2024届上海大学附中数学高二年级上册期末达标检测试题含解析

2024届上海大学附中数学高二上期末达标检测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知关于”的不等式f—ov—z7Vo的解集是（-2,3）,则。+力的值是（）

A-5B.5

C.-7D.7

2.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若2必=出+6,则4=（）

A19B.42

C.35D.24

3.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于。

(W)

A.2B.6

C.14D.30

21+），-44（）

4.设实数x,y满足,2x—，则目标函数z=434「的最大值是O

x-2y+2<0

C.16D.32

221

5.已知椭圆C：工+工=1（加>〃〉0）的右焦点和右顶点分别为凡4离心率为之,且|『=1,则〃的值为（）

mn2

A.4B.3

C.2D.6

6.若函数y=lnx-G：有两个零点，则实数。的取值范围是（）

A.（TB《,1）

（r\

7.已知数列｛4｝是等差数列，其前〃项和为s“，则下列说法错误的是（）

A.数列｛2%｝一定是等比数列B.数列｛In与｝一定是等差数列

C.数列，手｝一定是等差数列D.数列｛q+｝可能是常数数列

8.已知〃，人是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是O

=a2-b~B.（5+力）=a2+b2

r；

r,rabf

C\Aa\=A2a2D•丙二〃

9.圆C：2/+2y2+6x—4y—3=0的圆心坐标和半径分别为（）

（3、

A.一一,1和4B.（一3,2）和4

I2）

C.和D.（一|,l和

10.经过点尸（26,6）且与双曲线［-1=1有共同渐近线的双曲线方程为（）

=lBX-^=1

6868

cX-21=lD.匕-三=1

8686

22

11.椭圆C:*■+/■=l（a>/>>（））的左右两焦点分别为K，F”过6垂直于X轴的直线交C于A,8两点,

G

ZAF2B=60t则椭圆。的离心率是（）

A.V3-1B.—

2

C至D.-

32

12.命题+之0”的否定是（）

A.VjtG+y/x>0B.3.VG<0

C.VxG7?,|x|+\/x<0D.Hr7?,|A^+Vx<0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.椭圆C：二+丁2=1（〃>0）的左、右焦点分别为匕，F2,尸为椭圆上异于左右顶点的任意一点，尸"、尸鸟的

cr

中点分别为M、N,O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4,则△*7；入的周长是

14.若抛物线）3=〃a的焦点与椭圆三+三二1的右焦点重合，则实数m的值为.

15.设匕，A分别是椭圆C：《+身=1的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若居为等腰三

2516

角形，贝!M的坐标为

16.已知。二（3,2,-1）,/?=（-hx-l,D，则X的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,,（3

17.（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（—2,0）,8（2,0）,C1,-三点，求椭圆E

的标准方程

18.（12分）已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，首项q=l,且4，/,卬成等比数列

（1）求数列｛〃“｝的通项公式；

（2）设数列色｝满足勿=%+2%,求数列｛〃｝的前〃项和Tn

19.（12分）已知函数），=，（XWO）的图像为曲线C,点耳（血,、万）、5（一五,一五）.

（1）设点〃（不，儿）为曲线C上在第一象限内的任意一点，求线段”的长（用玉表示）；

（2）设点Q为曲线C上任意一点，求证：|Q6||为常数；

（3）由（2）可知，曲线。为双曲线，请研究双曲线C的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.

20.（12分）已知椭圆£=的离心率为:，点46,4）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）己知直线/:丁=4口一3）四，0）与椭圆（?交于以。两点，点M是线段P。的中点，直线/'过点M,且与直线/

垂直.记直线/'与y轴的交点为N,求|MN|的取值范围.

21.（12分）己知。，b,。分别是锐角一ABC内角A,B,C对边，a=2b，sinA=^.

4

（1）求sin3的值；

（2）若▲ABC的面积为后，求c•的值.

22.（10分）已知椭圆。：£+白=1（。>〃>0）的离心率为冬且经过点佚用.

