R22iM2+…+RlmlMm=Ms22

(2-3-4)

RmII+Rm2,M2+…+RmmiMm-Wsmm

网孔电流法分析电路的步骤如下：

(1)选定各网孔电流的参考方向，并将网孔电流的方向认定为

列网孔KVL方程的网孔绕行方向，一般习惯于取顺时针方向并标示

于电路图中；

(2)按照式(2-3-4)网孔方程的一般形式，列写网孔方程，

而不必写出推导过程。注意自阻恒为正值，而互阻的正负，由相关

的两个网孔电流通过互阻时，其参考方向是否相同而定，并注意方

程式右边项取代数和时各有关电压源前面的符号；

(3)联立求解网孔方程，解得各网孔电流；

(4)选定各支路电流的参考方向，求解支路电流，支路电流是

有关网孔电流的代数和，根据需要求出其它待求量。

例2-3-1用网孔电流法求图2-3-2所示电路各支路电流。

解(1)在图2-3-2所示电路中，选取3个网孔分别为、

ZM2、，M3,它们的参考方向如图所示。

(2)根据KVL,列出三个网孔的网孔方程为

(1+2.5+1)/Ml—ZM2-2.5ZM3=12

-ZM1+(1+5+1)ZM2-5ZM3=12

—2.5ZMI-5ZM2+(2.5+5+5)ZM3=0

(3)联立求解上述方程，得

ZM1=5.25A,ZM2=4.5A,ZM3=2.85A

(4)选取该电路的各支路电流的参考方

向如图所示，由于支路电流是有关网孔电流图2-3-2

的代数和，得各支路电流

zi=ZMI=5.25A,

12=ZMI-ZM2=0.75A,

/3=ZM2=4.5A,

/4=ZMI-ZM3=2.4A,

Z5=ZM2—ZM3=1.65A,

Z6=/M3=2.85A

三、含电流源支路时的分析方法

当电路中含有伴电流源时，可以将其等效变换为有伴

电压源，然后列网孔方程。

当电路中含有的无伴电流源支路处于边界网孔，即单

独属于一个网孔时，则该网孔的网孔电流已知，该网孔的

KVL方程可以不列。若无伴电流源支路处于两网孔的公共

支路上，在列网孔方程时需要考虑电流源的端电压，可以

假设电流源的端电压为N,在列网孔方程时把电流源视同为

端电压等于〃的电压源，由于〃是未知量，故必须增补一个

独立的辅助方程，一般把电流源电流表示成流经该电流源的

网孔电流的代数和。

例2-3-2试列写图2-3-3(a)所示直流电路的网孔方

程。

解将2A电流源、5。电阻并联组合的有伴电流源等效

变换为电压源与电阻串联支路；1A无伴电

流源为网孔2和网孔3共有，设该电流源的

端电压为〃；如图2-3・3(b)所示。

(1)选取网孔电流ZMls，M2、，M3，并

设定网孔绕行方向与网孔电流方向相同，如

图2-3-3(b)所示。

(2)对各网孔列KVL方程为

(50+40+10)ZMI_10/M2-40ZM3=0

—10ZMI+(10+20)ZM2=50-MI

—40ZMI+(40+5)ZM3=u-10I

由于上述三个方程有四个未知量/Ml>

八12、ZM3和U,故还需增加一个方程，为此

对1A电流源列辅助方程为

，M3—ZM2=1

注意，在列写网孔方程时，一定要把公

共支路的电流源的端电压计入。

四、含受控源支路时分析方法

如果电路中含有受控源，可将受控源按

独立源处理，列写方程的方法不变，但应设

法将控制量用网孔电流表示，当受控源是受

控电流源时，可参照前面处理独立电流源的

方法进行。

例2・3-3已知图2-3・4所示含受控电压

源电路中的Ud=r/a,Z=5kQ,试用网孔法

求电压Udo

解选取网孔电流/MI、/M2>/M3如图

图2-3-4

所示。列网孔方程为

(1+3)/MI-/M2—3/M3=5.