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过点用（0,2）的直线/与椭圆C交于不同的两点A,B,。为坐标原点，若（M6的面积为侦，求直线/的

方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】由题意可得/一公:-力=0的根为-2,3,然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果

【题目详解】因为关于x的不等式x2-aA-b<0的解集是（-X3）,

所以方程依一。=0的根为—2,3,

-2+3=4a=\

所以《7，得“

-2x3=-Z?b=6

所以。+。=7,

故选：D

2、B

【解题分析】利用等差数列的性质可求得知的值，再结合等差数列求和公式以及等差中项的性质可求得邑的值.

【题目详解】由等差数列的性质可得=6+6=%+%，则4=6,

故S?=」（♦；%）=7%=42・

故选：B.

3、C

【解题分析】模拟运行程序，直到〃=4得出输出的S的值.

【题目详解】运行程序框图，«=1,1<3,5=2；〃=2,2<3,5=6；〃=3,3<3,5=14；4>3,输出

5=14.

故选：C

4、C

【解题分析】求z=4"-）'的最大值即求的最大值，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线

经过可行域内的点，将目标/与直线的截距建立联系，然后得到何时目标值取得要求的最值，进而求得，的最大值，最

后求出z的最大值.

【题目详解】要求z=43s的最大值即求，=3x-），的最大值.

根据实数x,满足的条件作出可行域，如图.

将目标函数1二3X一》化为》=3工一/・

则t表示直线y=3x-f在），轴上的截距的相反数.

要求t的最大值，即求直线y=3x-f在,y轴上的截距最小值.

如图当直线y=3x-r过点。时，在y轴上的截距最小值.

2x+y-4=0，解得4^）

由《

x-2y+2=0

所以，=3五一)，的最大值为|x3-1=2,则2=43s的最大值为16.

\FA\=4^-S!m-n=1

【解题分析】根据椭圆方程及其性质有•,求解即可.

e

|FA|=\fin-yjm-n=1

\[m-y]in-n=1加=4

【题目详解】由题设，,整理得——L，可得一2・

2y/lm-n=y]m-3

故选：B

6、C

【解题分析】函数y=lnx-&T有两个零点等价于方程1”一办=()有两个根，等价于>与)，=皿(1>0)图象有

X

InY

两个交点，通过导数分析y=一(x>0)的单调性，根据图象即可求出求出〃的范围.

x

【题目详解】函数y=lnx-ox•有两个零点,

方程In%-or=0有两个根，

InY

vx>0,分离参数得。二一，

X

Inr

.•.y=〃与),=—(x>0)图象有两个交点，

x

A/、Inx八、

令g(x)=—(X>0),

X

\g'(x)=l-p”,令夕(x)=。，解得x-e

厂

当0Vx时，g'W>0,g(x)在(0,e)单调递增,

当x>e时，g'(x)<0,g(x)在(e,+8)单调递减，且g(x)>0

月。)在x=。处取得极大值及最大值g(e)=

e

可以画出函数g(x)的大致图象如下：

观察图象可以得出0<。<，.

e

故选：C.

【题目点拨】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的

关键.

7、B

【解题分析】可根据已知条件，设出公差为d,选项A,可借助等比数列的定义使用数列｛%｝是等差数列，来进行判

定；选项B,数列｛In%｝,可以取%VO,即可判断；选项C,可设S”=A1+8〃，表示出。再进行判断；选项D,

n

可采用换元，令2=4+4.1，求得一仇的关系即可判断.

【题目详解】数列｛4｝是等差数列，设公差为d,

选项A,数列｛4｝是等差数列，那么装=2〃为常数，

又2%>0,则数列｛2%｝一定是等比数列，所以选项A正确；

选项B,当4V。时，数列｛Inq｝不存在，故该选项错误；

选项C,数列｛《,｝是等差数列，可设S“=A〃2+B〃(4、〃为常数),

S

此时，Cn=〃=人拉।8,则C„+l-Cn=A为常数，

n

s

故数列11一定是等差数列，所以该选项正确;

n

选项D,2=/+《用，则〃+1-a=4什2+/=21，

当"=0时，W。,此时数列｛q+4用｝可能是常数数列，

故该选项正确.

故选：B.

8、C

【解题分析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.

【题目详解】解：对A：因为。♦/2二同-。85<4]>,所以（』•〃）2cos故选项A错误；

对B:因为（G+力『u/+zad+b，故选项B错误；

对C:因为（/）2=万宗，故选项。正确；

r1

abr[

对D：因为下「=|0cos<〃/>,故选项D错误

故选：C.

9、C

【解题分析】先将方程化为一般形式，再根据公式计算求解即可.

【题目详解】解：2丁+2_/+6工-4｝，-3=0可化为/+），2+3工一2），一彳=0,

由圆心为（一一g）,半径「=；JD?+炉一4厂,易知圆心的坐标为[一,半径为

故选：C

10、C

【解题分析】共渐近线的双曲线方程，设把点p（2g,后）代入方程解得参数即可.

【题目详解】设把点P（2G,G）代入方程弓-?=九解得参数4=2,所以化简得方程工-工=1

故选：C.

11、C

【解题分析】由题可得-4^3为等边三角形，可得2c=@x生，即得.

2a

【题目详解】二•过K垂直于X轴的直线交椭圆C于A,8两点，乙4巴8=60°,

・・..乂入3为等边三角形，

2212

由X=-C代入[+[=],可得y=士生，

a2b2a

：.2c=—x—t所以2〃C=G(C/-C2),

2a

即由/+2”6=0,又e«0,l),

解得e=且.

3

故选：C.

12、C

【解题分析】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，冉把结论进行否定即可.

【题目详解】命题“玉£代国+620”的否定是“心£尺岗+五＜0”.

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4+20

【解题分析】先证明则四边形OMPN是平行四边形，进而根据椭圆定义求出。，再求出c,最后求出答案.

【题目详解】因为MO,N分别为£P,耳鸟的中点，所以MO//PN,MO=PN,则四边形。是平行四边形，所

以MP=ON,由四边形。WPN的周长为4可知，|P用+|Pg|=2(|PM|+|PN|)=4,即为=4=〃=2,贝！1

c=\/a2=G»于是

△夕百鸟的周长是2。+2。=4+26.

故答案为：4+26・

14、8

【解题分析】分别求出椭圆和抛物线的焦点坐标即可出加值.

22

【题目详解】由椭圆方程工+±=1可知，/=6,按=2,则/=/一从=4,

62

即椭圆的右焦点的坐标为(2,0),抛物线V=mx的焦点坐标为(?,()}

♦・,抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,

/.—=2,即帆=8,

4

故答案为：8.

(58⑶

----

【解题分析】先计算出眼用=忻段=2c、=6,所以|叫|=10-6=4,利用余弦定理求出cos/"/；,即可求出

.出山8>/2

|。4|二1,即得到M的横坐标为《，代人椭圆C：=1求出口=亍

2516

【题目详解】椭圆C：(+'=|,所以。=5,〃=4,c=3.

因为〃在椭圆上周=2a=10.

因为"在第一象限，故|M附>|咋|.

再为等腰三角形厕四同=用用=2c=6,所以段=10-6=4,

忻用2+|M用2一眼片

62+42-621

由余弦定理可得cos/M鸟片=

2|耳玛冈”闾2x6x4-3

过〃作AM_Lx轴于A,则\AF2\=\MF2\COSZMF2月=4x；=g

所以|04|二|0可—周=3—g=《，即M的横坐标为

JJJ

，2

因为M为椭圆C：1+与=1上一点且在第一象限，

2516

所啤吟

8夜

解得:

1

，58y

所以M的坐标为

JJ

(58页］

故答案为:3,—

16、3

【解题分析】根据空间向量a_L〃可得〃.〃=（）,结合〃=（3,2,-1）#二（一1,工-1,1）计算即可.

【题目详解】由题意知，a=（3,2,=

所以々.〃一一3+2*-1）一1-0,解得x-3.

故答案：3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.L

43

【解题分析】分椭圆E的焦点在1轴上与焦点在）'轴上，两种情况讨论，利用待定系数法求出椭圆方程；

【题目详解】解：（1）当椭圆E的焦点在大轴上时，

设其方程为二十二二1（〃〉〃>（））,则。=2

a~b~

（19

又点C"在椭圆E上，得不十丁=1,解得力2=3,

I2）2-4b-

r2v2

所以椭HE的方程为土+乙二1

43

（2）当椭圆£的焦点在y轴上时，

r2V2

设其方程为J+与=1（a>b>O）f则〃=2

b2a2

（3J19

又点C《在椭圆E上，得^+^=1,解得/=3,

V2；2~4（r

这与a>b矛盾

22

综上可知，椭圆上的方程为三十工=1

43

18、（1）an=n；（2）7；="（7）+2向_2

【解题分析】（1）设数列｛q｝的公差为d,根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项公式即可求出