—IM(1+4.5)IM2=Ud>

—3/MI+(3+4)/M3=—UdJ

将受控源的控制量用网孔电流表示，增

补方程Ud=r/a=5/a

/a=/MI—/M3

将上述两个方程代入网孔方程中消去

Ud,得出只含网孔电流变量的网孔方程

4/MI-/M2—3/M3=5、

—6/MI+5.5/M2+5/M3=0>

2/MI+2/M3=0

解方程组求得

/MI=1mA/M2=2mA/M3=-1mA

因此/a=/MI—/M3=2mA

受控电压源的电压

Ud=y/a=5kQX2mA=10V

由上述讨论可见，网孔电流法较之支路电流法省去了

(n-l)个KCL方程，只需列写出个KVL方程，从而

简化了电路计算。由于网孔的概念只是用于平面电路，因此，

网孔电流法只适用于平面电路。

§2-4节点电压法

一、节点电压

在电路中任意选择某一节点为参考节点，则其它节点为

独立节点。各独立节点与参考节点之间的电压称为节点电

压，其参考方向是由独立节点指向参考节点。显然，对于具

有〃个节点的电路，就有(〃-1)个节点电压。由于任一支

路都连接在两个节点上，所以支路电压等于节点电压或相关

两个节点电压之差。

例如图2-4-1所示电路，电路的节点数为3,支路数为6o

以0为参考节点，则1、2为独立节点。节点电压分别用〃NI、

“N2表示，支路电压分别为：

U\=M4=WN1

112=U5="N2

W3=U6=Z/NI-〃N2。

因此，在求出各节点电压后就可

以求得各支路电压，进而根据元件的

图241

VAR可求得各支路电流。任一回路中各支路

电压若用节点电压表示，其代数和恒等于零，

因此节点电压对所有回路均自动满足KVL,

所以，用节点电压作为电路变量时，只需按

KCL列出电流方程。

二、节点电压法

以节点电压为求解变量，根据KCL和元件VAR对独立节点

列KCL方程。

在图2-4-1所示电路中，根据KCL列写节点1、2的电流方程，

得/l+Z3-/sl+Zs3=O1

Z2-Z3-Zs2-Zs3=0J(2-4-1)

据元件VAR,有

G1〃N1+G3(〃N1-〃N2)—isl+is3=0

G2〃N2-G3(〃N1-〃N2)—is2-is3=oJ(2-4-2)

上述方程组简称为节点方程。为了便于求解方程，将求解变

量按顺序排列并加以整理得

(G1+G3)〃NI—G3〃N2=isl-is3

—G3MN1+(G2+G3)MN2=/'S2+J(2-4-3)

对于上式可令Gll=Gl+G3,G22=G2+G3,分别称为节点1、2

的自导，它等于联接于该节点的各支路的电导之和；令G2二一G3,

称为1、2节点间的互导，它等于联接于两节点间的各支路电导之

和的负值。自导恒为正值，互导恒为负值。这是由于设定的节点

电压的参考方向均由独立节点指向参考节点，所以各节点电压在自

导中所引起的电流总是流出该节点，故在该节点电流方程中，这些

电流前取号，因而自导恒为正值。但是，另一个节点电压通

过互导所引起的电流总是流入本节点的，所以在本节点的电流方程

中，这些电流前应取负号，因而互导恒为负值。在本电路中互导

G12=G21=—G3,但对于含受控源的电路，有些互导Gjk^Gkjo式

(2-4-3)右方的(isl—is3)、(Zs2+/s3)分别表示流入节点1、2的电

流源电流的代数和，流入取“+”号，流出取“一”号，可分别计

为is】l、is22,即

Zsll=isl—is3

ls22=is2+is3

与网孔电流法相似，为便于写出节点方程，将方程组(2-4-3)

写成

G11WN1+Gl2WN2=ZsllI

G21WN1+G22um=is22J(2-4-4)

这就是具有两个独立节点的电路的节点方程的一般形式。

对于具有(〃-1)个节点的电路，仿照上式可得出节点电压方程

的一般形式为

G1IMNI+GI2MN2+•••+GlnMN(n-l)=ZslI'

G21WN1+G22MN2+e,,+G2nWN(n-l)=Zs22(2-4-5)

••••••

G(n-1)1MNI+G(n-1)2MN2+G(n-l)(n-l)WN(n-l)=is(n-l)(n-1),

节点电压法分析电路的步骤如下：

(1)选定参考节点，标出节点电压，其参考方向通常是独立

节点指向参考节点；

(2)按照式(2-4-5)节点方程的一般形式，列写节点方程，

而不必写出推导过程。注意：自导恒为正值，互导恒为负值；并注

意方程式右边项取代数和时各有关电流源电流前面的“+

符号；联立求解节点方程，解得各节点电压：

(3)选定各支路电流的参考方向，求解支路电流：根据需要

求出其它待求量。

例2-4-1试用节点电压法求图2-4-2所示电路中的各支电路

电流。

解上述方程得

MN1=6VWN2=12V

所以zi=6AZ2=-3A,3=4A

三、含电压源支路时的分析方法

当电路中含有伴电压源时，可以将其等效变换为有伴电流源，

然后列节点方程。

当电路中含无伴电压源时：

1.尽量取电压源支路的负极性端为参考节点，这时电压源端电

压成为已知的节点电压，故不必再对该节点列写节点方程；

2.若电压源两端均不能成为参考节点，在列写节点方程时，把

电压源视同为电流等于i的电流源，由于i是未知量，故必须增补一

个独立的辅助方程，一般把电压源的电压表示为两节点电压之差。

例2・4・2试用节点电压法，求图2・4・3(a)

所示电路的节点电压。

解图2-4-3(a)所示电路中含有三个有伴

电压源，分别等效为有伴电流源如图(b)所示，

选取节点0为参考节点，1为独立节点。对节

点I列出节点方程

工+，+工+，)如=2+三-马

RiR2R3R，%R2&

则

%UJ27,31111

UNI=(-^-+后一右)/(R+R+5+R)

£\\£\