答案；

（2）由（1）得勿=〃+2",再根据分组求和法即可求出答案

【题目详解】解：(D设数列｛q｝的公差为4,由已知得，

即(l+d)2=l+3d,解得4=0或c/=l,

又dw0,，d=1,

・・・/=1+(〃-1)=〃；

(2)由(1)得2=〃+2",

,23

:.Tn=(1+2)+(2+2)+(3+2)+.,+(〃+2”)

=(1+2+3++«)+(2+22+23+--+2")

〃(〃+1)2-2,,+,

=----------F---------

21-2

=〃(〃+I)I2〃+I2

2

【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题

19、(1)\PF｝\=\X.+--42\.

厮

(2)具体见解析；(3)具体见解析.

【解题分析】(1)由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可；

(2)求出IQGI.IQEI,进而讨论x>0/<0两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题；

(3)根据"，鸟为双曲线。的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.

【小问1详解】

由题意,

【小问2详解】

2

设Q(x,y),由(1)|。用=|犬+：-逝|,\QF21=J(X+V2)

=|XH----b>/2I•

X

若x>0,则工+422］灯」=2,当且很当x=l时取"="，则|。£|=工+」一夜，|。工|=x+'+&,所以

xVxx~x

I3HQ周=2a・

若xvO,则X+，=一（一%+-!-］4—2/一十'二一2,当且仅当工=一1时取“="，贝iJIQKI=—（x+，-夜］,

JVV-x）\-x\x7

IQEI-卜+%正），所以||Q用一|。3=20.

综上:||。制-|Q/=20,为常数.

【小问3详解】

易知函数C：y=」（xwO）为奇函数，则其图象关于原点对称.

由（2）可知，曲线C为双曲线，耳，生为双曲线。的焦点，则它关于直线"再对称，还关于与4M垂直且过原点的直

线/对称.

,2&

则4万：/_0=（1―血）=>=X，易得/：y=_r

综上：双曲线。关于原点（0,0）对称，且关于直线丁=乂）'=一式对称.

容易知道，直线y=0,x=0是双曲线。的渐近线.

易知线段片乃是双曲线的实轴，将）'-X代入双曲线c解得顶点：4（一1，-1），入2（1/）.

于是实轴长为IA41=2夜,焦距为I681=4,则离心率《=1方=应.

22

20、（1）—+2_=1

43

【解题分析】（1）求出。力后可得椭圆的方程.

（2）联立直线/的方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理可用％表示|MV|,利用换元法和二次函数的性质可求|MV|

的取值范围.

小问1详解】

二5

33

由题意可得，F+77T=1,解得〃2=4，Z?2=3.

a~4/r

c2=a2-b2

故椭圆C的标准方程为—+^-=1.

43

【小问2详解】

设P（N，y）,。（林必），MG。,%）.

y=2（工_3）

联立,y2，整理得（4严+3.2—24公x+36%2—12=0,

---卜——1

43

则△-（—24巧2—4（4左2+3）（3642—12）—48（3—5左2）＞0,解得0＜r（二,

5

24k236公一12

从而X,+看二

4公+3'4公+3

A,+x_12k2

因为M是线段尸。的中点，所以％=2

2-442+3

qk12k29k

则%=〃（3_3）=_,故M

QK+3（4/+3‘4/+3,

直线/’的方程为'一丁。=一％I（＞%）‘即y+诉（）b=一看1卜一\2行k

19k_3k

令x=0,得）'二一:0

K必2+3-4公+3

9k3k]12“4+公

所以|MN|=

4公十34尸+3,4公+3

设一炉+3,则心三

因为0＜公＜：,所以所以0VlM2|＜娅・

21、(1)sin^=—

8

（2）4.

【解题分析】（1）由正弦定理即可得答案.

（2）根据题意得到cosA=2，再由关于角A的余弦定理和。=%整理化简得c=23

再由一ABC的面积，即可求出。的值.

【小问1详解】

由。=2〃及正弦定理可得sin8=史里4=叵.

a8

小问2详解】

由锐角一ABC中s